1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Угловая скорость диска равна / ! Ф щ = м1е~ + ытет + щзез — юь + 1эез. Из-за отсутствия проскальзывания диска относительно опоры в точке О„скорость ч„этой точки выражается уравнением неголономной связи ч„= — фН е,. / 6.14. Качение диска по горизонтальной плоскости Скорость центра масс О, дается равенством ч, = ьг х Вез. Для подсчета кинетического момента диска относительно точки О„ воспользуемся теоремой 5.2.1 Кенига: К' = К'+ К„ где К, — кинетический момент центра масс: К, = тВ~егх(мхе~) = тВ~(ы — егмг) = тВ~[ — де~+(Фз1пд+1э)ез], а К' — кинетический момент диска относительно его центра масс.
По предположению, оси О,е',егез — главные центральные, несмотря на вращение диска по углу р, так как А = В. Поэтому К' = А( — де[ + д совдеп) + С(дзш д+ ~р)е~з. Следовательно, К' = — (А+ тВ~)дег~ + АгР сов де' + (С+ тВ~)(г[ зш д+ 1г)е' = = (А + тВг)юге' + Амге' + (С + гпВг)ызез. Вычислим теперь векторное произведение и„х т,. Сначала заметим, что ч, = (ы„+ вогез) х Вез = В(ы„х ег — 1эе',).
Поэтому ч„х т„. = -рВ е~г х (ю„х ег — 1ге1) = — рВ е[ х (ьг„хе~э) = ~рВ~й1ег. г г ~ Далее легко получить, что ы„х К' = [(С+ гпВг)мзйг — Амгйз]е' + +[(А + тВг)ыгйз — (С+ тВг)ызйг]е' + +[Аыгйг — (А+ тВг)мгйг]ез, Сравнив коэффициенты при одинаковых базисных векторах в уравнении кинетического момента, найдем систему динамических уравнений движения (А + тВ~)йг + (С+ тВг)ызйг — Аыгйз = — туВз(п д, Айг + (А + тВг)ыгйз — (С+ тВг)ызйг + т рВгйг = О, (С+ тВг)йз+ Амгйг — (А+ тВг)мгйг = О. Глава б. Динамика твердого тела 512 Чтобы замкнуть зту систему уравнений, к ней следует добавить сле- дующие кинематические уравнения: ы1 — — й1 — — -д, ыг = йг = ассад, ыз = йз + У = ге з1п д+ Ф. П р и м е р 6.14,1. Найдем уравнения движения обруча, катящегося по абсолютно шероховатой плоскости.
В соответствии с примером 1.14.6 будем иметь 1 А = В = — тГег, С = тГег. 2 Позтому система динамических уравнения примет аид 3, -ы1 + 2ызйг— 2 1. 3 ыг + ы1113 2 2 1 2ыз+ -ыгй1— 2 1 д -югйз — — — 81п д, 2 Я 2ызй1+уй1 = О, 3 2 -ыгйг = О.О П р и м е р 6.14.2. Напишем динамическую систему уравнений для материального круга массы гл, катящегося по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Воспользовавшись результатом примера 1.14.7, найдем тВг 1 4 С= тнг 1 2 Имеем следующие динамические уравнения: Рассмотрим так называемые иикличеекие деижеиия диска, т.е. движения с постоянными значениями величин д, ыг, ыз.
Если д постоянно, то ы1 = й1 —— д = О, и при неизменных значениях ыг, ыз, второе и третье динамические уравнения диска удовлетворяются тождественно. Из первого динамического уравнения видим, что при таком движении должно быть (С+ тВ )ызй2 Аыг(мз 'Р) = тдВз1п д. 5. -М1 + 4 1, -ыг + 4 3. -ыз + 2 3 -ызйг 2 5 -Ыгйа 4 1 -Ы2й1 4 1 д -ыгйз = — — згп д, 4 В 3 2 -ызй1 + угй1 — — О, 5 4 -ыгйг = 0.0 6.14.
Качение диска по горизонтальной плоскости Исключив у с помощью кинематического уравнения 1в ыз мз 1К зУ получим условие совместности Аьз~ ~1К д — (С+ тЯ )ызПз — — тййв1зз д. Ясно, что рассматриваемое циклическое движение диска существует при любых значениях д = де и ыг = ыго Ф О, так как всегда можно найти подходящее значение ыз.
Из условия совместности следует, что при д = 0 должно быть либо ьзз = О, либо ыз = О, либо ыз = ыз — — О. Когда ыв = О, ыз ф О, диск катится прямолинейно по горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью 1е = ыз. Когда ыз ф О, ьзз = О, диск вертится вокруг неподвижного вертикального диаметра.
