1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 104
Текст из файла (страница 104)
П Следствие 9.1.1. Пусть у(х) — выпуклая функция, причем матрица (д;дч) 9.1. Преобразование Лежандра 629 положительно определена. Если д(р) есть преобразование Лежан- дра функции 1(х), то п р;хе < д(р) + у(х). 1ю1 Доказательство непосредственно следует из теоремы 9.1.2. П Следствие 9.1.2. Если 1'(х) — выпуклая функция, причем матрица отрицательно определена, то после преобразования Лежандра зта функция переходит в 1 и д(р) = пцп ~~~ реке — у(х) х 1ж! а значит, для таких функций и р;те > д(р)+ У(х). 1ю1 Определение 9.1.2. Неравенство п р;х; < д(р) + у(х), еы справедливое для выпуклых вниз функций при любых значениях х и р, и неравенство и рехе > д(р) + ((х), справедливое при любых значениях х и р для функций, выпуклых вверх, называются неравенствами Юнга.
П р и м е р 9.1.1. Рассмотрим функцию а з(х) = —, о >1, х>0. Эта функция выпукла вниз. Найдем ев преобразование Лежандра: х" о — 1 а р — ха х — ра-Т д(р) — рх — ра-Т о о Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби 630 Обозначим о 1 1 д= — >1, — + — =1. а — 1 ' о 3 Тогда неравенство Юнга принимает вид ,а а рт С вЂ” + —, 11 ' и оно справедливо для всех х > О, р > О, а > 1, д > 1, причем — + — = 1.0 1 1 е 3 П р и м е р 9.1.2. Рассмотрим функцию уТх) = агсгй х, х > О.
Эта функция выпукла вверх. Вычислим ее преобразование Лежандра; дУ 1 /1:р ~~- р )~-р р = — = — х = —, д(р) = р — — агс16 д 1+ г )/ р )/ р С его помощью получаем неравенство Юнга: /Г:р хр > р~/ — агс$6)/ + атеях. — р р в...., ...,...р р=д~г:нь. т, . 1 р=— 1+ уг' а неравенство Юнга примет вид х — у — > агой х — агс16 у, 1 1.уг— где х > О, у > 0.0 Заметим, что оценки функций, получаемые с помощью неравенств Юнга, оказываются точными, т. е. существуют значения аргументов, при которых достигается точное равенство.
9 9.2. Канонические уравнения Гамильтона Пусть движение системы описывается уравнениями Лагранжа второго рода И /дЬ'1 дС а1 1,дд;,1 ду; где дь..., д„— лагранжевы координаты системы. 9.2. Канонические уравнения Гамильтона 631 Теорема 9.2.1. Система уравнений Лагранжа второго рода зквиваяенпана системе 2п уравнений первого порядка дН, дН р;=- — +Р;, Ч;= —, е'=1,...,п, дЧ' дре где р, = дЦдЧ';, функция Н(р~,",ро,ч~,",ч»,г) = ~~~.р ч;-Х(ч~,",чп,чм",чо,1) в=1 есть преобразование Лежандра функции Ь по переменнььм Че,..., Ч„, слагаемые Р*(р,",р,Ч,",Ч.,1) =Ф(Ч,",Ч,Ч,",Ч,1), '=1,",, суть обобщенные сиям, в записи которых обобщенные скорости вм- раэкены через переменные р;, 1 = 1,..., и. Доказательство.
Преобразование Лежандра функции 1(Ч»" Ч Че " Ч» 1) по пеРеменным Че,..., Ч„есть фУнкциЯ п Р'Че е (Чы . Чо Че - .. Чп~1) ~=1 в котоРой скоРости Че,..., Ч„выРажены чеРез Ры...,Р„с помощью системы уравнений ы р; = —., а=1,...,п. дЧ Для механических систем это всегда можно сделать, так как по тео- реме 8.1.2 имеем де$ —,, ф О. Полный дифференциал функции Н дН дН дН бн = ~ ' — др; + ц ~— дЧе+ — б1 ,,др; ' .,дч; ' де тождественно равен полному дифференциалу выражения п реЧ~ А ~ы1 632 при ре = дЬ/дЧ1: дА , " дЬ дЬ ЙН = ~ Ч1 ИР1 + ) Р; 41 — ~ ~—. 1(Ч! — ~ ~— 11Ч1 — — е1!. ев! 1в! 1в! Ч' ев! Коэффициенты при Щ обращаются в нуль в соответствии с определением переменных р;, ! = 1,..., и.
Сравнивая полученные выражения для дифференциала ЙН, найдем ! = 1,..., и. Примем теперь во внимание уравнения Лагранжа: И /дЬ'! дЬ дН р; = — ( —, ) = — + 1Е1 = — — + Р1, !' = 1,..., п.П а (,дйе! дйе ' дйе Определение 9.2.1. Переменные дЬ р;= —,, 1=1,...,п, дЧ1 называются обобщенными импульсами системы. Функция Н(Р! Рп Ч! ° ° Чи~1) — ~' Р1Ч1 ЦЧ! ° ° ° ~ Чи~ Ч! ° ° ° ~ Чп !) ев! где скорости Ч1,..., Ч„выражены через переменные р1,..., р„, назы- вается функцией Гамильтона. Переменные (с! Р) = (Ч! Чи Р1,,рп) называются каноническими перемеииьсми Гамильтона.
