1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Рассмотрим замкнутые контуры в Вз"+1, составленные из одновременных состояний, т.е. принадлежащие плоскостям 1 = сопв1. Вдоль такого контура ей = О. Поэтому Интеграл 1„не меняет своего значения, если контур Ро, образованный состояниями системы в один и тот лсе момент времени 1в, смещается вдоль трубки интегральных хривых, переходя в контур Р1 других одновременных состояний. Определение 9.5.1. Интеграл / и г=~~~рега-га). 1=1 взятый вдоль замкнутого контура в пространстве Вз"+1, называется интегральным инвариантом Пуанкаре-Вартана. Интеграл взятый вдоль замкнутого контура в пространстве Втп одновременных состояний, называется универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре.
Слово "универсальный" подчеркивает, что интеграл 1„будет инвариантом для любой системы уравнений Гамильтона, так как в подынтегральное выражение не входит функция Гамильтона Н. Интеграл 1„удобно относить к фазовому пространству Вз" переменных й1 Р1 йюРЮ . Чну. 9.5. Интегральные инварианты 661 Пусть в этом пространстве контуры одновременных состояний .0а, 1гг охватывают одну и ту же трубку фазовых траекторий гамильтоновой системы.
Тогда для них Один из контуров, например Оа, можно выбрать совершенно произвольно. Можно считать, что точки контура Оо характеризуют различные состояния системы в один и тот же момент времени га. Отвечающие им состояния системы в момент времени П образуют контур Ры П р и м е р 9.5.1. Рассмотрим гармонический осциллятор с функцией Гамильтона ,г г,г Н = — + —. 2 2 Напишем для него уравнения Гамильтона: Ч=Р Р= ыЧ. Эти уравнения легко интегрируются, и решение имеет вид Ч(1) = Ча соя ы1 + — я)пзбг, ро ы Р(1) Ра — = — Чоя)пы1+ — сояыг, где Ча, ра — начальные (при 1 = О) значения фазовых координат.
Через фиксированное время ~ имеем преобразование координат в силу уравнений движениЯ. Если пРи г = 0 из начальных точек (Чо,ра) фазовой плоскости составить произвольный замкнутый контур, то к моменту времени 1 он перейдет в другой замкнутый контур, составленный из соответствующих точек (Ч(г), р(г)). Зафиксируем время г и возьмем интеграл Пуанкаре по замкнутому контуру, образованному фазовыми точками осциллятора в этот момент; 1„= й Р(г) ИЧЯ = ы ~ — НЧ(г) = 1Я) ра 1/ ггРо ~(-г.гч ~;- — 1) (Ь, ~;- — ' ~) = Ро г1 у г (РоЧа1 г ~ Ра — йН1 — — Чо Я)пыгсоЯ~Л вЂ” й Н( — 1Я(п ыт+ м — НЧо ,/ ты l ./ ы Глава 9.
Метод Гамильтона-Якоби Учтем, что все интегралы, взятые от полных дифференциалов вдоль замкнутого контура, равны нулю, Тогда Теорема 9.5,2. Пусть движение системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона. Тогда алгебраическая сумма площадей Я/, ограниченных проекциями на координатные плоскоетпи (д;,р;) контура Р одновременных состояний: сохраняется при преоБразованиях Р в силу уравнений движения. Доказательство. Произвольный контур Р, заданный в фазовом пространстве, спроектируем на плоскость (уе,р(). Получим контур Р;. Тогда по формуле Грина и и, где Яе — площадь области (со знаком), ограниченной контуром Р; в плоскости (дн р;).
Направление обхода контура Р индуцирует направление обхода на проекции Р, (рис. 9.5.2). Площадь Яе берется со знаком "+", если контур Р; обходится по часовой стрелке (в направлении кратчайшего поворота оси р; к оси рд ), и со знаком "—" в противоположном случае. П Произвольный контур Р в фазовом пространстве проектируется на двумерную координатную плоскость, соответствующую координате д/ и импульсу рь При интегрировании направление обхода проекции Р; этого контура определено направлением обхода контура Р. Площадь Яе считается положительной, если проекция Р; обходится по часовой стрелке. Рис.
9.5.2. Проекция контура на фазовую плоскость Интегралы 1 и Ти называются относительными интегральными инвариаитал(и первого порядка. Значения этих интегралов зависят 9.5. Интегральные инварианты 663 от выбора замкнутого контура, а дифференциалы, стоящие под знаком интеграла, входят линейно. Теорема 9.5.2 показывает, что интегрирование по контуру можно заменить интегрированием по поверхности, ограниченной контуром.
