1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Из второго уравнения Эйлера  — = — (А — С)рг а'д (22 видим, что д меняет знак вместе с г. При г > О будет д < О. При д = — а„величина г обращается в нуль, и происходит смена знака д. При г < О будет д > О, и д возрастает до тех пор, пока не достигнет значения д = а„. Подставив найденные значения р и г во второе уравнение Эйлера, получим ад ( — С)(А — В) (й )(( АС а — д а„— д где правило выбора знаков оговорено выше. Обозначим а2 2 ( — С)(А — В) д = а,я, й2 = -2, п2 = ар а2 ' АС Тогда После разделения переменных время 1 выразится с помошью элли- птического интеграла первого рода: Величины р, д, г будут периодическими по времени с периодом Когда функции р(1), д(1), г(2) известны, можно определить закон движения твердого тела.
Учтем, что вектор К кинетического момента неподвижен в абсолютном пространстве, и направим вдоль него единичный базисный вектор ез. Разложим еа по базису репера Ое',е'ез, жестко связанного с телом: ез = аз2е', + азгез+ аззез = — (Аре(+ Вде', + Сге(з). а 476 Глава 6. Динамика твердого тела Коэффициенты разложения суть известные функции времени. Пусть Ь = а+61+с 1+ 0 1с — кватернион, характеризующий угловое положение тела. По теореме 2.6.2 найдем Ар Вд Ст 64 — ос= —, аб+сИ= —, а +о) = — + —.
2а' 2о ' 2а 2 Отсюда Вуа — Ара Арй+ Вда с= 6= а+Ст ' а+Ст Остаются неизвестными лишь две функции а(1) и а(1). Чтобы получить кинематические уравнения для а(1) и Н(1), введем кватернион (см, з 2.15) Ь = р(+ д,) + т 1с, составленный с помощью координат вектора угловой скорости в ре- пере, жестко связанном с телом. Тогда Ь = ЬоЬ /2. Воспользуемся правилом умножения для кватернионов: 1 --(бр+ од+ Нт), 2 1 -(ар — ад+ ст), 2 1 -(ар+ ад — бт), 2 1 -( — ср+ бд+ ат).
2 Из этой группы выберем первое и последнее уравнения и подставим в них коэффициенты с и 6, выраженные через а и и. Получим а = [(А — В)рда — (6+ ат)6), 1 2(о + Ст) Ы= 1 2(а+ Ст) ((Ь+ ат)а+ (А — В)руд], где 6 — постоянная энергии. Имеем систему линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В общем случае можно определить а и Ы каким-либо численным методом. 6.7. Случай Эйлера 477 Отметим также, что эта система, как следовало ожидать, имеет первый интеграл а+И = — +-. Ст 1 2а 2 На плоскости с декартовыми координатами а — абсцисса и д — ордината мы можем ввести полярные координаты: радиус р = ~/аэ + аэ и полярный угол В, так что а = рсоа 17, Н = рэ)п р'. Очевидно, что в силу рассматриваемой системы дифференциальных уравнений для а и д справедливо равенство Ь+ Сг 2(а+ Сг) с известной правой частью.
Поэтому зависимость 17(1) выражается квадратурой. Если А = В, то г и, следовательно, р будут постоянными, и уравнение для р'легко интегрируется: Р— ПО 1о)+17о П— В+С~ 2(а+ Ст) Видим, что при А = В изображающая точка на плоскости коэффи- циентов а, д описывает окружность постоянного радиуса — + — >О с центром в начале координат. Если Й > О, то вращение выполняется против хода часовой стрелки, а если П < О, то — по ходу часовой стрелки. Примем снова А ф В и определим теперь закон движения твердого тела, применив для этого углы Эйлера 1э, д, д.
По-прежнему неподвижную ось ез выберем совпадающей по направлению с вектором кинетического момента К. Тогда К = Аре', + Вд еэ + Сг ее = аез. Отсюда получаем систему тригонометрических уравнений Ар = азьвдэшу, Вй = аз)пдсоз1р, Сг= ассад. Из третьего уравнения следует Сг созд = —, О Глава 6. Динамика твердого тела 478 а из первого— Ар в1пу = —, ав1пд Первые два кинематических уравнения Эйлера имеют вид р = Ф в)п д в1п ~р + д сов ~р й = д в1п д сов у — д в1 и ~р.
Исключив д, получим рв1п у + усов р япд Из выражений для Ар и Вй через углы Эйлера можно усмотреть, что ивгв6(рв1пу+ й сов у) = Ар + Вд~. Поэтому Арэ+ Вйг > О. пап д Следовательно, в процессе движения угол прецессии вокруг вектора кинетического момента может только возрастать. Тем самым и задача об определении закона движения с помощью углов Эйлера также сведена к квадратурам. 8 6.8. Случай Лагранжа-Пуассона Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле силы тяжести.
С помощью ортонормированных векторов е1, ет, е~в, жестко связанных с телом, зададим направления главных осей инерции относительно неподвижной точки О. Соответственно А, В, С суть главные моменты инерции. Потребуем, чтобы тело было динамически симметричным (эллипсоид инерции был эллипсоидом вращения). Например, пусть А = В. Центр масс тела расположим на положительном направлении полу- оси симметрии (волчок Лагранэюа): .=ж, ~>6 В качестве независимых лагранжевых координат примем углы Эйлера р, Ф, д. Ось прецессии направим вертикально вверх, а ось 6.8. Случай Лагранжа-Пуассона 479 собственного вращения зададим единичным вектором ея (см. я 2.5).
