1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Следовательно, М Я! = -2 У гп„(ео х ч„„) дㄠ— 1= 1 ...,и. д ою! Далее гп„(еохч„„) 'У вЂ” "71=-2 ~ пе„(еохч„„) ч,„ш0.0 до! ою1 !ю1 кю1 ю Дед! = -2 15' при любых значениях обобщенных скоростей. Отсюда .О; = — 71 .П П р и м е р 8.2.2. Пусть движение изучается а неинерциальном репере. Тогда на механическую систему помимо прочих сил инерции действуют кориолисоаы силы (теорема 3.13.1). Для связей, не зависящих явно от времени е этом репере, такие силы будут гироскопическими. В самом деле, сила Кориолиса, действующая на и-ю точку системы, выражается формулой 548 Глава 8.
Динамика голономных систем Определение 8.2.1. Силы называются диссипативными, если их мощность может принимать только неположительные значения: » ~ д!де<О. !ю1 П р и м е р 8.2.3. Пусть к каждой точке системы приложена сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости: а„=-дт„, о=1,...,Ф, Ц)0. Соответствующие обобщенные силы примут вид !т дг„ ч! = — д~ и„—, 1= 1,...,п. »ю! Если система склерономна, то » л!» д л! фд! = -1! ~и„. ~ — о! = -1У ~ т„.
!ю! г»1 !»1 ч! »ю! Следовательно, при любых склерономных связях такая система сил бу- дет диссипативной.!л Следствие 8.2.2. Необходимое и достаточное условие гиросхопичности сил можно представить в виде а диссипативности сил — в виде Доказательство. Согласно определению обобщенных сил, найдем Е: ' =К(К' —,".) =К'К вЂ”;". юК'("- — „")' !ю! !»1»ю! »»1 !»1 гю! Определение 8.2.2. Пусть а! = -~.угу!, ! =1,",и, 1»1 В.д. Обобщенная силовая функция 549 с симметричной (6» = 6,;) неотрицательно определенной матрицей. Тогда функция 1 К=-7 6бу;уу 2 ."-.' «д«м называется диссипативной функцией Рэлея.
Функция Рэлея неотрицательна. Следовательно, если она существует, то в Оеде = — 2Тс, и силы, приложенные к системе, будут диссипативными. Если функ- ция Рэлея положительно определена, то диссипацию называют пол- ной, а совокупность таких сил — определенно диссипативной. Следствие В.2.3. Гироскопические силы не влияю«п на изменение полной энергии системы. Они не нарушают интеграл энергии или оБобщенный интеграл энергии Якоби. Диссипативные силы стремятся уменьшить полную энергию.
Заметим, что для склерономных систем выполнено соотношение дㄠ— "=О, д1 и=1,...,Ю, Т1 =То=О. Поэтому закон изменения полной энергии упрощается: — „, =~Мы а'"сс «шп 2 8.3. Обобщенная силовая функция Пусть лагранжевы координаты задают конфигурацию механической системы в подвижном репере. Изменения лагранжевых координат никак не влияют на положение базисных векторов в абсолютном пространстве и характеризуют лишь относительное движение. Изучим структуру уравнений Лагранжа, построенных по правилам составления уравнений для относительного движения. По теореме 2.11.1 сложения скоростей для каждой материальной точки системы будем иметь Для таких систем необходимое и достаточное условие существования интеграла энергии состоит в том, что непотенциэльные силы либо отсутствуют, либо они должны быть гироскопическими.
550 Глава 8. Динамика голономных систем где»„' — скорость точки в абсолютном репере, »„'— скорость точки относительно подвижного репера, »'„— переносная скорость. Кинетическая энергия абсолютного движения примет вид М М Т = — Ц~~ т„(~„') = — ~ т„(»„'+»"„)э = Т" + У', и=1 еэд где Т" — кинетическая энергия относительного движения.
Функция У' выражается формулой эг Ю 5г' = ~~~ т„»'„х»"„+ — ~ т„(»„') . 2 и=1 еэл Определение 8.3.1. Функция и = цд,...,в„, вг,...,в„,г) называется обобщенной силовой функцией, если обобщенные силы в уравнениях Лагранжа второго рода выражаются формулами Соответствующая система сил называется обобщенно иотенциаль- ной. Теорема 8.3.1. Функция У" служит обобщенной силовой функцией сил инерции, действующих в подвижном репере. Доказательство. Вычислим необходимые частные производные: Обозначим; »в — скорость начала подвижного репера, ю — угловую скорость этого репера, ㄠ— радиусы-векторы относительного положения точек системы. По теореме Эйлера найдем »„= »в + ы х г„. Следовательно, д»„' дㄠ—" = ю х —.
ду; дд; В.З. Обобщенная силовая функция С учетом этик выражений сгруппируем первый и третий члены в правой части выражения для дУ" /дд;: дУ' дг„, дч„' — т„(ы х чо + ы х (ы х г„) + ы х ч"„] — + ~ т„ч'„— ". дв Далее д1/' д ' д По-прежнему символом д/М будем обозначать дифференцирование по времени координат вектора в подвижном репере (относительная производная). Отметим, что полная производная по времени, взятая от евклидова скалярного произведения, может быть заменена на относительную производную. Получим Примем во внимание равенства дч„' е(чо . Йㄠ— "= — +фхг„+~ах —, е(1 Й " Й ' е] д „дч„"Ь„ В1до, дд;' М В соответствии с определением 8.3.1 вычислим обобщенную силу Ю Ьчо ,1 дг„ Я; = — ~а т„— +еахчо+ых(ыхг„)+фхг„+2(ыхч'„) аае "~ д,, Но "чо ачо — = — +щ х чо.
