1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Рассмотрим несколько примеров практического использования гироскопов. П р и м е р 6.11.2. Гиромаятником называется гироскоп с тремя степенями свободы, центр масс которого принадлежит оси фигуры (случай Лагранжа-Пуассона, см. " э6.8). Такой гироскоп служит основным чувствительным элементом гирогоризонта — прибора, предназначенного для надежного определения вертикали или перпендикулярной к ней горизонтальной плоскости. Гиромаятник движется, как быстро закрученный волчок Лагранжа. Ось фигуры подчиняется закону псевдорегулярной прецессии (теорема 6.8.4).
Угловая скорость прецессии ф направлена вдоль вертикального вектора ез. По теореме об изменении кинетического момента получим (рис. 6.11.2) 500 Глава 6. Динамика твердого тела где Р— вес, 1 — расстояние от центра масс до неподвижной точки. Период прецессии рассчитывается по формуле г = 2тНДР!). Конец оси фигуры будет приближенно описывать окружность, расположенную в горизонтальной плоскости. Широта какого-либо места определяется по высоте над горизонтом одного из небесных светил. Для измерения высоты светила нужна горизонтальная плоскость, от которой производится отсчет. В условиях хорошей видимости для этой цели может служить естественная линия горизонта. При отсутствии видимости на суше можно пользоваться свободной поверхностью какой-нибудь жидкости или плоскостью, перпендикулярной к отвесу.
Однако зти приспособления не должны двигаться ускоренно. В море, когда имеет место качка корабля, все эти способы неприемлемы. Одним из первых надежно работавших в этих условиях приборов с гироскопическим маятником был искусственный горизонт Флериз (1886 г.).О П р и м е р 6.11.3. Астатический гироскоп имеет центр масс, расположенный на пересечении кардановых осей (случай Эйлера-Пуансо, з 6.7). Если такой гироскоп установить на земной поверхности и сообщить ему начальную угловую скорость, направленную по оси фигуры, то при отсутствии возмущающих сил зта ось будет сохранять постоянное направление в абсолютном репере. Астатический гироскоп применяется, например, для управления вертикальными рулями торпеды.
В этом случае ось фигуры направлена в цель. Если торпеда сбивается с курса, то рама поворачивается относительно вертикального диаметра внешнего кольца подвеса. Это приведет в действие руль поворота, который выправит курс.О П р и м е р 6.11.4. Чувствительным элементом указателя поворота самолета служит астатический гироскоп с двумя степенями свободы, ось которого вынуждена оставаться в плоскости, жестко связанной с самолетом.
Ось фигуры удерживается пружиной вблизи нейтрального положения. При вращении самолета вокруг направления, перпендикулярного к оси фигуры гироскопа, развивается гироскопический момент, зависящий от угловой скорости вращения. Под действием этого момента ось фигуры, оттягивая пружину, переходит в новое положение равновесия, а ее отклонение передается на стрелку прибора.О Приведенные примеры иллюстрируют лишь основные механические принципы использования гироскопов. Современные гироскопические приборы имеют значительную сферу применения. Эти приборы устроеиы достаточно сложно, особенно когда оии призваны длительно работать с высокой точностью в условиях действия возмущений. 501 6.12. Волчок на гладкой горизонтальной плоскости 8 6.12.
Волчок на гладкой горизонтальной плоскости Пусть начало О и векторы е1, е2 абсолютного ортонормированного репера Ое1евез принадлежат гладкой горизонтальной опорной плоскости. Направление ез вертикально. Начало ортонормированного подвижного репера С,е', езев, жестко связанного с телом, примем в центре масс тела С . Волчок (абсолютно твердое тело) будем считать динамически симметричным (как в случае Лагранжа, 2 6.8): А = В 1~ С. Вектор ев направим вдоль оси динамической симметрии. Предположим, что точка опоры О волчка о плоскость лежит на оси симметрии волчка.
Расстояние от точки опоры до центра масс равно 1. Угол между векторами е' и ев по-прежнему обозначим д (угол нутации). Радиус-вектор центра масс представим разложением по векторам абсолютного репера: Гс — Т1Е1 + Т2Е2 + ТВЕЗ. Уравнение связи, учитывающей действие опорной плоскости, будет иметь вид (рис. 6.12.1) тз — !сов д = О.
Выражение для кинетической знергии волчка получим с помощью теоремы 5.2.2: у = -те2+ -(А(с(сзв1пв 12+ д ) + С(срсовД+ 22)2), 2 ' 2 где 4 — угол прецессии, 22 — угол собственного вращения волчка (2 6.8) в осях Кенига, в, — скорость центра масс: вв = 2+ т2+ с 1 2 3' Сила тяжести имеет силовую функцию Уравнения движения волчка примут вид (2 6.6) тТ1 — О, тг2 — — О, Тпгз = — тд+ Я, Глава 6. Динамика твердого тела 502 Если в начальный момент времени движения горизонтальная составляющая скорости центра масс отсутствует, то волчок, опираясь о гладкую горизонтальную плоскость, движется так, что его центр масс перемещается все время только Вдоль вертикальной оси. Точка опоры Р волчка описывает на горизонтальной плоскости кривые, сходные по типу с изображенными на рис. 6.8.2.
