1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 103
Текст из файла (страница 103)
621 8,12, Интегральные нариационные принципы Кинетическая энергия и силовая функция принимают вид (д2+дз)И гад 2 По-прежнему д — ускорение силы тяжести. Согласно принципу Якоби (следствие 8.12.3) действительная траектория между точкой Ра и точкой Р1 доставляет экстремум функционалу Х = 2(Ь вЂ” гпд дт) Из = ъlАВВдд1, Ро Ро в котором А = 2(11 — гад дз), В = п2((Ндз/Ндг) + 1]. Согласно теореме 8.11.2 экстремаль этого функционала должна удовлетворять уравнению д1/АВ ВН (д1/АВ 1 ддг дд1 ~ ддз / где д2 = годзУг1д1.
Выполнив дифференцирование, найдем Обратим внимание, что, согласно следствию 8.12.3, й=Г Поэтому уравнение экстремали приводится к виду дг д ьгог совпадающему с общеизвестным уравнением изменения вертикальной координаты точки под действием силы тяжести. Из него получим г — д2 = -дд2+ 61. 2 Уравнение, определяющее горизонтальную координату, следует из выражения для производной пг/пд1, если учесть, что это есть форма записи интеграла энергии; 2 2 -(д1+ д2) = -дд~+— Глава 8. Динамика голономных систем 622 Отсюда и из предыдущего равенства вытекает, что 9г 2(ь(гп )1 ) Таким образом, как и следовало ожидать, уравнения движения прини- мают вид Чг= — д, 9г=е, где эг — начальная горизонтальная скорость.
Траектория движения (геодезическая) есть парабола с вертикальной осью.О Контрольные вопросы к главе 8 8.1. Как выглядит разложение кинетической энергии системы по однородным формам от обобщенных скоростей? 8.2. Какими свойствами обладает матрица формы тз кинетической энергии для механической системы? 8.3. Привести пример механической системы, для которой матрица (агу) формы Гз кинетической энергии вырождается для некоторых конфигураций. 8.4.
Показать, что если связи склерономны, то обобщенный интеграл энергии Якоби переходит в интеграл энергии, соответствующий теореме 5.1.8. 8.5. Показать, что гироскопические силы не нарушают обобщенный интеграл энергии Якоби. 8.6. Показать, что движение электрона в электромагнитном поле допускает интеграл энергии (см. пример 8.3.1). 8.7. Как будет двигаться электрон в постоянном магнитном поле (см. пример 8.3.1)? 8.8.
Показать, что из принципа детерминированности и второго закона Ньютона следует, что обобщенные силы не могут зависеть от обобщенных ускорений. 8.9. Выполнить доказательство существования обобщенного интеграла энергии Якоби в случае, когда Лагранжиан не зависит явно от времени.
8.10. Проверить справедливость теоремы Нетер для циклических координат уравнений Лагранжа 2-го рода. Контрольные вопросы к главе 8 623 8.11. Пусть система имеет циклические координаты, а соответствующая функция Рауса имеет стационарную точку в пространстве позиционных координат. Можно ли утверждать, что зта точка всегда отвечает положению равновесия системы? 8.12. Пусть б = 7з + Ес есть разложение функции Лагранжа по однородным относительно скоростей формам. Какое разложение по таким формам может иметь функция Рауса при наличии циклических координат. 8.13.
Какой механический смысл имеют циклические интегралы в случае Лагранжа-Пуассона движения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. 1 6.8)? 8.14. Может ли знакопостоянная функция быть тождественно равной нулю во всей ее области определения? 8.15. Может ли знакоопределенная функция быть не равной нулю во всей ее области определения? 8.16. Может ли функция Ляпунова зависеть только от части обобщенных координат или скоростей? 8.17.
Проанализировать устойчивость движения спящего волчка Лагранжа. 8.18. Будет ли устойчивым по Ляпунову движение твердого тела вокруг неподвижной точки а) в случае Эйлера в окрестности наибольшей или наименьшей осей инерции; Ь) при возникновении регулярной прецессии в случае Эйлера; с) при возникновении регулярной прецессии в случае Лагранжа-Пуассона; с1) при возникновении нсевдорегулярной прецессии в случае Лагранжа-Пуассона? 8.19.
Сформулировать правило нахождения собственных векторов позиционной линейной системы. 8.20. Написать алгоритм получения закона движения позиционной линейной системы в лагранжевых координатах, если получен закон ее движения в главных координатах. Глава 8. Динамика голономных систем 624 8.21. Показать, что если силовая функция позиционной линейной системы удовлетворяет условию теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, то все решения уравнения частот положительны.
8.22. Исследовать малые колебания системы, состоящей из и материальных точек массы т каждая, связанных последовательно друг с другом одинаковыми пружинками жесткости с и могущих двигаться по окружности радиуса В. В начальный момент времени пружинки ненатянуты. Действуют только упругие силы пружинок. 8.23. Пусть позиционная линейная система имела п собственных значений 1, <1,«...1„. Дополнительно на систему наложены две линейные по координатам однородные связи.
