1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Она состоит из двух различных замкнутых ветвей, симметричных друг к другу относительно неподвижной точки и одной из главных плоскостей эллипсоида, и обладает четырьмя вершинами, для которых радиус-вектор г, выходящий из неподвижной точки, имеет максимум или минимум модуля. При движении одна из ветвей полодии катится по неподвижной плоскости Р. Вторая ветвь катится по плоскости, симметричной Р относительно неподвижной точки. Общий вид расположения полодий на эллипсоиде инерции представлен на рис. 6.7.1. Имеем однопараметрическое по О семейство кривых. Пусть в начальный момент апекс находится в окрестности наименьшей оси эллипсоида инерции: А > О > В > С. Глава б.
Динамика твердого тела 470 Из уравнения подвижного аксоида получим А(А- Р), гэ + 3 — СгР В) г1' Так как алекс принадлежит эллипсоиду инерции, то г1 ограничено по величине. Следовательно, когда Р А, полодии стягиваются к точке пересечения эллипсоида с его наименьшей главной осью. Аналогично, пусть в начальный момент апекс находится в окрестности наибольшей оси эллипсоида инерции: А > В > Р > С.
Тогда справедливо неравенство 2 э С(Р— С) В( — Р) которое показывает, что при Р— С' полодии стягиваются к точке пересечения эллипсоида с его наибольшей главной осью. Чтобы изучить структуру герполодий, опустим из неподвижной точки О перпендикуляр на плоскость Р. Пусть этот перпендикуляр попал в точку К. Его длина б выражается равенством б = 1/~/Р. Из точки Е проведем радиус р в точку на герполодии. По теореме Пифагора где ~ — расстояние от точки 0 до апекса. При движении апекса по полодии это расстояние изменяется в ограниченных пределах: т,„( г ( гм. В ограниченных пределах будет изменяться и р: Поэтому герполодия заключена между двумя концентрическими окружностями. В зависимости от длины дуги полодии герполодия может оказаться как замкнутой, так и незамкнутой кривой. В последнем случае она заметет всюду плотно кольцо между окружностями максимального рм и минимального р„, радиуса.
В частных случаях Р = А или Р = С полодия и герполодия обращаются в точку. Эллипсоид инерции будет вращаться, оставаясь в соприкосновении 6.7. Случай Эйлера 471 с плоскостью Р своей вершиной, расположенной соответственно на малой или большой полуоси. При В = В полодия обращается в два эллипса, проходящих через среднюю ось, и тогда минимальный радиус герполодии р = О. Теорема 6.7.2. В случае Эйлера ось угловой скорости неподвижна в твердом теле тогда и только тогда, когда она совпадает с одной из главнык осей инерции. Доказательство.
Необходимость. Пусть ось Ъ угловой скорости неподвижна в твердом теле. Это значит, что коэффициенты 6ы Ьг, Ьз ее разложения по базисным векторам, связанным с телом: Ь = Ь|е', + Ьгег + 6зез, остаются постоянными во времени. Так как ы = еоЬ, то, очевидно, 6. р=ыЬы д=ыЬг, Кинетическая энергия не изменяется. Следовательно, и модуль ы угловой скорости тоже будет постоянным.
Уравнения Эйлера примут вид (С вЂ” В)уг = О, (А — С)гр = О, ( — А)рд = О. Если эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения, то по крайней мере две из величин р, д, г должны быть равны нулю. По это и означает, что тело вращается вокруг одной из главных осей инерции. Если эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения, например А = В ф С, то тогда любая ось в плоскости, перпендикулярной оси, соответствующей моменту инерции С, будет главной. Величины р и д могут быть тогда любыми, и если хотя бы одна из них отлична от нуля, то тогда должно быть г = О.
Если А = В = С, то тогда любая ось тела будет главной, а р, д, г могут при этом быть произвольными. Достаточность. Пусть, например, начальные условия выбраны так, что р = д = О, г = го;6 О. Динамические уравнения допускают в этом случае единственное решение: р = д = О, г = го. Это означает, что вектор угловой скорости сохраняет свое положение относительно твердого тела, а кроме того он совпадает по направлению с вектором кинетического момента, который остается неподвижным в абсолютном пространстве. Аналогично можно рассмотреть случаи закрутки вокруг других главных осей. Сг Следствие 6.7.2.
Главные оси инерции служат перманентными (постоянньеми) осями вращения твердого тела вокруг неподвилсной точки (см. 6 6.3). Глава 6. Динамика твердого тела 472 Теорема 6.7.3. Движение оси угловой скорости устойчиво в окрестности большой или малой полуосей инерции и неустойчиво в окрестности средней полуоси. Доказательство. По смыслу устойчивость движения означает, что в любой момент времени координаты объекта мало изменятся при малом изменении начальных условий.
