1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Воспользовавшись равенствами Ц = Ц+ и Т = Т+, получим систему уравнений относительно и+~,и!+ + + и! +из =Я! +из, (а~) +( ~) =(н ) +(и ) . Эта система содержит линейное и квадратное уравнения, а потому имеет два решения. Одно из них: и! = и,, и! = и~ следует отбросить, а второе: и! = и~, и! = и, — оставить. + — + Таким образом, при ударе биллиардные шары обмениваются проекциями скоростей центров на направление общего диаметра, тогда как другие составляющие линейной и угловой скоростей сохраняются.
Непосредственно после удара условия качения шаров без проскальзывания могут не выполняться, и для определения радиусов- векторов и скоростей центров шаров по окончании проскальзывания следует воспользоваться результатами ~редыду!цего пункта. 519 6.15. Качение шара по горизонтальной плоскости Предположим, например, что до удара первый шар стоял на месте, а второй катился без проскальзывания и скорость его центра была равна ч.
Тогда после удара скорость центра первого шара станет равной чш — — п (ч и), а скорость центра второго окажется равной чге = ч — п(ч и). Угловая скорость первого шара непосредственно после удара равна нулю, и он начнет движение с проскальзыванием. После окончания поскальзывания скорость центра первого шара станет равной тВг 'г т)1г 5 ч* = 1+ — ~ — чге = — (ч п)п. А г~ А 7 Здесь учтено, что для однородного шара А = 2тйг/5 (см. пример 1.14.10). Поэтому шар, находившийся до удара в покое, после удара будет двигаться по направлению линии центров в момент соударения, но с несколько меньшей скоростью, чем та, которую получил его центр при ударе.
Так как второй шар перед столкновением катился без проскальзывания, то непосредственно перед ударом было выполнено соотношение ш х г„ = -ч. Направление скорости центра второго шара сразу после удара будет перпендикулярным линии центров шаров в момент соударения. Следовательно, и второй шар непосредственно после удара начнет двигаться с проскальзыванием.
После окончания проскальзывания скорость его центра станет равной т1гг г- 1 тг1г 1 5 ч* = 1+ — ) ~ч+ — чге) = ч — — п(ч и). Она будет отклонена от скорости центра второго шара до удара на угол, меньший, чем скорость чгш возникшая непосредственно после удара. При лобовом соударении шаров после окончания проскальзывания их скорости будут соответственно равны 5 .
2 чг = — ч, чг= — ч. 7 ' 7 Видим, что после лобового столкновения и первый, и второй шар движутся в одном и том же направлении. Движение второго шара после соударения объясняется тем, что он при ударе не меняет своей угловой скорости. Отметим, что в рассмотренных задачах закрутка шара вокруг вертикальной оси еэ никак не влияет на движение его центра масс. Так происходит из-за того, что контакт шара с плоскостью предполагается происходящим лишь в одной точке. Реальные (не абсолютно Глава 6. Динамика твердого тела 520 твердые) тела при контакте всегда деформируются.
Вместо точки возникает поверхность контакта с ненулевой площадью. Появляется момент относительно точки О„сил взаимодействия шара с опорной плоскостью, и картина движения может быть значительно сложнее. Контрольные вопросы к главе 6 6.1. Составить в терминах угловой скорости и углового ускорения выражение для энергии ускорений свободного абсолютно твердого тела. Выписать уравнения Аппеля и получить из них динамические уравнения Эйлера. 6.2. Пусть Ф, д, у — углы Эйлера, так что 6 — угол прецессии, ее — единичный вектор направления угловой скорости прецессии, д — угол нутации, еа — единичный вектор направления угловой скорости нутации, у — угол собственного вращения, ет— единичный вектор угловой скорости собственного вращения, ы — угловая скорость тела, тл — скорость начала репера, жестко связанного с телом.
