1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Предположим, что цг < О. Сделаем замену независимой переменной: 1 = — г. Обозначим д' дифференцирование по г. Линейная система уравнений с гироскопическими силами примет вид Ае1" — Оц' + Вц = О. Она удовлетворяет теореме Лагранжа об устойчивости, а ее характеристическое уравнение совпадает с характеристическим уравнением исходной системы, если искать решение в виде е1 = пехр( — )гг). Следовательно, общее решение системы будет включать слагаемое, содержащее в виде множителя функцию ехр(-е1гг). Таким образом, и предположение об отрицательности уь противоречит устойчивости системы. П Заметим, что если характеристическое уравнение линейной системы с гироскопическими силами имеет кратные корни, то даже в том случае, когда все они мнимые, нельзя утверждать, что система будет устойчивой. Сказанное проиллюстрируем примером.
П р и м е р 8.10.1. Материальная точка массы т движется в плоскости с декартовыми координатами Огу. Плоскость вращается с угловой скоростью еа = ые. Вектор е перпендикулярен плоскости Осу и образует с осями Оа и Оу правую тройку, а ось вращения проходит через точку О. На точку действует центральная сила Е = — с(а, у), где г, у— 597 В.10. Влияние дополиительиых сил координаты точки, т = (х,у) — ее радиус-вектор. Уравнения движения примут вид х — 2ыу — (ыг — а)х = О, г с у+ 2ых — (ы — а)у = О, а = —. гп Здесь учтены кориолисова (гироскопические члены, содержащие х и у) и центробежная силы инерции. Запишем характеристическое уравнение: ! )3г — (шг — а) — 2ы)3 2ы3,3г ( г ) или [13г — (ыг — а))г + 4ы~дг = О.
Корнями этого уравнения служат А = — 1(ы — т/а), 13г = — 1(ы+ ~/а), 13з — 1(ы- ~а), Р4 — — 1(ы+ тра). При а > О все корни мнимые и различные. Следовательно, система будет устойчивой при любом сколь угодно малом положительном а. Если а ( О, то у корней возникнут действительные части и система будет неустойчивой. В рассматриваемой системе координат характер устойчивости при малом положительном а следует считать гироскопическим, так как если гироскопические силы убрать, то в случае ыт > а > О движение будет явно неустойчивым. Особо рассмотрим случай а = О. Тогда 33г = 33г и 33з — — )34.
Имеем два кратных мнимых корня характеристического уравнения. Если мысленно убрать гироскопические силы, то рассматриваемая система превращается в позиционную линейную систему, уравнение частот которой имело бы один кратный корень, и вся плоскость Оху состояла бы из собственных векторов. В ней следовало бы выбрать взаимно ортогональные, например вдоль осей Ох и Оу, и каждому из направлений соответствовало бы по два линейно независимых решения. Действие гироскопических сил приводит к тому, что система имеет одно собственное направление иг для корня 13г = Вг = — Йи, определяемое из условия иге — гига — О, и одно собственное направление мз для корня )3з = А = 1ы, определяемое из условия из~+ 1изэ — — О. Недостаток базисных решений здесь восполняется за счет так называ- емых "резонансных" членов вида т = 1иу ехр()311), 3 = 1; 3, где и Глава 8.
Динамика голономных систем 598 уже найденные векторы. В самом деле, возьмем, например, ддд = — д ~. Тогда резонансные члены имеют вид к = ид дехр( — кЛ), к = ид.ехр( — додд) — ддо, у = и дед ехр(-додд), у = идз ехр( — ЙЛ) — даду, к = — 2аоид ехр( — додд) — ьдзк, у = — 2дадидт ехр( — иод) — одзу. Подставив эти выражения в уравнения движения, убеждаемся в том, что уравнения удовлетворяются с учетом условия для компонент соответствующего вектора пд. То же самое касается и второго собственного значения ддз = ф4 = ао.
Таким образом общее решение уравнений движения в рассматриваемом случае имеет вид г = (бд + бед)пд ехр( — аЛ) + (бэ + бед)пз ехр(ддод), где бд,..., бе — произвольные постоянные. Возможность появления резонансных членов в случае кратных корней принципиально отличает линейную систему с гироскопическими силами от позиционной линейной системы, для которой из-за кратности корней резонансные члены никогда не возникают.О 8 8.11. Экстремумы функционалов 1 = (Ч Е П": Ч = Ч(Д), До < 1 < М Пусть Т' — другая вектор-функция, определенная на том же отрезке: -д' = (Ч' Е Л": Ч' = Ч(д) + 8Ч(Н), ~о < ~ < дд) Представим ее в виде у' = у+ б.
