1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 98
Текст из файла (страница 98)
1-1 Силам 1л в координатах д, соответствуют силы Е; в координатах б;. Установим соотношение между Я; и Е;, исходя из равенства выражений для элементарной работы ь и Щбд; =,'э Е;бс;. Дифференциалы координат связаны формулами бд; = ) и;ббу, 1= 1,...,п. Следовательно, ь(ь11 и и;ф) бб = ~~ Б б(1, узн Сравнив коэффициенты при независимых дифференциалах главных координат, найдем а =У =,~ оу~Ф.
Таким образом, если лагранжевы координаты выражаются через главные при помощи матрицы 1' = (и,,)': Ч = ~'4, 8.10. Влияние дополнительных сил то обобщенные силы Я, у' = 1,..., и, выражаются через Щ, г = 1,..., и, при помощи транспонированной матрицы: );тц В главных координатах уравнения движения принимают вид ~', +Л,4, =Бр(~). Рассмотрим случай, когда все собственные значения положительны: Л =ыг, у = 1,...,и, а силы Щ(1) и, значит, д ($) суть произвольные периодические функции с периодом г и частотой й = 2к(г.
Такие функции можно разложить в ряд Фурье: а (1) = ~ А»в(п(кй1+«о «). «=о Подстановкой нетрудно убедиться в том, что ряды А» в(п(lе(1«+ р;«), г = 1,...,и, »=о г' дают частное решение уравнений движения. Если некоторое значение )ей совпадает с ы и соответствующее А» ф О, то для координаты бу будет иметь место явление резонанса. Когда резонанс отсутствует, решение можно представить в виде где » п «1 = ~ сену в(п(ыгй+ о,), ц' = ~ 4"и;, г-1 1-1 и — собственные векторы позиционной линейной системы.
Таким образом, «1 описывает свободное колебание системы, а «1' — вынужденное колебание. Теорема 8.10.1. Пусть на систему действуют периодические обоби»енные силы Я; = Д сов г», г = 1,..., и, где Г = (эы...,~„) — постоянный вектор. Тогда движение по главныле координагпаж, для которых собственный вектор и ортогонален вектору Г: (цг,Х) = ~идэг = О, г«п не возбуждаются при действии этой силм. Глава 8. Динамика голономных систем 592 Доказательство. В матрице 1г = (и;)' второй индекс соответствует номеру собственного вектора, первый индекс выделяет компоненту разложения этого вектора по базису а1,..., а„: о пг —— ц~ и; ег1. ех1 Для случая, указанного в условии теоремы, обобщенная сила, отве- чающая у-му главному колебанию, принимает вид о и йу = ~~1 идф = ~ игчуесовуйП Ех1 Следствие 8.10.1.
Пусть функция Лагранжа не изменяет своего вида ири преобразованиях координат где матрица 5 обладает свойствами: НН = Е, Я = Я" (зто, в частности, могут быть преобразования симметрии относительно плоскости или повороты на угол к). Тогда, если на систему действует внешняя сила Ц, такая, что то главные координаты, для которых собственный вектор п удовлетворяет условию Яп=-п, не возбуждаются. Наоборот, для силы Ц, удовлетворяющей условию Я~=-Ц, не возбуждаются координаты, для которых Яп = п. Доказательство.
Если собственное значение Л оказывается простым (некратным), то для соответствующего ему собственного вектора п будем иметь Яп = и, либо Яп = -п. Действительно, поскольку вид функции Лагранжа не изменяется при преобразовании с матрицей Я, то Яп — собственный вектор, соответствующий значению Л, а так как А — простой корень, то эти собственные векторы коллинеарны: Яп = геп.
593 В.10. Влияние дополнительных спл Далее имеем 55н = щ и = и, так как ЯЯ = Е. Следовательно,щ~ = 1 или ю = ж1. Если Л вЂ” кратный корень, то необязательно должно быть Яи = щц. Но тогда ц1 — — ц+ Ян удовлетворяет условию Яи1 = иь Теперь получим если Ян = -и. Поэтому (ц, С)) = О. Аналогично выводятся остальные утверждения. П Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета.
Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай Ь = Ьг + Ло. Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьг есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. г 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно определенной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если Ьг — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде В = Вг+ Вг + Во где Вг — квадратичная по скоростям, В1 — линейная по скоростям формы, Во от скоростей не зависит.
Стационарное положение такой системы, соответствующее решению системы уравнений ВВо(дц = О, г = 1,..., пг означает, что в нем позиционные координаты оы..., а„, сохраняют постоянные значения, тогда как циклические координаты могут изменяться в соответствии с циклическими интегралами. Такой тип движения системы называют спгациоиарнмм. По смыслу исследование свойств движения в окрестности стационарной точки уравнений Рауса совпадает с исследованием окрестности стационарного движения в пространстве всех лагранжевых координат (как циклических, так и позиционных). Мы можем принять для исследуемой стационарной точки йг —— дг —— ...