Сохранение элемента любой поверхности будет иметь место при ее деформации в силу канонических уравнений Гамильтона. Имеем абсолюп(ный (не связанный с конкретным видом поверхности) интегральный инвариант второго порядка. Существуют также интегральные инварианты более высоких порядков вплоть до интеграла по объему фазового пространства. Факт сохранения интегралов Пуанкаре и Пуанкаре-Картана есть отличительный признак канонических уравнений Гамильтона. Теорема 9.5.3. Если для нехоторой системы дифференциальных уравнений вида х( = Х((1, х(,..., х„, у(,..., у„), у( = У((1, х(,..., *„, у(,..., у„), ! + 1,..., и, интеграл сохраняетея вдоль любой трубки интегральных хривмх, то это— система канонических уравнений Гамильтона, т.е.
существует функция дН дН Н(т,х(,...,х„,у(,...,у„) (нехая, что Х( = —, У( = — —. ду;' ' дх;' Доказательство. Выберем в начальный момент времени произвольный замкнутый контур х;=х(а), унту((а), 1=(в, '=1,...,п, 0<а<1, х;(О) = х((!), у;(О) = у((!). Этот контур деформируется в силу уравнений движения, и для ка- ждого момента времени ! уравнения контура будут иметь вид х(=х(т,а), у(=у((,а), (=1,...,п, 0<а<!. Значение 1п можно вычислять как одномерный интеграл ( дх; ,( ., 'да о Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби 664 Сохранение 1, вдоль трубки интегральных кривых означает, что де до деда) » а » О= — ",', =1Е в В=! Здесь внеинтегральный член обри!дается в нуль, так как точки кон- тура совпадают при о = О и о = 1.
Следовательно, » 1учдхе — хлдус) = О. 2»! » ~(У;Их, — Х;ду!) = — ЙН г1 е=! Следствие 9.5.2. Сохранение интеграла Пуанкаре есть необходимое и достаточное условие того, что заданная система дифференциальных уравнений есть система канонических уравнений Гамильтона. Теорема 9.5.4. Пусть для некоторой системы дифференциальных уравнений вида х; = Х;(Ф, хы..., х, у2,, у ), у; = Ъ;(1,х2,,х»~у! . у») интеграл / » 1= ~ ~~ уедх,— нд2 2 »я Пуанкаре-Картана служит интегральным инвариантом. Тогда между функцией Н и функц ями Х;, 2! имеют место зависимости дН дН вЂ” — — ! = 1,..., и. ду;' * дх;' Подставив сюда значения правых частей дифференциальных уравнений, получим » ,) (У;дх; — Ходу;) = О Ев! 2» для любого замкнутого контура в пространстве В . Видим, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал: 9.5.
Интегральные инварианты 665 Доказательство. Введем вместо 1 другую независимую переменную т так, чтобы были выполнены соотношения Нхо Их„Иу~ Иу„й Х Х„1« где д = д(г,хо,...,х„, уо,..., у„) — произвольная функция от перечисленных аргументов. Интегральная кривая этой системы задается равенствами типа х; = х; (т, хо, ., ., х„, уо,, у„, 1о), о о о о уФ вЂ” у!(т,хо, ",хп,уо,,у„,80), Цтхо о,о уо 1); 1 и Пусть начальные точки (хо,..., хо„уо,...,уоо,«о) принадлежат за- мкнутой кривой Со. х; =х;(а) у, =у;(а), 1о=1о(а), 0<а<( х;(0) = х,(1), у;(0) = у;(!), Приняв во внимание этн зависимости, получим параметрические уравнения интегральных кривых: х;=х;(т,а) у;=у;(т,а) 1=1(т,а), 1=1,...,н, 0<а<1, в которых значение параметра а выделяет интегральную кривую, а значение параметра т задает точку на этой кривой.
Полагая т постоянным, мы на каждой образующей зафиксируем точку, а на трубке интегральных кривых выделим замкнутую кривую. В силу сказанного интеграл з г = ~ ~' р, ~*, — ««) 1=1 будет представлять собой функцию параметра т, и при каждом значении т будет криволинейным интегралом по соответствующей замкнутой кривой С. В силу инвариантности 1 будем иметь е1 — =1'=О, «1т где штрих означает дифференцирование по т. Дифференцируя под знаком интеграла, найдем ( « 1Е [а (хю+ у;()х )) — И'11 — Н(а)' = О.
в=1 Глава О. Метод Гамильтона-Якббьь 666 Здесь дх;, й зависят от дифференциала до. Изменим порядок дифференцирования по о и по г и проинтегрируем по частям вдоль замкнутого контура: ( п [у,'дхь — х,'дуь1 — Н'Й + Г дН = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