Пусть в начальный момент направление угловой скорости близко к направлению малой полуоси (Р мало отличается от А). Тогда координаты апекса удовлетворяют неравенству г А(А Р) г А(А Р) "г + "з С(Р В) "1 Сг(Р д) которое означает, что если параметр Р, определенный начальными условиями, по величине близок к А, то координаты гг и гэ будут малыми в любой момент времени, Тем самым движение оси угловой скорости в окрестности наименьшей полуоси эллипсоида инерции устойчиво.
Аналогично пусть в начальный момент времени направление угловой скорости близко к направлению большой полуоси (Р мало отличается от С). Тогда координаты апекса удовлетворяют неравенству Следовательно, при Р, по величине близком к С, малыми в любой момент времени будут координаты г1 и гг. Это означает устойчивость движения оси угловой скорости в окрестности большой полуоси эллипсоида инерции. В окрестности средней полуоси все полодии разделяются на два семейства эллипсами, служащими полодиями при Р = В. Будучи мало отклонен от точки пересечения средней полуоси с эллипсоидом, апекс движется по полодии, близкой к соответствующему эллипсу и, следовательно, значительно отклоняется от начального положения, сколь бы близким оно ни оказалось к точке средней полуоси.
Отсюда — неустойчивость такого движения. П Заметим, что в теореме 6.7.3 имеется в виду лишь устойчивость движения оси угловой скорости. Сами вращения твердого тела при этом неустойчивы, так как даже небольшие изменения величин угловых скоростей могут приводить к значительным изменениям угловых координат. Определение 6.7.2. Регулярной прецессией называется движение твердого тела около неподвижной точки, при котором тело уча- 6.7.
Случай Эйлера 473 ствует в сложном вращении с постоянной переносной угловой скоростью еоп и с постоянной по величине относительной угловой скоростью ш„при сохранении угла между векторами соп и со„. Теорема 6.7.4. Пусть А = В > С. Тогда в случае Эйлера воэнихает регулярнал прецессии с переносной угловой скоростью еоп, направленной по вектору кинетического момента: ео„= К/А, и относительной угловой скоростью иг„, направленной вдоль наи- большей оси инерции: 1 — — ез, где г — проекция угловой скорости тела на эту ось.
Доказательство. Если А = В, то третье уравнение Эйлера дает С вЂ” =О, Ь д1 откуда г = го и, следовательно, постоянно. Векторы кинетического момента К и угловой скорости ео имеют следующие разложения: К = Аре', + Апет+Стев, е е е ш = Ре, +чег+ гез. Поэтому А К А С А С вЂ”" з а значит, векторы со, К и ось тела е~э принадлежат одной плоскости. Кроме того, справедлив интеграл энергии А(рг + дг) + Ст' = А(рг + дг + тг) + (С вЂ” А)тг = Ь. Следовательно й+ (А - С)тг А сохраняет значение.
Поскольку г не меняется, то угол, образованный вектором со и осью е~з, а также угол, образованный неподвижным в пространстве вектором К и осью еэ, будут постоянными. Такое движение тела есть сложное вращение. Уравнение, связывающее векторы ео, К, е~з, можно представить в виде со= — +г 1 — — е . Глава 6. Динамика твердого тела 474 Отсюда ясно, что угловая скорость щ„прецессии вокруг вектора ки- нетического момента и угловая скорость щ, собственного вращения даются формулами К Г С~, ша = —, ы„= т ~1 — — ] е~з,П А' ~, А/ у'=уо, Ф=Фо, 6=до Полодия станет окружностью с центром на наибольшей оси инерции. Герполодия также окажется окружностью. Замечание 6.7.1.
Если между главными моментами инерции справедливо соотношение А>В=С, то тогда возникает регулярная прецессия, при которой относительная угловая скорость направлена по наименьшей оси эллипсоида инерции. Перейдем к задаче определения закона движения. С этой целью исключим г из интегралов энергии и модуля кинетического момента: Арэ(А — С) + Вй~( — С) = е~ — ЬС. Аналогично после исключения р Вйэ(А В)+Сгг(А С) = ЬА-и' Пусть А > В > С, тогда пг ЛС>0 ЬА — сгэ > 0 С помощью полученных соотношений й: В( — С) А(А — С) выразим величины р и г через В(А — В) С(А — С) где <т~ — ЬС В( — С) ' ЬА — <тт В(А — В) При регулярной прецессии плоскость, содержащая векторы ш, К, е~з, вращается вокруг вектора К с угловой скоростью ы„. Если ввести углы Эйлера так, что вдоль вектора К будет направлен неподвижный базисный вектор ез, то для регулярной прецессии угловые скорости собственного вращения и прецессии (см.
Э 2.5), а также угол нутации будут постоянными: 475 6.7. Случай Эйлера Для определенности предположим, что а2 > аз. Тогда должно быть — а„< д < а,. При этом условии величина р никогда не обращается в нуль и, будучи непрерывной, не меняет знака. Пусть в начальный момент р > О. При этом условии р будет положительным в течение всего времени движения. Величина г обращается в нуль, когда д = ~а„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