При ьзв = ыз = 0 диск неподвижно стоит на горизонтальной плоскости. При д = дв ф 0 найдем зг' = ьзв/ сов д или ыг зР = — 1г — зо)+Фо сов д Ранее было найдено, что скорость к„точки соприкосновения диска с плоскостью равна ч„= — фЯ е', = -уЩез сов 4 + ег в1п 4) . Позтому координаты точки соприкосновения удовлетворяют уравнениям гз — — -фЯсмф, гз = -уев)изчез.
Учитывая, что ~р = ьзз — ыз 1К д, будем иметь гз = -(ьзз — ьзг1КзУ)НсовзР, гг — -Мз — ыг1Кд)Вз1пФ. Угловая скорость зр = ыз! сов д ф О. Следовательно, гз = Я'фсовзР, гз = К'4в)пзР. где В = Я ~в1п д — — сов д /. ыз ыг Интегрируя, найдем гз — гзе —— В (в1п зР— в1п Фа), гв — гго = В (сов Ф сов Фо). зз — гвв Глава б. Динамика твердого тела 514 Получили, что при циклическом движении диска, когда до ф О, точка опоры О„описывает окружность радиуса В' с центром в точке à — 1г10 В 01П фО)е1 + 1ггО + В созфО) ег. Отношение 010/01г вычисляется из условия совместности; 100 1 / тдВ ~А 1й д — — 01п д 101 С+ тВ ,„г 2 6.15.
Качение шара по горизонтальной плоскости В отличие от диска любая точка шара допускается к контакту с опорной поверхностью. Кроме того, при движении однородного шара по горизонтальной плоскости сила тяжести всегда проходит через точку опоры и не оказывает воздействия на движение. Радиус шара массы т примем равным В. Как и в 1 6,14, начало О и векторы е1, ег ортонормированного правоориентированного абсолютного репера выберем принадлежащими опорной плоскости.
Вектор ез того же репера направим вертикально вверх. Радиус-вектор центра масс шара зададим равенством г, = гге1 + ггег + гзез. Предположим, что абсолютно твердый шар однороден. Начало О, репера О,егегез осей Кенига поместим в центре шара. Пусть 10 — угловая скорость шара, а Зп = Г1Е1 + ГгЕг — скорость его центра масс. Из точки О, выпустим радиус-вектор г„в точку О„контакта шара с опорной поверхностью: г„= — Вез. По теореме 2.12.1 Эйлера о поле скоростей твердого тела найдем абсолютную скорость ч точки шара, совпадающей с О„; Кш — Юп+Ы Х Гп.
Рассмотрим следую1цие случаи. 1. Шар не проскальзывает в точке контакта с опорной плоскостью. Это означает, что скорость чш и скорость совпадающей с О„точки плоскости одинаковы и равны нулю. Следовательно, 6.15. Качение шара по горизонтальной плоскости 515 скорость ч, и угловая скорость ш стеснены дифференциальным соотношением ч,+вахт„=О. В координатной форме это эквивалентно двум уравнениям неголономных связей гт — Вшг = О, тг + йат = О. Воспользуемся уравнением кинетического момента К', взятого относительно точки Оьс НК' — +тч„х ч, =О, т11 где ч„— скорость смещения точки опоры по плоскости.
Моменты внешних сил отсутствуют, так как и сила тяжести, и реакция опоры проходят через точку О„. Кроме того, отметим, что ч„= ч„так как центр шара всегда проектируется в точку опоры. Поэтому имеем первый интеграл К = от ет + огег + озеэ, выражающий постоянство вектора К' в абсолютном пространстве. Для вычисления К' воспользуемся формулой Кенига (теорема 5.2.1): К = К" — тг„х ч„ где К = Аьт -- кинетический момент шара относительно его центра масс, А — осевой центральный момент инерции. Векторный первый интеграл эквивалентен трем скалярным интегралам Аыг + тттЯ = ог Ашз = оз. Ашт — тгтВ = ны Исключив в первых двух интегралах угловые скорости ыы ыг с помощью уравнений связей, найдем компоненты скорости центра масс шара: тт = ог ~ — + тЯ), гг = — от ~ — + тпЯ) ~В ) — ~В Видим, что центр шара движется прямолинейно и равномерно.
Угловая скорость шара сохраняется в инерциальном пространстве: ат ог оэ А+~Вг А+~Вг А Значит, угловое движение шара около центра масс есть вращение вокруг оси постоянного направления, проходящей через центр шара. Эта ось не обязательно горизонтальна. Глава б. Динамика твердого тела 516 2. Шар проскальзывает в точке контакта с опорной плоскостью. Это означает, что в точке контакта с поверхностью скорость шара не равна нулю. Тогда возникает сила трения, которая будет влиять на движение шара. Примем, что в точке контакта приложена сила сухого кулоновского трения скольжения: г,р — — -йгпд ч (~ч где й — коэффициент трения (см. пример ЗА,З).
