1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Чр), Р = и — Рп, и = 1, Согласно теореме 7.1.1 принцип Даламбера-Лагранжа состоит в вы- полнении тождества для любых дифференциалов бЧЛ, удовлетворяющих уравнениям вир- туальных перемещений р ч д1»р+» бЧр+„- -~, бЧы р= п — гп, и=1,...,гп. дар Воспользуемся методом множителей Лагранжа. Умножим каждое из этих уравнений на соответствующий множитель Л„и прибавим к тождеству Даламбера-Лагранжа. Получим выражение ~ д /дТ'Л дТ ~ дурр+„ 7 — ~ —,) — — — Оь — 7 "." Л„бЧь+ Дифференциалы бЧь независимы, и их можно задать произвольно. Дифференциалы бЧр+„зависимые. По методу Лагранжа подберем рп множителей Л„так, чтобы коэффициенты при зависимых дифференциалах бЧр+„обратились в нуль.
Тогда коэффициенты при независимых дифференциалах бЧь обязаны стать равными нулю, так как тождество должно сохраниться при любых бЧь. В результате получаем систему дифференциальных уравнений, содержащую неопреде- 52Т 7.2. Уравнения движения ленные множители Л»э 11 / дТ 1 дТ х ~ д»»р+» — ~ —,~ — — — с), — ~ — "" л„= о, 111 '1,ддь) ддь ~-' ддь Н/ дТ 1 дТ вЂ” — ) — — — о,+„+ л„= о. 111 'тддр+. ) дд,+» Здесь кинетическая энергия системы зависит от лагранжевых координат, независимых скоРостей Чы зависимых скоРостей др+„и вРемени: Т = Т(Ч1, ° ° ° Ч» Ч1 ° Чр Чр+1~ Ч» 1).
Частное дифференцирование выполняется так, как будто все величины Ч1 . Ч» Ч1 Чр|Чр+1, Ч» не зависят друг от друга. Введем функции Т" = Т" 1Ч1,..., д„, Ч1,..., Чр,1), 1рр+»(Ч1,..., д„, д1,..., Чр,1). Функция Т' получается из Т заменой скоростей др+„, р = 1,..., »э, их выражениями через дифференциальные связи, а функции 1р'+„ совпадают по фоРме с соответствУющими фУнкциЯми 1Рр+„. Однако при частном дифференцировании Т' и ~р'+„будем считать справедливыми в силу уравнений дифференциальных связей следующие соотношения (см. определение 5.5.2): ддр+„дЧр+„дЧ р+» — — и=1,...,т 5=1,...,р, ддь ддь ддь Частные производные от функций Т, ур+» будем по-прежнему вычи- слять так, как будто все их аргументы независимы.
Тогда д дт дт дд~ дд1 дв ~», дд,+, дд; Далее Мы теперь можем воспользоваться уравнениями, содержащими неопределенные множители, чтобы исключить отсюда выражения ~1 дТ ~~ дТ й дд1' й ддр+„ 528 Глава 7. Уравнения движения в лагранжевых координатах В результате будем иметь д р +„дТ д~рг+. д1 дсн ду; ', ду; ", дур+. ду; ю лз ю ги1 гпг ипг Видим, что все члены, содержащие неопределенные множители, вза- имно уничтожаются. Теорема 7.2.1. Лагранэюевы координаты определяют движение механической системы, стесненное идевлъными дифференциальными свяэями, тогда и только тогда, когда они удовлетворяют следуюецей системе дифференциальных уравнений с1 /дТ'1 дТ' — ~ —.) — — =ф+4, 1=1, „р=п — т, Й ду; дв где ю ю д' ' ~ "+" д.
ду' дь , дуг+„ Доказательство. Очевидно, принцип Даламбера-Лагранжа выполняется тогда и только тогда, когда справедливы равенства д дТ' дТ ™ дТ д1орл.„д~ср~.„ — —, = — + ц ~— '. " + О;+ ц ~Ю,+.— '. "+ й д$ ду;,дур+, ду; ' „, ' ду гюг Вычитая из первого равенства второе, находим требуемую систему уравнений.П Замечание 7.2.1. Система уравнений теоремы 7.2.1 справедлива при любых наложенных на систему связях. Но она не полна.
Нам 7.2. Уравнения движения 529 УДалось пРи ее вывоДе исключить скоРости дрь» в Явном виДе, но не удалось исключить координаты дрь». Чтобы эту систему замкнуть, достаточно добавить к ней уравнения дифференциальных связей (кинематические уравнения). Замечание 7.2.2. Слагаемые Щ обусловлены воздействием дифференциальных связей. В общем случае они могут содержать вторые производные от обобщенных координат, и потому их не всегда можно трактовать как обобщенные силы. Найдем сумму х-; дур+„.е-, дг две ' '.5-, дв1 К~-' д д' 71 '~ д' 1й ~Х- д У' ~ " + Лемма 7.2.1. Если дифференциальные связи допускают принадлежность действительных перемещений множеству виртуальных, то тогда справедливо равенство ,7, гй =~ —.
дТ д~р,'+„ , дур+» д1 Доказательство. Принадлежность действительных перемещений множеству виртуальных означает справедливость равенств р р дфр~.„ %- дрр+» тр+» — ~ . Ь ~ . Ч1 — 55р+» и — 1 ~-,' д71 ~-, д71 Следствие 7.2.1. Если дифференциальные связи стационарны и допускают принадлежность действительных перемещений множеству виртуальных, то тогда ~Фу =0 4»М 34- 1503 7.3. Системы Чаплыгина 531 Определение 7.2.1.