На множестве вектор-функций у зададим некоторый функционал Ф(т). Изучим свойства приращения Определение 6.11.1. Функционалом называется отображение заданного множества функций в некоторое множество действительных чисел. При этом каждой функции из заданного множества (множества определения функционала) соответствует единственное действительное число из множества значений. В этом определении термин "функция" может пониматься также в смысле "вектор-функция". Будем считать, что все функции принадлежат классу Сз дважды непрерывно дифференцируемых функций. Обозначим Т некоторую вектор-функцию в пространстве дд" лагранжевых координат, определенную на отрезке времени Фо < Ф < 1д.
В.11. Экстремумы функционалов 599 С этой целью в пространстве вектор-функций у зададим норму !! у!!. Нормой называется функционал, удовлетворяющий следующим условиям. 1. !!у!! > О, причем !!у!! = О только если -г = О, 2 !!уг + 'Ы! < !!уг !! + !!ут !! 3. !!ау!! = !а! !!у!!, каково бы ни было число о. Если у б Сг, нормой может служить, например, величина !! у!! = гпахгпах[!ус(с)(, !с)с(с)(], с = 1,..., п. Определение 8.11.2. Функционал Ф называется дифференцируемым на некотором множестве вектор-функций, если с1Ф представляется суммой двух функционалов: где Е зависит от б линейно: б'(бг + бг, у) = Г(бг, у) + Е(бг, у), с(аб, у) = ас(б, у), при фиксированном у и любом действительном а, а функционал Н есть малая более высокого порядка относительно б: Я(б, у) = о(!!б!!), то есть из выполнения неравенства )!б(! < е следует, что !Я! < с(е)с, причем с(с) — О при е — О.
Линейная часть приращения называется дифференциалом функционала или его вариациесг. Слагаемое б(г) называется вариацией вектор-функции. Дифференциал функционала Ф часто обозначается как бФ. Теорема 8.11.1. Функционал с, ф(с') = г(с1,4 1)аг, со где ц(г) = (суг(с),...,о„(1)), а Ь имеет вторые непрерывные частные производные по всем аргументам, дифференцируемый, и его дифференциал (вариация) дается формулой сс п сс г(со = у г ! — — — ( — )! бог.,'.
Ч ( — сс) с о сшг о Глава 8. Динамика голономнык систем 600 Доказательство. с, ФИ+ б) — Ф(у) = (6(Ч+ бЧ, Ч+ бц,г) — ЦЧ, Ч, ~)) сй = са — бус+ ~~с —,бдс сй+ о(ЦбЧЦ)й. с' дЬ дд 10 са Пусть ЦбЧЦ < е. Тогда по определению о(ЦбЧЦ) найдем < ~о(ЦбЧЦ)/ дг < (гс — го)с(Е)е.
о(ЦбЧЦ) й со со Проинтегрируем по частям выражение дВ . Г дЬ Н(бдс) " дЬ со 1о 11 — ) г'бб; — ( — ) о.а с о Определение 8.11.3. Экстремалью диффереицируемого функционала называется вектор-функция у, для которой Е(б, у) = 0 при любом допустимом б. Теорема 8.11.2. (Эйлер). Вектор-функция 7 служит экстремалью функционала Ф(б') = ЦЧ Ч с)ас са на множестве кривых, проходящих через фиксированные точки ~до- пустимое множество) Ч(са) = Ча, Ч(11) = Чс, июгда и только тогда, когда она удовлетворяет системе обыкновен- ных дифференциальных уравнений в вариационном исчислении называемой системой уравнений Эйлера. 601 8.11.
Экстремумы функционалов Доказательство. Согласно теореме 8.11.1, дифференциал функционала имеет вид и ц Г(б)=11 ] — — — [ — )]Был.,'.т [ — ь) щ1 де, ей дую о ны м Внеинтегральный член равен нулю, так как по предположению тео- ремы о допустимом множестве вектор-функций имеем бг1(1э) = бц(11) = О. Необходимость. Пусть т — экстремаль. Это значит, что Е(б) = О, Чб: бг1(1о) = бг1(П) = О. Допустим, что существует момент времени 1 б [гэ,11], для которого квадратная скобка, соответствующая 1-й координате в подынтегральном выражении дифференциала, не равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