Кинематические уравнения Эйлера (я 2.15) имеют вид р = дв)пдвшу+дсовр, д = д я(п д сов р — д вш р, г = дсовд+ р. Кинетическая энергия Т = -(Арв+ Вдв .1- Сгт) 1 2 выражается через угловые скорости следующим образом: Т вЂ” -(А(д~ в(п~ д + д~) + С(,6 сов д -1- 16)в]. 1 2 Сила тяжести приложена к центру масс. Силовая функция определена формулой У = — шд~сояд. Выпишем уравнения Лагранжа для координат р и 16 (я 6.2): — (дТ/др) = О, — (дТ/дд) = О.
И . Н Й ' Й Здесь ни кинетическая энергия, ни силовая функция от р и д не зависят. Этим уравнениям соответствуют первые интегралы д(Авш д+ Ссовтд)+ С~рсовд = ВА, С(фсовд+~р) = Сге, где р, ге — постоянные интегрирования. Отсюда дя(п д =,8 — 6гесовд, 16сов д+ 16 = гя, причем 6 = С/А.
Кроме того, имеет место интеграл энергии А(д~ я1п д + д~) + Сг~~ = — 2 д~ сов д + Ь, который можно переписать более удобно: д вш д+ д = а — асов д, Глава В. Динамика твердого тела 480 Постоянные о и а даются равенствами 1 о = — (й — Сго~), а = 2тд~/А. А Указанные первые интегралы образуют полную систему дифферен- циальных уравнений первого порядка относительно углов Эйлера: и~я1п д+ д = о — асояд, дя)п д = д — йгосояд, дсояд+ ~р = го.
Подставив в первое уравнение значение д, найденное из второго урав- нения, получим (д йу о соя д)Я + да я1пз д ( соя д) я1пз д Чтобы упростить это уравнение, введем новую переменную и = соя д. Тогда — ) = (о — аи)(1 — и ) (Р йгои) = Ци), с ни 1 г г д1) ,9 — Ьгои Ф= 1 — и |9 йгои Ф= го — иФ= го — и 1 — и Первое уравнение преобразованной системы полезно сопоставить с аналогичным уравнением в теории сферического маятника (я 3.12). Сходство этих уравнений обусловливает сходство методов исследования движения. Закон и(1) определяется свойствами функции г (и). Лемма 6.8.1.
Пустпь в начальный момент 1о движения задано и(1о) = ио, причем г'(ио) > О. Тогда многочлен г(и) имеет три действительных корня иы ит, и', удовлетворяющих неравенствам — 1 < и1 < ио < ия < 1 < и' < +со. Доказательство. Многочлен у(и) — третьей степени, причем ~(и) < 0 при и -~ -оо, г'(и) < 0 при и = ж1, г(и) > 0 при и — +со, г(ио) > О. Кроме того, )ио! < 1.П 6.8. Случай Лагранжа-Пуассона 481 Следствие 6.8.1.
Многочлен Ди) можно представить в виде г(и) = а(и — иг)(иг — и)(и' — и). Величина и вместе с ио должна во все время движения оставаться в интервале иг < и < иг так как по смыслу задачи у(и) не может стать отрицательным. Угол нутации д колеблется между двумя предельными углами дг < д < ды удовлетворяющими равенствам сов дг = им сов дг = иг. Чтобы узнать закон и(1), надо проинтегрировать уравнение В нем, когда и возрастает от и1 до иг, следует брать знак "+". Когда и убывает от иг до иы следует брать знак "-". В случае Лагранжа движения твердого тела точка г пересечения оси е' с единичной сферой принадлежит полосе между параллелями, соответствующими сов дг — — и1 и сов дг = иг.
Эти параллели получаются в результате сечения сферы заштрихованными горизонтальными плоскостями. Рис. 6.8.1. Область допустимых положений точки г Выполним качественное исследование движения. Возьмем единичную сферу с центром в неподвижной точке О и через О проведем вертикальную ось с направляющим вектором ез (рис. 6.8.1).
На этой оси отметим точки, соответствующие значениям и1 и иг. Через них проведем горизонтальные плоскости, которые пересекут сферу по двум параллелям. Выделим точку г, в которой ось е~э пересекает сферу. Параллель точки г задается величиной и. Точка г всегда заключена между параллелями, соответствующими и1 и иг, и описывает кривую, идущую от одной из них к другой. Когда эти две параллели близки между собой, ось тела ез приближенно описывает Глава б. Динамика твердого тела 482 круговой конус вокруг оси ез. Параллели могут совпадать, и тогда ось е' скользит по поверхности соответствующего кругового конуса. Во всех вариантах кривая, описываемая точкой х на сфере, достигает обеих параллелей.
Теорема 6.8.1. При — 1 < иг < из < 1 в случае Лагранзгса-Пуассона существуют только три типа кривых, описываемых точкой х на единичной сфере мезесду ограничивающими параллелями дз и дг. 1, )д//Ьто)) > 1 или ~/В/(Ьго)) < 1 и о < ад/16г,). Тогда угол прецессии изменяется строго монотонно. Угловая скорость прецессии никогда не обращается в нуль. Кривая, описываемая точкой х, гладко касается обеих параллелей дг, дг (рис. б.8.2,а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