Силы, действующие на систему материальных точек, называются гироскопическими, если соответствующие им обобщенные силы линейно зависят от обобщенных скоростей: р Ф = ~~' 7ЫЧе 1 = 1,, р, причем матрица 1у;ь) кососимметрична: угь = — уы. Из структуры уравнений Воронца видим, что реакции неголономных линейных по скоростям идеальных связей могут зависеть от обобщенных скоростей. Эта зависимость выражается с помощью гироскопических слагаемых в выражениях для обобщенных сил реакций. 3 7.3. Системы чаплыгина В некоторых системах с линейными дифференциальными связями вида ар+» = ~~',Ьр+„,Йь+Ьр+»,а, р = и — рп, и = 1,...,тп, а=1 дЬр+»,ь дйре» ь дТ = — гйО, р=п — гп, р,и=1,...,»п, 1=1,...,р.
ду дар+» дар+» Уравнения движения для систем Чаплыгина могут быть получены как следствие уравнений Воронца. Действительно, пользуясь обозначениями предыдущего параграфа, найдем, что для систем Чаплыгина справедливы следующие соотношения: дТ (дйр+»; дЬре„ь уеь = -Е дар+» 1, дяь дф дТ' дТ дй; дд, дйр+„; дЬр+„; дйь = дй, 34' переменные ар+„, и = 1,...,»п, можно выбрать таким образом, что они не войдут ни в один нз коэффициентов Ьр+» ы ни в выражение для кинетической энергии Т, составленное без учета дифференциальных связей. Определение Т.3.1.
Механическая система с дифференциальными связями, разрешенными относительно ар+„и = 1,..., ~и, называется системой Чаплыгина, если связи стационарны, однородны: Ьр+»,а = О, и если выполнены равенства 532 Глава 7. Уравнения движения в лагранжевых координатах Поэтому уравнения движения принимают вид р др+„— — ~~~ Юрек,аде + Юр+„д, р = и — гп, и = 1,..., гп, ! = 1,..., р, еж! Полученные уравнения образуют систему уравнениЮ г7еплыгапа. Когда Я;, !' = 1,..., и — т, зависят только от координат д!,..., е„ первая группа уравнений окажется замкнутой относительно координат д!,..., д„,„и сможет быть решена независимо от второй группы, представляющей собой уравнения дифференциальных связей.
Для этого достаточно в выражениях дТ(дур+„исключить с помощью уравнений связей зависимые скорости ер+!,..., е . П р и м е р 7,3.1. Обратимся к механической системе, рассмотренной в примере 5.6.2. Заданы две материальные точки массы гп, соединенные не имеющим массы стержнем длины 26 Под действием силы тяжести система движется только в вертикальной плоскости и только так, что скорость центра масс направлена вдоль стержня. Пусть у — вертикальная, а х — горизонтальная координаты середины стержня, !р — угол, который стержень образует с горизонтальным направлением. Имеем кинетическую энергию и силовую функцию системы т = Р'+у')+ Рр', П = -2 Дифференциальная связь представлена уравнением а = ус!к <р.
Пусть д! = у, дт — !р, ез — — к. Имеем и = 3, р = 2. Коэффициенты кинематической связи принимают вид Ьз! = с1ур Ьзг = О. Видим, что ни выражения кинетической и потенциальной энергий, ни выражения коэффициентов бр+„ь не зависят от координаты з. Следовательно, это — система Чаплыгина. Запишем уравнения Чаплыгина; дТ* дТ дТ 1р й ду ду дх з1п'!р ду Ю дТ" дТ дТ у О 7.3. Системы Чапльггина 533 Найдем функции Т' и дТ(дх: Т' = —,г +гп! У, — = 2гпх =2гпУсгбр. гну г г дТ з1п гг дзг Подставим их в уравнения движения: Н !' 2гпу ~ 2пгуусгбуг М ~,яп у,! з1п у 2гпу сов ге 2пгу сов ~р 2гп! ф+ яп гр з1п гг Выполнив очевидные преобразования, найдем ! l у — — = — пгд з1п гр, Й ~,з1пу) где сг — постоянная интегрирования.
Далее см. пример 5.6.2.О П р и м е р 7.3.2. Пусть двухколесная тележка с одинаковыми колесами поставлена на абсолютно шероховатую горизонтальную плоскость. Кузов тележки может перемещаться только параллельно плоскости (рис. 7.3.1). Каждое колесо есть плоский диск, перпендикулярный к оси длины 2а, на которую насажены колеса. На тележку действует сила х', параллельная опорной плоскости и приложенная в точке В, находящейся на прямой Е. Прямая Е горизонтальна, задает ось симметрии тележки и проходит перпендикулярно к оси, на которую насажены колеса, через ее середину Р.
Точка В расположена на расстоянии 6 от точки Р. Предположим, что центр масс С тележки также принадлежит прямой Е и отстоит от точки Р на расстояние ! по ту же сторону, что и точка В. Радиус каждого колеса обозначим Я. Выберем правоориентированный абсолютный репер Оегегез с началом О, векторами еы ег, принадлежащими опорной плоскости, и вектором ез, перпендикулярным к ней. Положение тележки на плоскости можно описать, задав радиус-вектор г точки Р: г = хег + уег + !7ез угол д между вектором ег и единичным вектором ег оси Е, угол ггг поворота левого колеса, угол ~рг поворота правого колеса (правое и левое, если смотреть в сторону вектора егг). Таким образом, система содержит пять лагранжевых координат: ковых колеса и гладкую подпорку, которая мешает ей опрокинуться и не оказывает сопротивления горизонтальному перемещению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