— — у = О (см. г 8.7) и оставить в функции Рауса только слагаемые до второго порядка малости включительно. Функция Рауса м- мог Глава 8. Динамика голономных систем 594 соответствующей линейной системы примет вид ОФ т !и 1 т В= — ~ ОВУ1+~ 1+~,1041 Ус — — ~ бОУсйу 2... 2 .-~ Оун1 сн1 ухи О1=1 где А = (а;;) — положительно определенная постоянная симметричная матрица, В = (60) — постоянная симметричная матрица, 1;, 1О постоянные коэффициенты.
Составим уравнения Рауса: айуг+~~~ с(бу1+) (Чгд = О, сааб = 10 — 11, — — Н;, е'= 1,...,т. Полученная линейная система отличается от позиционной линейной системы слагаемыми вида которые имеют смысл гироскопических сил (см. определение 7.2.1), так как матрица В = (б; ) кососимметрична. Линейно независимые решения этой системы будем искать в виде с1 = ие~, х = (О,е1) = з1ер, г1= (и,фи), где и б Гет, з1 б В "' — постоянные векторы, х б В~~ — фазовый вектор, соответствующий искомому решению. Подставив вместо с1 его выражение в уравнения движения, получим задачу на собственные значения: (А)1~ + 1л13+ В)и = О. Характеристическое уравнение имеет вид с1еЦА)3~+ Рр+ В) = О. Его степень равна 2гп. Корни этого уравнения есть собственные значения задачи. Каждому собственному значению 13 соответствует по крайней мере один ненулевой собственный фазовый вектор з1 = (и,)зи), где и ненулевое решение полученной вырожденной системы линейных уравнений.
Теорема 8.10.2. Различным кирилл~ характеристического уравнения соответствуюгп линейно независимые ненулевые собственные фазовые векторы. В.10. Влияние дополнительных снл 595 Доказательство. Предположим противоположное. Пусть собственные значения д»,..., дь попарно различны, а соответствующие им собственные фазовые вектоРы»1„..., Чь линейно зависимы, т,е.
существуют не все равные нулю скаляры 7»,, 7ь такие, что 7»Ч! + + 7гЧг — — О. Предположим, например, что 7ь ф О. Вектор-функция 1(») = ) 7»ч»едл »=1 составляет решение изучаемой системы дифференциальных уравнений с начальными условиями, определенными значением этой вектор-функции при 1 = О. Но по построению»»(0) = О. Следовательно в силу теоремы единственности решений системы дифференциальных уравнений имеем 1'(!) = О.
А потому Х(0) = 7»АЧ»+ +7ьдгЧг = О. Мы теперь можем условие линейной зависимости векторов Ч! умно- жить на»з! и результат вычесть из полученного равенства: 7г!»Зз — д!)Чз+ . +7гШь — »З!)Чь = О. Другими словами, оказывается что линейно зависимыми будут также векторы Чз,..., Чю Процесс исключения векторов мы можем аналогичным образом продолжать и в результате получим 7ь(дг — д»М~3ь — »0г) (дь — ~3г-!)Чг = О. Имеем противоречие, так как по предположению 7г ф О,С Следствие 8.10.2. Пусть характеристическое уравнение имеет 2п! Различных коРней д»,..., Вз,„и Ч», ...,Чь„— соответствУ- »ощие этим корням собственные векторы. Тогда общее решение исследуемой линейной сис»немы представллется в виде х=(»1,»1) =~~ б,Ч,ев", где бу, у = 1,..., 2т, произвольные постоянные. Следствие 8.10.3. Если все корни характеристического уравнения различные и мнимые, то движение линейной системы с гироскопическими силами в окрестности стаиионарной точки буде»п ус»пойчивым.
Глава 8. Динамика головомных систем Теорема 8.10.3. Пусть матрица В положительно определена. Тогда все корни характеристического уравнения системы с гироскопическими силами суть мнимые числа. Доказательство. Воспользуемся теоремой 8.7.1 Лагранжа. Если матрица В положительно определена, то потенциальная энергия системы 1,- П = — г б,"уед 2 ~ ед=г имеет в стационарной точке изолированный минимум. Система имеет интеграл энергии, так как гироскопические силы на энергию системы не влияют. Согласно следствию 8.7.1, такая система устойчива в окрестности стационарной точки. Предположим теперь, что корень характеристического уравнения Вг оказался при этом не мнимым, то есть Вг = ганг + г~в, е = -1, уг ф О, пю ~г — действительные числа. Это означает, что общее решение будет иметь слагаемое, содержащее в виде множителя функцию ехр(уг1). Пусть дг > О, тогда найдется сколь угодно близкое к стационарной точке в начальный момент времени решение, удаляющееся в бесконечность при 1 — оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
