1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 82
Текст из файла (страница 82)
2. д/(Ьго) = из. Тогда угол прецессии изменяется монотонно. Угловая скорость прецессии обращается в нуль на параллели дз. Кривая, описываемая концом х вектора е~з, имеет точки возврата на параллели дз и гладко касается параллели дс (рис. В.В.2,б). 8. )з/(Ьто)~ < 1, се > ад/(Ьго). Тогда угол прецессии меняется не монотонно. Угловые скорости прецессии имеют разные знаки на параллелях де и дг. Кривая, описываемая точкой х, имеет петлеобразный характер с точками самопересечения (рис.
б.8.2,в) и гладко касается обеих параллелей. дг Рис. 6.8.2. Возможные типы движения волчка Лагранжа Доказательство. Воспользуемся аналогией между углами Эйлера и полярными координатами 1см. 6 2.5). Определим положение точки х на сфере с помощью угла д и полярного угла ф.
Имеем Ни с — НФ ) — ийга 81 ' 81 1 — из 1. Обозначим ио = д/16го). Если ио не принадлежит отрезку [иы из), то 4 никогда не обращается в нуль. Так будет, если )ио) > 1 483 6.8. Случай Лагранжа-Пуассона или Див)) < О. Из определения функции 1(и) получим, что Див) = а — †) (1 — ии). ад 1 Ьге ) Когда )иа! < 1, то Див) имеет тот же знак, что и выражение ар' а — —. ь Если условие первого пункта теоремы выполнено, то ((иа) < О, и иа не попадает в интервал между корнями и1 и ию Угловая скорость прецессии сохраняет знак. На параллелях д1 и дз производная и обращается в нуль. Кривая, описываемая точкой э и заданная параметрически: и(1), 1б(1), гладко касается этих параллелей. Первый пункт теоремы доказан. 2.
Пусть иа совпадает с. одним из корней и1 или ию Докажем, что это может быть только корень ию В самом деле, если Див) = О, то из вида функции 1(и) следует В выражении 1(и) заменим а этим значением: 1(и) = (иа — и)[а(1 — и~) — б~га(иэ — и)]. Один из корней очевиден. Другой обращает в нуль выражение в квадратных скобках. Для этого корня должно быть иа > и. Значит, иа есть наибольший корень, и точки, в которых угловая скорость прецессии обращается в нуль, располагаются на верхней параллели, а не на нижней.
Чтобы определить, как приближается траектория точки г к верхней параллели, вычислим угол б между траекторией и меридианом, проведенным через вертикаль и точку г (рис. 6.8.3). Очевидно, 18б— з1п д НФ (1 — и )Ф Рго(иа — и) ~Л( ) Когда и — иа, имеем б - О, а значит, точка х приближается к верхней параллели в направлении перпендикуляра и аналогично удаляется. На верхней параллели имеем точку возврата. Утверждение пункта 2 доказано.
3. Пусть и1 < иа < ию Тогда д обращается в нуль только на параллели, соответствующей значению иа и лежащей внутри допустимой для точки э полосы. Знак д вблизи параллели д1 будет противоположен знаку ~б вблизи параллели дю Когда ие постепенно Глава б. Динамика твердого тела 484 Угол 6 образован вектором касательной к траектории точки г на единичной сфере и соответствующим меридианом. Элементарное смещение точки вдоль траектории представляется в виде суммы смещений вдоль параллели на величину А(6 э(п д и вдоль меридиана на величину Нд. Если 6 = О, касательная к траектории направлена вверх по меридиану.
Если 6 = т/2, касательная к траектории направлена по параллели. ез Рис. 6.8.3. Определение угла 6 ы = де~ +4~э(пдеэ +гоев(), К = Аде~ )+А4~э(вдет~ )+Сгое(з ). Возьмем плоскость Р, проходящую через вертикальную ось и вектор К. Нормаль к этой плоскости параллельна вектору ез х К, который уменьшается от ит к иы на траектории точки г образуется петля, существование которой и утверждает пункт 3. 4. Чем меньше иэ по сравнению с ию тем больше размер петель.