е1 Рис. 6.12.1. Волчок на гладкой горизонтальной плоскости где Я вЂ” модуль реакции опорной плоскости. Направляющий вектор реакции совпадает с ез. Уравнения допускают очевидные первые интегралы г1 — а11+ аг, гг = аз1+ а4, д'Г . 0Т др —, = Сфсовд+ф) = Сгв, — — Адвщгд+Сгвсовд = А)1. дФ Здесь аы аг, аз, а4, гв, ф — постоянные интегрирования. Кроме того, справедлив интеграл энергии 1, 1 Т = -твг+ -~А(фгв)в~д+ дг) + С(дсовд+ф)~) = — пгдгз+ И.
С учетом уравнения связи полученные интегралы позволяют закон- чить решение задачи с помощью квадратур. Пусть, в частности, аг = аг — аз — — а4 = 6, фг в)пг д + дг(1+ а1 в)пг д) = а — а сов д, д в)п д = ф — Ьго сов д, ассад+ ф = гв, т.е, в начальный момент центр масс волчка проектируется в начало абсолютного репера и не имеет начальной горизонтальной скорости. Тогда, так как горизонтальные силы отсутствуют, в соответствии с интегралом количества движения центр масс волчка будет оставаться на вертикальной прямой, проходящей через точку О.
Остальные первые интегралы составляют систему уравнений 6.12. Волчок на гладкой горизонтальной плоскости 503 где а = 2гпд1/А, ао — — гп1а/А, о = (2Ь вЂ” Сгоа)/А, Ь = С/А. Видим, что мы вполне можем применить технику исследования движения, оказавшуюся полезной в случае Лагранжа-Пуассона (з 6.8). В частности, после введения переменной и = соэ д получим с ди~ /(и) ~3 — Ьгои Щ / 1+и,(1 иг) 1 иг Многочлен /(и) оказывается в точности таким же, как при изучении волчка Лагранжа. Поэтому качественный анализ поведения углов д, ф, ~р, проведенный в 1 6.8, остается справедливым и в данном случае. Однако реальная картина движения будет здесь несколько иной.
Чтобы показать это, зададим следующие начальные условия 4о = О да = О гэо = О да ) О 1Ьа ф О. Рассмотрим уравнение относительно переменной и: †( [1 + ао(1 — и )] = (ио — и)[а(1 — и ) — Ь го(ио — и)]. с до 1 о г т о й Угол д не может принимать значений, для которых правая часть отрицательна. Следовательно, д > до.
Вместе с тем д не может увеличиться до значения т, так как при д = н имеем и = — 1 и /(и) = — (1+ ио)оЬ'г~ ~< О. Следовательно, д может достичь лишь некоторого значения до < я. Итак, значения д заключены в пределах да<д<до <я. Обозначим р модуль радиуса-вектора точки Р опоры волчка о плоскость, проведенного из начала О абсолютного репера (рис.
6.12.1). Очевидно, что 1э(п до < р < 1э(п до, т.е. траектория точки Р заключена между двумя концентрическими окружностями радиусов ро =1ыпда Ро =1эшда, с центром в точке О. Заметим, что когда д = до, угловая скорость прецессии обращается в О. Поэтому траектория Р имеет на внутренней окружности радиуса ро точки возврата.
Очевидно, что чем Глава б. Динамика твердого тела 504 больше будет фш тем меньше разница между радиусами упомянутых окружностей. Во всем предыдущем изложении предполагалось, что ни для значения д = дш ни для значения д = ды ни для промежуточных значений д волчок, кроме точки Р, не имеет с плоскостью общих точек. Если это не так, то задача о движении тела становится существенно более сложной. 3 6.13. Относительное равновесие спутника Рассмотрим движение абсолютно твердого спутника в центральном поле тяготения сферической Земли.
По теореме об изменении количества движения центр масс спутника в центральном ньютонианском поле сил будет двигаться как материальная точка с массой, равной массе гп спутника (з 3.11). Предположим, что траектория центра масс есть окружность радиуса гс с центром в центре Земли. Из центра О Земли проведем радиус-вектор К центра масс спутника. Выберем вращающийся репер Ое1'е~е~ так, чтобы ось ез была коллинеарна В., ось е~ — параллельна скорости ч центра масс, ось е1' — перпендикулярна к плоскости орбиты и составляла с указанными двумя правую тройку. Относительно абсолютного (см. ~ 3.14) репера Ое1етез репер Ое1'е~е~з вращается с постоянной угловой скоростью Й = в/Я вокруг вектора е1' — — еы Найдем условие, при котором спутник будет находиться в равновесии относительно вращающегося репера Ое1'е~е~ под действием сил тяготения и сил инерции: центробежных и кориолисовых.
Силовая функция, описывающая действие центрального поля на спутник, имеет вид где Ъ' — объем спутника, р = уМ вЂ” произведение гравитационной постоянной на массу М Земли, г — расстояние от элемента спутника массы пш до точки О. Пусть г' — радиус-вектор элемента Нгп относительно центра масс спутника. Тогда В подынтегральном выражении силовой функции переменным интегрирования будет вектор г'.
Следовательно, 6.13. Относительное равновесие спутника 505 Тем самым силовая функция зависит от радиуса орбиты н положения спутника на орбите, характеризуемого вектором е~. При вращениях спутника относительно центра масс величина А не меняется. Меняется ориентация вектора ез относительно спутника. Пусть а — вектор дифференциала вращения (см. з 2.10) спутника около центра масс. Тогда виртуальное перемещение вектора ез относительно спутника примет вид зез —— — а х ез. П П Отсюда получим приращение силовой функции У на виртуальном перемещении спутника, определенном дифференциалом сг; дП „дУ л 1дУ бУ = — „.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