Пространство Вэ" канонических переменных называется фиговым пространством. Следствие 9.2.1. (Система уравнений Гамильтона). Если ф ьа О, то Ре и О, и соответствующая система уравнений Лаграилса эквивалентна системе 2п уравнений первого порядка дН, дН Р;= — —, Ч1= —, 1=1,...,п, дЧ1 ' др1 ' которая называется системой канонических уравнений Гамильто- на. дН дН дЬ Ч1 дР; ' дЧ1 дЧ1 ' Глава 9.
Метод Гамильтона-Якоби дН дЬ д1 д! ' 9.2. Канонические уравнения Гамильтона 633 Следствие 9.2.2. (Свойства функции Гамильтона). 1. Из доказательства теоремы Р.й1 находим: дН дЬ дН дй дое дйе ' д2 д2 ' При этом частная производная от Н по о1 берется в множестве переменных в1,..., а„,р1,..., р„, а частная производная от функции В по ое берется в множестве переменных й1,...,оп,о1,...,о„, Это разные множества, и смысл частпных про вводных для иих различен. й Вычислим полную производную Н по времени: еи1 Пусть переменные рь в1 удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона.
Тогда дН дН д1 д1 ' Другими словами, полная производная от Н по времени в силу канонических уравнений Гамильтона совпадает с частной производной от Н по времена. Я. Для произвольных систем материальных точек функция Гамильтона представляет собой обобщенную энергию: Н = Ьг — ЬО, а для склерономных систем под действием потенциальных 1'ие обоб- щенно потенциальных) сил — полную энергию: Н = Т+П. Действительно, для систем материальных точек функция Ь есть сумма форм: ь = В2+ 11+ ЕО~ где Ьг — однородная квадратичная форма, Ь1 — однородная линей- ная форма скоростей, Ьо от скоростей не зависит.
Далее Н ке ~ рейе-Ь = ~ —.де-Ь = 7 —.' йе+~ —.' де — Аг-Ь1-Ьо. 1=1 1=1 1=1 -' еи1 По теореме Эйлера о6 однородных функциях получим ВВг, " дй — де = 212, ~~ —, ае = Ь1. Поэтому Н = Вг — Во, Когда система склерономна и силы потенци- альны, то Вг = Т, Ьо = У = — П.П Глава 9. Метод Гамильтона-Якббн 634 Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона ил~еет первый ингпеграл вида Н = 11, где п — постоянная интегрирования, тогда и только тогда, хогда функция Гамильтона Н ие зависит явно от времени: дНуд1 = О. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами— интегралу полной механической энергии.
Следствие 9.2.4. Обобщенный импульс р;, соответствующий циклической хоординате дн сохраняет в силу канонических уравнений Галеильтоиа во все время движения постоянное значение. Доказательство. По определению циклической координаты имеем дЬ/дрп = О, но дН дЛ ду, дрл Значит, для циклической координаты дН/дрд = О, н дН дА р; = — — = — =О.С1 ду1 дрп Призма скользит без трения по горизонтальной плоскости.
Цилиндр скатывается так, что прямая его контакта с призмой остается все время параллельной плоскости, Из-эа отсутствия внешних горизонтальных сил центр масс системы не смещается в горизонтальном направлении. О 91 Рис. 9.2.1. Цилиндр, катящийся по призме Р е ш е н и е. Пусть д1 — горизонтальное смещение призмы слева направо, уэ — смещение центра масс цилиндра относительно призмы Когда в системе имеются циклические координаты, изменение позиционных координат описывается функцией Гамильтона, в которой циклические импульсы приняты эа постоянные параметры. П р и м е р 9.2.1.
Треугольная призма массы М может скользить по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 9.2.1). Однородный цилиндр радиуса г и массы т может катиться без проскальзывания под действием силы тяжести по боковой грани призмы, образующей угол о с горизонтом. Ось цилиндра в процессе движения горизонтальна. Составить канонические уравнения Гамильтона. 9.2.
Канонические уравнения Гамильтона 635 вдоль боковой грани снизу вверх от ее основания (рис. 9.2.1). Абсолютная скорость и центра масс цилиндра складывается из относительной его скорости вдоль поверхности призмы и переносной скорости горизонтального поступательного движения призмы. Следовательно, е = д, + дг + 2дгдг сова. Угловая скорость вращения цилиндра вокруг оси равна ы = дг/г. По теореме Кенига кинетическая энергия цилиндра есть те тг г т(г З.г г г Т = — + — ы = — дг+ — дг+2дгдгсоза 2 4 2 1, 2 Учитывая поступательный характер движения призмы, найдем выраже- ние для кинетической энергии всей системы М+т,г т /З,г Т= 2 212 91 + ( — дг + 2дгдг соз а Потенциальная энергия имеет вид П = пгддгзгпа.
Найдем выражения для обобщенных импульсов: дЬ дТ р1 — — — — — — — — (М+ т)дг + тдг сова, ддг дуг дА дТ /3 . рг — —, = —, = пг — дг + Я1 сов а ддг ддг Отсюда Зр1 — 2рг соз а д 3(М+ гп) — 2т сонг а' 2[(М + гп) рг — трг соа а] т[З(М + т) — 2т сонг а) Чтобы найти функцию Гамильтона, достаточно учесть, что система склерономна. Поэтому Н = Т+ П, где обобщенные скорости следует заменить их выражениями через обобщенные импульсы (следствие 9.2.2, свойство 3). Учтем, что по теореме Эйлера 2Т = ргдг + ргдг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