При уменьшении иа соседние точки, в которых траектория г касается параллели дм сближаются. Покажем, что не существует значения параметра из, при котором эти точки совпадут. Примем противоположное. Пусть при некотором значении иэ б (иы и~) соседние точки касания на параллели д~ совпали. На поверх- ности единичной сферы возникает замкнутая траектория,С точки г (рис. 6.8.4). Ограниченная этой траекторией область г не содержит внутри себя конца вектора ез, принадлежащего пересечению единич- ной сферы с вертикальной осью. Конец вектора ез может принадле- жать лишь границе ь, когда д = О. Поэтому вектор е~з, вычерчивая траекторию х'., не может совершать вращательное движение вокруг вертикальной оси ез.
Для удобства дальнейших преобразований введем базис, "полу- связанный с телом". Он образован единичным вектором ез, напра- вленным вдоль оси симметрии тела, ортогональным к нему единич(т) ным вектором е~, направленным по угловой скорости нутацни (ли- нии узлов) и расположенным в горизонтальной плоскости, и векто- ром еэ, образующим с ез, е, правую тройку (рис. 2.5.1). (2) р (2) Из-за того, что А = В, оси е~ и ет служат, как и оси е~ и ею (э) (г) главными осями инерции. Следовательно, 6.8. Случай Лагранжа-Пуассона 485 В случае Лагранжа точка г пересечения оси симметрии волчка с единичной сферой не может описывать замкнутую кривую, аналогичную изображенной на рисунке. Эта точка все время находится вблизи вертикальной плоскости Р, содержащей вектор кинетического момента и монотонно вращающейся вокруг вертикали.
Поэтому возможные типы движения изображающей точки г исчерпываются показанными на рис. 6.8.2. ез Рис. 6.8.4. Замкнутая траектория точки г с учетом равенства ез х ез — — е, з)п д принимает вид 1г) ез х К = Ад(ез х е, ) + А4 ьбп д(ез х ег ) + Сгое, в)пд. (г) (г) 1г) . (ез х К) е, = Адв)пд[(ез х ег ) е, )+Сговгпд = 1г) (г) )г) 1г) 1г) = Адв)ад[(ег х ег ) .ез) +Сгов)пд = = -Адвшд(е~~ ез)+ Сгаз1пд = Ав1пд( — дсовд+бго) = Абго вш д )3 '1 Абго — — сов д+ 1) = —,(1 — иеи).
в)п д бга ) сбпд Мы исследуем случай, когда п1 < ие < иг. Следовательно, [ива[ < 1, го )б О, и рассматриваемое смешанное произведение сохраняет знак в процессе движения, никогда не обращаясь в нуль. Введем горизон- тальную составляющую К, вектора К: К = К„+ (К ез)ез. Тогда ез х К = ез х К„. Угловая скорость вращения плоскости Р выразится формулой езхК и'К . — = Абго~тд(1 — иии)К„ ив По теореме 5.1.5 о кинетическом моменте скорость конца вектора К выражается формулой ИК 1г) — = — чез х туев =чтдез х ез — — отде, в)пд. й Найдем угловую скорость ы„вращения плоскости Р. С этой целью вычислим смешанное произведение Глава 6.
Динамика твердого тела 486 Заметим теперь, что вектор е, ортогонален плоскости, содере2) жащей векторы ез и ез. Значит, угол 7 между этой плоскостью и плоскостью 'Р удовлетворяет равенству (ез х К) е, АЬго 1з) соз у = — (1 — иои). К„К„в(п д Для определенности примем го > О. Тогда получим, что сову > О. Тем самым угол у, изменяясь непрерывно, обязан во все время движения быть в диапазоне к к — — < у < —.
2 2' Отсюда следует, что если вектор ез вычерчивает замкнутую кривую Е, то плоскость Р не может монотонно с ограниченной снизу угловой скоростью вращаться вокруг вектора ез. Это, однако, противоречит тому, что в данном случае юп > е > О, где е — постоянная. Аналогичные рассуждения приводят к противоречию и тогда, когда го < О.