Доказать формулы ды дщ ды ее =, еэ = —., ее= —,, аф' дд' дФ' Ие„ Нее Иеа — =О, — =уеехе +дев хеа, — =~рва хе сй Й 61 дщ ды с(ее ды Йеа — =мх億— = — +сохеа = О, — = — +ыхеа =фее хеэ, д~» ' д6 61 ' дд а дтл дта д»„ — =тах億— =та хев, — =та хек, др и' дФ ' дд где Й/Й вЂ” оператор дифференцирования в осях, жестко свя- занных с телом. 6.3. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси, и внешние активные силы отсутствуют.
В абсолютных осях, одна из которых направлена по оси вращения, найти выражения компонент реакций в точках опоры. 6.4. Центральный радиус инерции физического маятника составляет 0,05м. Каким должно быть расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, чтобы период его малых колебаний составил 1 с? Сколько решений имеет задача? Как практически можно реализовать эти решения? 521 Контрольные вопросы к главе 6 6.5. Однородный стержень длины 1 и массы п1 стоит вертикально на гладкой горизонтальной плоскости.
По нижнему концу стержня произведен удар Р. Какую скорость приобретут нижний и верхний концы стержня? 6.6. Однородную дверь высоты 5 и ширины а необходимо открыть посредством удара. В какую точку двери следует ударить, чтобы реакции в дверных петлях не возникли? 6.7.
В каком случае существует система координат, не связанная жестко с твердым телом, относительно которой его тензор инерции имеет постоянные компоненты? 6.8. Что служит осью регулярной прецессии в случае Эйлера при А = В? 6хк Как будет двигаться твердое тело в случае Эйлера, если а) В=С? Ь) А=С? с) А=В=С? 6.10. В случае Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки при А = В найти зависимость р, д, г от времени. 6.11.
Как надо закрутить волчок Лагранжа, чтобы этот волчок стал спящим? 6.12. Какие типы движений может совершать ось волчка Лагранжа? 6.13. В чем состоит различие между регулярной и псевдорегулярной прецессиями? 6.14. Определить направление псевдорегулярной прецессии волчка Лагранжа, если в начальный момент времени его закрутили по ходу часовой стрелки. 6.15. Выразить величину угловой скорости псевдорегулярной прецессии волчка Лагранжа в зависимости от угловой скорости первоначальной закрутки.
6.16. Определить направление регулярной прецессии в случае Эйлера при А = В. 6.17. В случае Ковалевской указать начальные условия, при которых реализуется постоянное вращение вокруг первой координатной оси, связанной с телом. Глава 6. Динамика твердого тела 522 6.18. Как найти градиент к эллипсоиду инерции в апексе тела, движущегося вокруг неподвижной точки? 6.19. К некоторой точке оси вращения гироскопа приложена сила, стремящаяся повернуть ось влево относительно смотрящего на него наблюдателя.
В какую сторону будет двигаться ось гироскопа? 6.20. При каких начальных условиях возникает псевдорегулярная прецессия волчка Лагранжа? 6.21. Какое движение может совершать центр масс волчка с точкой опоры на гладкой горизонтальной плоскости? 6.22. Какие существуют положения относительного равновесия спутника на круговой орбите? Размеры спутника малы по сравнению с расстоянием спутника до притягивающего центра. 6.23.
Найти стационарные движения обруча, катяшегося в поле тя- жести по горизонтальной плоскости без проскальзывания. 6.24. В какую точку неподвижного биллиардного шара должен целиться биллиарднст, чтобы после соударения шаров и окончания их проскальзывания относительно стола угол между скоростями центров шаров составил я/3.
Глава 7 Уравнения движения в лагранжевых координатах Напомним (определение 4.7.1), что лагранжевыми координатами системы материальных точек называется минимальный набор переменных величин, конкретное задание значений которых однозначно определяет совместное с геометрическими (конечными) связями положение всех точек системы. Число лагранжевых координат есть число степеней свободы системы, а выбор таких координат зависит от структуры геометрических связей. Пусть дм, .., д„— лагранжевы координаты, дм..., д„— обобщенные скорости.