Что можно сказать о собственных значениях вновь полученной системы? 8.24. Исследовать структуру решений линейной системы вблизи положения равновесия, когда на нее кроме потенциальных сил действуют диссипативные силы с отрицательно определенной по скоростям диссипативной функцией Рэлея. 8.25. Исследовать зависимость решения задачи о брахистохроне (см.
пример 8.11.1) от начальных условий. 8.26. Выписать систему дифференциальных уравнений для сопряженных переменных в случае, когда управляемая система описывается линейными дифференциальными уравнениями. 8.27. Какие краевые условия будут следовать из условий трансверсальности в задаче оптимального управления, если а) начальная и конечная точки траектории обязаны принадлежать поверхностям, заданным уравнениями Ро(1о, х(1е)) = О, Е~(1ы х(1~)) = О; Ь) начальная и конечная точки траектории обязаны принадлежать поверхностям, заданным уравнениями Ре(х(1е)) = О, Г~(х(1~)) = О; с) не наложено никаких ограничений на начальную и конечную точки? Контрольные вопросы к главе 8 625 8.28.
Как будет осуществляться управление в соответствии с синтезом примера 8.11.3, если фазовые координаты я, х определяются с некоторой ошибкой Ья, Ьк? 8.29. Указать область определения для функционала принципа Гамильтона. 8.30. Указать область определения для функционала принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби. 8.31. Сформулировать принцип Якоби.
8.32. Свободная материальная точка движется по сфере. Сфера— идеальная удерживающая связь. Указать возможные траектории движения точки. Глава 9 Метод Гамильтона-Якоби В дальнейшем будет изучаться движение голономных механических систем под действием потенциальных или обобщенно потенциальных сил. Для таких систем справедливы принцип Гамильтона и система уравнений Лагранжа второго рода. Каждое уравнение Лагранжа — это дифференциальное уравнение второго порядка, определенное на координатном пространстве. Для исследования геометрических свойств систем такого рода удобно вводить эквивалентные системы первого порядка, определенные на фазовом пространстве. Система дифференциальных уравнений первого порядка задает в фазовом пространстве векторное поле, по структуре которого можно, следуя Пуанкаре, судить о свойствах интегральных кривых и о существовании первых интегралов.
Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якбби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. О 9.1. Преобразование Лежандра Пусть функция Дх) переменного х Е л'": х = (ям..., к„), удовлетворяет условию невырожденности Пег ф О.
Введем другие переменные ау р;= —, а=1,...,п. д*;' 9.1. Преобразование Лежандра 627 Определение 9.1.1. Преобразованием Лежандра функции у(х) называется функция Теорема 9.1.1. Преобразование Лежандра ииволютпвио: если при преобразовании Лежандра з' переходит в д, то д при преобразовании Лежандра перейдет в г. Доказательство. Дифференциал функции д(р) имеет вид дутая — ддр;=~ к;др,+ ) р;дк; — У вЂ” дкь дд " " " ду е=! !»я е=! е=! Согласно определению переменных р;, 1 = 1,..., и, коэффициенты при дифференциалах Ик; обращаются в нуль. Следовательно, при любых дифференциалах Нрь Отсюда дд к! др;' ! = 1,..., и.
Значит, при указанном преобразовании функция у(х) восстанавлива- ется. П Теорема 9.1.2. Пусть з(х) — выпуклая функция переменной х, шакая, что квадратичная форма д д дз г к! к !.1=! положительно определена. Тогда ири заданном р = (р!,...,р„) выполнено равенство / » д(р) = !пах ~ ~ р;к, — 1(х) !=! получающаяся после замены переменных к;, ! = 1,..., и, через пере- менные р;, 1 = 1,..., и, что возможно в силу условия иевырождеиио- сти. Глава О. Метод Гамильтона-Якоби 628 Доказательство. Точки экстремума функции о г (х, р) = ~~~ р;х; —,)'(х) еьы при фиксированных параметрах р; удовлетворяют уравнению дУ р; — — =О, 1=1,...,п. дх; Но таким же соотношением связаны переменные р и х при преобразовании Лежандра.
Кроме того, в силу выпуклости у(х) этот экстремум есть максимум,С1 Теорема 9.1.3. Преобразование Лезесандра выпуклую функцию )(х) переводит в выпуклую функцию д(р). Доказательство. Согласно теореме 9.1.1 дд — =х;, 1= 1,...,п. д1ое Продифференцируем это равенство по р". дд дх; др др; др, Из равенства р. = д1/дху следует ~- дх;дх др ';~-,' дх;дх дре Поэтому матрицы дх;дх, ' Ор,Ъ оказываются взаимно обратными, и из положительной определенности одной из них следует положительная определенность другой. Аналогично, если одна из матриц отрицательно определена, то и другая матрица также отрицательно определена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