Полученный результат убеждает нас в том, что путем непрерывных изменений начальных условий другие типы траекторий точки г, кроме тех, что содержатся в утверждении теоремы, найти невозможно. Вместе с тем имеет место непрерывная зависимость решений по начальным условиям.П Теорема 6.8.2. Для возникновения в случае Лагранзюа-Пуассона регулярной прецессии вокруг вертикальной оси необходимо и достаточно выполнение в начальный момент времени двиоесения следующих равенств: до = О, 24о~ сов до — 2Ьго4о + а = О. Доказательство. Регулярная прецессия означает, что движение происходит при сохранении значений 6=О, Ф=Фо, У=Фа Так может быть только тогда, когда и) = иг = сов до, т.е. ие должно быть кратным корнем уравнения у'(и) = О.
Отсюда Выполнив дифференцирование, найдем — а(1 — и~)) — 2и1(сг — аи1) + 2Ьго(д — Ьгои|) = О. 6.8. Случай Лагранжа-Пуассона 487 Напомним, что е — аи1 = р +ч = Ф в1п д+д = Ф~~в1п до, Ф вЂ” 6гои1 = Фов(п до. Учитывая эти выражения, получим уравнение в)пт до(24ог созда — 2Ьгофо + а) = О. Оно имеет два решения: до = О, а также угол до, для которого 2д~д сов до — 2ого1до + а = О.
Решение до — — О следует исключить, так как в условии теоремы речь идет о регулярной прецессии вокруг вертикальной оси. Следовательно, остаются условия, приведенные в утверждении теоремы. В силу тождественности преобразований они оказываются необходимыми и достаточными. П Определение 6.8.1.
Волчок Лагранжа, вращающийся вокруг вертикальной оси (д гй О), называется спящим волчком. Уравнения движения допускают решение, для которого д ш О. Вопрос о том, будет ли волчок, закрученный вокруг вертикальной оси, спящим, по сути дела сводится к вопросу об устойчивости такого решения. Теорема 6.8.3. (Условие Маневского).
Волчок Лагранжа, закрученный вокруг вертикальной оси, будет спящим тогда и только тогда, когда 4тд~А 'о ~ Сг Доказательство. В соответствии с условием теоремы ось волчка ез направлена в начальный момент вертикально: вш до —— О. Решение дгио, д=о, удовлетворяет уравнениям движения. Найдем условие, при котором такое решение будет устойчиво по д.
Как следует из теоремы 6.8.2, корень и = 1 должен быть кратным корнем многочлеиа г(и). При этом имеются две возможности: 1. Совпали корни ио и и'. В этом случае, очевидно, имеется корень и~ ~ и. = и', и малые возмущения начальных условий приведут к малым возмущениям корней, что приведет к большому отклонению д от начального положения.
Движение будет неустойчивым по д. Глава 6. Динамика твердого тела 488 2. Совпали корни иг и иг. В этом случае малые возмущения приведут к малым отличиям обеих корней и1 и иг друг от друга и от единицы. Движение в этом случае будет устойчивым. Условие, позволяющее отделить первый случай от второго, состоит в том, что во втором случае при и = 1 функция /(и) выпукла вверх, т.е. йг//аиг < О или 2а — (о — а) — Ь'гог < О Учитывая, что для рассматриваемых начальных условий о = а, и выполняя необходимые преобразования, получаем утверждение теоремы, сг Определение 6.8.2.
Волчок Лагранжа называется быстро закрученным, если в начальный момент времени угловые скорости прецессии и нутации равны нулю, угол нутации может быть отличен от нуля, и задана большая угловая скорость собственного вращения. Иначе говоря, гро ее О до = О, до ~ О, Ьгог/а >> 1. Определение 6.8.3. Псевдорегулярной прецессией называется движение быстро закрученного волчка Лагранжа, происходящее между близкими с заданной точностью различными параллелями д1 и дг. Теорема 6.8.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