Й д1 Поэтому первые четыре члена в квадратной скобке выражения для ф учитывают действие силы инерции иэ-за переносного ускорения. Пятый член учитывает действие силы Кориолиса.С1 Следствие 8.3.1. Кинетическая энергия атиосительного двилсенил имеет вид М Т = — ~ т„(ч„), кап Глава 8. Динамика голоиомных систем 552 а с учетом того, что У' слузюит обобщенной силовой функцией для сил инерции, уравнения Лагранзюа мозюно представить в виде где ф — обобщенные силы, не учитывающие сил инерции. Как и следовало ооюидать, с учетом того, что Т = Т' + У', уравнения Лагранлса принимают стандартный вид Помимо сил инерции в природе существуют и другие силы, обладающие обобщенной силовой функцией.
П р и м е р 8.3.1. На электрон, движущийся в электромагнитном поле, действует сила Лоренца Гас еЕ+-(ч к В), с где Š— напряженность электрического поля, и — скорость электрона, с — скорость света,  — вектор магнитной индукции, е — заряд электрона. Покажем, что сила Г имеет обобщенную силовую функцию вида е У = — ею — — (и А). с Функция у и вектор-функция А называются скалярным и векторным потенциалами. При этом г = гз е1+ гг ез + гз ез радиус-вектор электрона и ~Р = то(г) гз,гз,1), А = А1е~ +Азез+ Азез, А; = А(гыгз,гз,1). Найдем силу Г, воспользовавшись определением 8.3,1 и считая гы гз, гз обобщенными координатами электрона: дУ др е ч дА1 — =-е — — -~ — г.
дг; дг; с ~." дг; уьл 3.3. Обобщенная силовая функция 533 Отсюда следует, что дьа е г ьгдА дА ь, е дА; дгь с~ ~,дгу дгь) ь с В ' ,Ьвь Другими словами, должно быть д~р 1 дА Е = — — + — —, В = — гоь А. дг с д1' Существование потенциалов уь и А следует иэ свойств уравнений Максвелла для электромагнитного поля. В частном случае, когда векторы Е и В постоянны, указанные потенциалы принимают вид 1о= — Е г, А=гхВ. Заметим, что уравнения движения электрона в постоянном электромагнитном поле интегрируются аналитически.
Это — линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Здесь ограничимся лишь исследованием траектории. Представим радиус-вектор г, скорость т электрона и вектор Е в виде суммы двух составляющих: ь = гьеь+гк, т = иьеь+та, Е= Еьеь+Ея, д д — гь = оь, — г ь = т ь, Й ' Й где еь — единичный направляющий вектор поля В. В дальнейшем бу- дем считать, что В ф О, так как в противоположном случае движение будет равноускоренным, и его траектория представит собой прямую или параболу, Запишем уравнения движения с учетом принятых обозначений: И и е пь — оь = еЕь, пь — ть = еЕь + -(та х В).
Й ьь'ь' с Первое уравнение выражает равноускоренное смещение электрона вдоль оси еь, параллельной вектору В магнитной индукции: еЕь(Ф вЂ” 1о)з гь = + оьо(ь — ьо) + гьо 2пь где аьа, гьо — начальные значения проекций скорости и радиуса-вектора. Проинтегрируем один раз второе уравнение движения: е пьмь — — е Е~(1 — 1о) + -[(гь — гяо) х В]+ пьтьо. Глава 8. Динамика голономных систем 854 Пусть В ф О.
Положим В х [тиха + е Ех(1 — 1а)]с сзт К= гх — гха+ Взе + — Ех. Взе Проверкой убеждаемся в справедливости дифференциального уравнения аК е т — = — (В. х В), М с из которого ясно, что модуль Н вектора В. не изменяется в процессе движения. Введем вектор аз го Вз Е В х [тиха+ еЕх(1 — 1а)]с га = гьеь + гхо Взе Тогда г = К+г„, и траекторию злектрона можно представить как результат композиции двух движений; движения по окружности радиуса Я с центром в точке г„, причем плоскость окружности перпендикулярна вектору В, и движения вместе с точкой г„, перемещающейся по параболе. Образно говоря, при действии ненулевого магнитного поля злектрон совершает спиралевидное" движение.О Теорема 8.3.2.
Всякая обобщенная силовая функция У линейно зааисигп от обобщенных скоростей: и Веуе+ Ва, где Уе = Уе(ды..., дп,1), ь = О, 1,...,и, а силы, ею определяемые, представляют собой сумму гироскопических сил и сил, не зависящих ат обобщенных скоростей. Доказательство. Пусть задана обобщенная силовая функция В = В(йы ", У., йы ", Ь, 1) По определению 8.3.1 найдем л гдВ дВ дВ и дгВ и дгВ дхВ й (ь,ду';,/ дуь дйе ., дуудде ' ., ду;дйе ' дьдуе' ЬьЬ» = ЬьЬе(уь . Чп йы,Чп т) Но в соответствии с принципом детерминированности Ньютона (3 3.3) обобщенные силы могут зависеть лишь от лагранжевых координат, обобщенных скоростей и времени: 555 8.4. Функция Лагранжа. Циклические координаты Поэтому дгу — =О, г,у=1,...,п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
