1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Движение вблизи равновесия Исследуем движение склерономной механической системы под действием потенциальных сил в окрестности ее положения равновесия в пространстве лагранжевых координат. В точке равновесия все потенциальные силы обращаются в нуль: дУ вЂ” = О, 1 = 1,...,н. дЧ' Если в какой-то момент времени лагранжевы координаты равны их значениям в положении равновесия, а обобщенные скорости отсутствуют, то и в любой другой момент времени лагранжевы координаты будут в силу уравнений движения оставаться постоянными.
Не уменьшая общности, можно принять, что в положении равновесия все лагранжевы координаты обращаются в нуль: Ч;=О, 1=1,...,н. Такое решение системы уравнений Лагранжа будем в дальнейшем называть "нулевым" решением. Введем 2н-мерный вектор: (Ч,Ч) = (Ч1,".,Ч,Ч1,",Ь) и выберем в пространстве таких векторов какую-либо метрику )(ч, ч((. Достаточным условием устойчивости нулевого решения служит существование функции Ляпунова. Применительно к рассматриваемому случаю функция Ллаунова есть дифференцируемая функция 1'= ~'(Чы",Ь,Чм",Ь), знакоопределенная (сохраняющая знак и обращающаяся в нуль только при нулевых значениях всех аргументов) и такая, что ее производная в силу уравнений движения ди . др., ( ~- Ч,.
+ С;- Ч,. д;' . д'; Глава 8. Динамика голономных систем 570 знакопостоянна, причем ее знак противоположен знаку )г. Знакопостоянная функция может либо быть тождественно равной нулю, либо обращаться в нуль в каких-нибудь точках фазового пространства. Скажем, что силовая функция У(оы..., д„) имеет в точке изолированный максимум, если существует число б такое, что при выполнении условий справедливо неравенство Теорема 8.7.1.
(Лпграннс). Положение равновесия склерономной системы, находящейся под действием потенциальных сил, устойчиво, если в этом положении силовая функция достигает изолированного максимума (потенциалънап энергия — изолированного минимума). Доказательство. Так как силовая функция определена с точностью до произвольной постоянной, то можно считать, что в положении равновесия она достигает нулевого значения. Тогда существует окрестность нулевого решения, в которой причем поскольку максимум У изолирован, то эту окрестность можно выбрать такой, чтобы равенство нулю функции У было возможно лишь в положении равновесия. Для склерономной системы кинетическая энергия представляет собой невырожденную положительно определенную квадратичную форму всех скоростей.
Следовательно, полная энергия Н=Т вЂ” У есть знакоположительная функция. Рассматриваемая система допускает интеграл энергии Н = и (следствие 8.2.3), т.е. в силу уравнений движения дН вЂ” = О. й Тем самым Н есть функция Ляпунова,П 8.7. Движение вблизи равновесия 571 Следствие 8.7.1. Если положение равновесия склерономной системы, находяиьейся под дейспьвиель потенциальных сил, успьойчиво, то оно останется устойчивым при добавлении гироскопических и диссипативных сил. Устойчивость движения означает, что если в начальный момент времени отклонения фазовых переменных (координат и скоростей) от нулевых значений были малыми, то они останутся малыми и в любой другой момент.
С целью получения более подробной информации о структуре движения введем допустимые пределы изменения лагранжевых координат и обобщенных скоростей !Чь! < а!, )уь! < аь, ь = 1,..., ть. Эти пределы приблизительно характеризуют размеры допустимой области движения, где положение равновесия системы будет изолированным, а также предельное значение кинетической энергии, при котором система достаточно долго остается внутри допустимой области, если ее вывести из положения равновесия. Величины оь,..., оо, вь,..., во будем считать малыми в том смысле, что — ((1, =«1, ь=1,...,п, Ы )ь! дь 4 и настолько, что при разложении в окрестности положения равновесия в степенные ряды кинетической энергии и силовой функции членами выше второго порядка малости по сравнению с другими членами будем пренебрегать.
Представим силовую функцию в виде ряда д(71 1 " дх(7 (7(д,,..., д„) = (7(0,..., 0) + ~ — ~ в+ -,'у, — усуь. + ". дчь)о ' те, ь дь7ьдь7;)о Принимая во внимание, что в положении равновесия (7(0,...,О) = О, — = О, ь = 1,..., и, дв дчь о получим приближенное выражение для силовой функции где Ьь суть постоянные коэффициенты, образующие симметричную матрицу в=(ь;;), ь; =ьь Глава 8. Динамика голокомных систем 572 отличающуюся только знаком от матрицы вторых частных производных от силовой функции, взятых в положении равновесия. Разложение в ряд коэффициентов ай кинетической энергии дается формулой о да;,.