Тогда радиусы- векторы материальных точек будут функциями лагранжевых координат и времени 1: г„= г„(ды..., д„, 1), и = 1,..., 11', где Х вЂ” число материальных точек. По определению зти функции тождественно удовлетворяют при произвольно заданных дм...,д„ всем учтенным геометрическим связям, стесняющим систему. Помимо учтенных геометрических на систему могут быть наложены еще дополнительные геометрические и дифференциальные связи, которые не учитываются указанными функциями и которые можно выразить с помощью системы уравнений Я 4.4) Ф.(гм...,гч,тм.,.,чгг,1) = ф,(д„...,д„,дм...,д„,1) = О, у =1,...,т, т< и.
О 7.1. Координатная форма принципа Даламбера- Лагранжа В соответствии со сказанным скорости г„точек системы выражаются формулами т дг„. дг„ г = 2 — В+ —. и=1 У. д4; д1 524 Глава 7, Уравнения движения в лагранжевых координатах Пространство виртуальных перемещений, соответствующее учтенным геометрическим связям, задается линейными комбинациями вида 6г„= ) — бд;, и= 1,...,тч'. дгг дчт Дополнительные связи сужают пространство виртуальных переме- щений, добавляя уравнения дфу м дФт дг дФР д ъ дфг ,дч„",дч„,, дуг ',, дч„дуг ', дуг Теорема 7.1.1. В лагранжевых координатах тождество принт4ипа Даламбера-Лагранлса эквивалентно тождеству для любых значений 6д;, удовлетворяющих линейным уравнениям —,' 6д; = О, у = 1,..., тп.
дф, дуг Здесь Т вЂ” кинетпическая энергия системы, ттт дг„ д дат — обобщенные силы. Доказательство. Согласно теореме 5.1.1 принцип Даламбера- Лагранжа состоит в выполнении тождества (тгГт уг) 6га = О для любого набора 6г„, и = 1,..., 1т', виртуальных перемещений тогда и только тогда, когда г„и = 1,..., 1т', суть действительные ускорения точек системы, возникающие под действием активных сил Г„, приложенных к ее точкам. 7Л. Координатная форма принципа Даламбера-Лагранжа 525 Выразим бг„через дифференциалы лагранжевых координат.
Тогда тождество принципа Даламбера-Лагранжа примет вид ~Я(т„г — Р„) —" бд! = О. дд;~ аш! ю ги Рассмотрим коэффициент при бд!. В нем ж а дг„ д! а по определению 4.7.3 обоб!ценной силы. Далее дтпл !!г! дг! И (. дг! ! . и дгр дд! !1! дд! !д! 1, " дд, ) " !1! дд! ' Дифференцированием по времени получим дг„, дг„ .,дд! ' д1' ду; ~~~-', дд;ддь дьд1 ~~~-, 'ддьдд! д!Од! (Н дд, ' При частном дифференцировании переменные д! и д! следует считать независимыми. Продифференцируем первое равенство по д;. Получим тождество 0г„дг„ дд! дд; ' Теперь можно продолжить преобразования: Осталось подставить правую часть последнего равенства в тождество принципа Даламбера-Лагранжа и учесть определение 5.1.1 кинетической энергии системы,С1 Отметим аналогию преобразований в доказательстве этой теоремы с преобразованиями, связанными с выводом уравнений движения одной материальной точки в криволинейных координатах (теорема 3.6.1).
526 Глава 7. Уравнения движения в лагранжевых координатах 2 7.2. Уравнения движения Используя теорему 7.1.1, можно построить систему дифференциальных уравнений движения, в которой искомыми переменными будут лагранжевы координаты и которые будут учитывать действие дополнительных дифференциальных связей. Эти связи мы будем предполагать независимыми, так что после очевидных преобразований и соответствующей перенумерации переменных уравнения связей можно представить в виде Чр+» = 'Рр+»(1 Чы,Ч» Ч1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