Относительно точки контакта шара с плоскостью будет справедлив, как и в предыдущем случае, векторный интеграл кинетического момента: К' = и. Умножив обе части этого равенства справа векторно на г„и приняв во внимание выражение вектора К' через угловую скорость и скорость центра масс шара, найдем Аси х г„ + ос г„ х (г„ х ч,) = сг х г„. Следовательно сг х г„гпргт сихг = — + — ч. п= 4 А с. Используя это выражение, получим зависимость между скоростью шара в точке контакта и скоростью его центра масс. ч,= 1+ — ч В соответствии с теоремой об изменении количества движения ско- рость центра масс шара подчиняется уравнению Нч, ч т — = -Iсгвд —. с11 )ч ! Поэтому для скорости ч будем иметь ча / тЯ~1 — = — ю —, ю=йд~1+ — ~.
с(1 )ч !' ~ А Обозначим чшэ значение вектора скорости точек шара, находящихся в контакте с опорной плоскостью, в начальный момент времени. Тогда решение уравнения для вектора ч имеет вид ч =ч и 1 — — (с — Мэ) где 1е — начальный момент времени движения, Другими словами, направление скорости точек шара, находящихся в контакте с плоскостью, с течением времени не изменяется, а величина скорости убывает линейно по времени. 6.15. Качение шара по горизонтальной плоскости Теперь мы можем найти скорость центра масс: 517 Чс = 1+ — ) ~ЧшО ~1- — (1-10)~ — — ~ = — ЧшΠ— (1-10)+чсО, где ч,Π— начальное значение скорости центра масс.
Таким образом центр масс шара движется с постоянным ускорением, направленным противоположно скорости проскальзывания шара в точке контакта. Ускорение действует до тех пор, пока не прекратится проскальзывание. Это произойдет в момент времени гп ог Затем шар будет двигаться в соответствии с моделью качения по аб- солютно шероховатой плоскости. Скорость ч" центра масс шара по окончании проскальзывания выразится формулой — 1 г ч" = — 1+ — — = 1+ — — сс10 х гп+ чсо где 100 и ч,Π— начальные значения угловой скорости шара относительно центра масс и скорости центра масс соответственно.
Видим, что скорость центра шара в конце проскальзывания не зависит от коэффициента трения. Найдем траекторию центра масс шара при проскальзывании: йу 11 — С.)' гс = чшо + чсО(1 10) + гсО ~чшо! 2 Отсюда видно, что если векторы чшо и ч,о неколлинеарны, то траектория центра масс шара представляет собой параболу, выпуклую в направлении скорости в точке контакта шара с плоскостью. Приращение радиуса-вектора г,' — г,о центра шара к моменту окончания скольжения выразится формулой: г";г.о = — (ч'+чсо) = — ~1+ — ) ~ — с00 х г„+ ~1+2 — ) чсо .
2 ' 21сд~, А) ~ ~1 А) 3. Соударение биллиардных шаров. Рассмотрим соударение двух однородных шаров, имеющих равные радиусы В и массы т. Следуя Кориолису, примем две гипотезы. 1. Мгновенное трение отсутствует: касательные составляющие скоростей шаров в точке контакта не изменяются. Ударный импульс Глава б. Динамика твердого тела 518 направлен по нормали к поверхности шаров. Он не создает момента относительно центра шара.
2. Удар шаров абсолютно упругий: кинетическая энергия системы при ударе не изменяется. Учтем, что сила тяжести и сила трения шаров о плоскость суть конечные силы. Воспользовавшись следствием 5.2.1, получаем, что при ударе угловые скорости шаров относительно их центров не меняются. Пусть единичный вектор и задает направление линии центров шаров при ударе, скорости центров масс шаров до удара равны т,, т~, а после удара — соответственно т~+, к!+. Обозначим и,, и,, и~+, и~~ проекции скоростей центров масс шаров на направление вектора и до и после соударения. В согласии со сказанным выше количества движения системы до и после соударения примут вид Ц = и!(и! + и~ )п + и![ч! + тт — (и! + и~ )и], гп(я! + а2 )и + МИ[и! + т2 (я! + и2 )и)' а выражения для кинетической энергии до и после соударения запи- шутся следующим образом 2 + +А 2 2 гп(и ) гп(т — пи )т (ы )т 2 -!- 3 ! -!. А ! 2 2 где А — момент инерции шара относительно диаметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