а;;(ды...,7„) = а0(0,...,О)+ ~ — де+ .. „, дчк Так как малыми предполагаются не только лагранжевы координаты, но и обобщенные скорости, а кинетическая энергия в рассматриваемом случае есть квадратичная форма от обобщенных скоростей, то члены первого и более высоких порядков в разложении коэффициентов ай не следует учитывать. В кинетической энергии они будут иметь порядок не ниже третьего. Окончательно получаем, что приближенно кинетическая энергия может быть представлена квадратичной формой 1,~ Т сз — з а;.дн)з, 2,~-~ 01 вм где все коэффициенты ай = а; (О) образуют симметричную постоянную положительно определенную матрицу А = (ай), а; = а;, 1,~' = 1,..., и. Эта матрица в точности совпадает с матрицей коэффициентов кинетической энергии, взятой в положении равновесия.
Определение 8.7.1. Механическая система называется позиционной линейкой системой, если ее кинетическая энергия есть положительная симметричная квадратичная форма обобщенных скоростей: 1 ~" Т= — з а; ооч А=(а< ), 2,"-~ 01 вп а силовая функция есть симметричная квадратичная форма лагранжевых координат; 1 У = — — ~ о; д;о1, В=(бд) 2 Пувн с постоянной положительно определенной симметричной матрицей А и постоянной симметричной матрицей В. Следствие 8.7.2.
Длл позиционной линейной системы нулевое значение координат 573 В.В. Главные координаты задает полозюение равновесия. Следствие 8.7.3. На конечном достаточно малом интервале времени позиционнал линейная система приблизюенно описывает движение соответствующей произвольной схлерономной механической системы в окрестности ее пололсенил равновесия. Следствие 8.7.4. Уравнения Лагранжа для позиционной линейной системы имеют вид и образуют систему линейных дифференциальных уравнений второ- го порядка с постоянными коэффициентами. 8 8.8. Главные координаты Пусть В" — линейное пространство с базисом сею..., сх„. Набору лагРанжевых кооРдинат ды..., у„сопоставим вектоР и Ч хх ~ уе се;. гко Тогда уравнения Лагранжа для позиционной линейной системы мож- но представить в виде с1 ее — СЧ, С = А В. Другими словами, вектор Ч есть результат действия линейного оператора С в пространстве В".
В базисе аы..., он матрица оператора С есть произведение матрицы А ', обратной к матрице кинетической энергии, на матрицу В силовой функции (определение 8.7.1). Теорема 8.8.1. (О приведении позипионной линейной системы к главным координатам). В пространстве В" существует базис ны..., н„главных направлений: и ч = ц ~сено 1х! для которого переменные (; удовлетворяют системе уравнений Лагранлса 6=-Мь, е — 1,...,п, с действительными коэффициентами А; — собственники значени- ями оператора С. Глава 8, Динамика голономных систем 574 Яоказательство.
В линейном пространстве Я» введем метрический тензор, матрица которого в базисе ск!,..., ск» совпадает с матрицей А кинетической энергии. Это можно сделать, так как матрица А симметричная и положительно определенная, а кинетическая энергия не зависит от выбора базиса в пространстве В». С помощью этого тензора определим скалярное произведение двух векторов х,у Е Я": » !х, у)А = Х~' а!гк!у!'. К>п! Тем самым пространство В" превращается в евклидово. Так как матрица В симметричная, то С вЂ” самосопряженный оператор по метрике А, Известно, что все собственные значения Л!, ! = 1,...,п, самосопряженного оператора — действительные числа. Кроме того, у каждого самосопряженного оператора, действующего в вещественном евклидовом пространстве Я", существует ортонормированный по метрике А базис иэ собственных векторов.
Пусть собственному значению Л; соответствует собственный вектор и! этого базиса: Сц; = Л;и;. Среди Л! могут быть и кратные корни характеристического уравнения. Кратный корень повторяется в последовательности столько раз, какова его кратность. Представим вектор с! в виде разложения по базису и!,..., и„: » !1 = ~ (!н!.
Тогда векторное уравнение движения позиционной линейной системы примет вид » » » рсн! = — ~~~ (сС ц! = — ~ Л!6ц!. !и1 Векторы и!,..., ц„линейно независимы. Значит, должны совпадать коэффициенты при этих векторах в правой и левой частях.П Определение 8.8.1. Уравнение вида де!(ЛА — В) = 0 называется уравнением частот позиционной линейной системы.
Теорема 8.8.2. (Сильвестр). Все корни уравнения частот веи1ественны и совпадают с собственными зиачен пми оператора С. 575 В.В. Главные координаты Доказательство. Характеристическое уравнение для собственных значений оператора С имеет вид Вес(С вЂ” ЛЕ) = О, где Š— единичная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
