1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Метод Гамильтона-Яибби 690 Найдем производящую функцию Иг(д,б) канонического преобразования, после применения которого будет выполнено Н' = с. Учтем, что дИг р= дд ' Поэтому функция И~ должна удовлетворять следующему уравнению: Это может быть, например, Иг(9,с) = 2с — вдг од. о Определим переменную бс Таким образом, переменная 9 имеет смысл аргумента тригонометриче- ской функции в законе движения гармонического осциллятора д = ~/ — в1п(т/и9). /2~ 'у' 9 Этим оправдывается название "угловая переменная". В рассматриваемом случае функция Н не зависит явно от времени.
Поэтому справедлив принцип Якоби (следствие 8.12,3). Вычислим действие по Мопертюи для фазовой кривой, соответствующей постоянной энергии С: рг ьг — + — =(. 2 2 Эта кривая есть эллипс с полуосями а = т/2~ и 6 = ~/2Е/9. Если взять начальное положение, совпадающее с конечным, то фазовая точка проИ- дет по полному эллипсу, а значение действия 1 вычислится по формуле (следствие 9.2.5) 1 = 26 — й9г Нд = р пд = ла6 = 2яЕ/Я, которая оправдывает для С название "переменная действие".О 9. 7, Канонические преобразования Теорема 9.Т.Т. (Якоби). Пусть с ф О.
Если найдено решение И'Иы .,й,6,,1,1) уравнения типа Гамильтона-Якоби дИ' / дИ', дИ' — +сН1оы...,оп,— с 1,...,— с 1,1) = Ц~ы...,(п,1), ' дч1 дув эависяигее от параметров ~ы...,~„и, быть может, времени 1, и такое, что е' дгИг '1 е)ес~ ) ьйО, г,у=1,...,п, 1,дбдйу ) то система канонических уравнений дН . дН дг= —, р;= — —, 1=1,...,п, др;' до1' решается явно в квадратурах. При этом функиии сы...,сп, опреде- ленные системой уравнений дИ'(Иы, йп,6,, (п,1) — ср;, 1=1,...,п, дрл служат независимыми первыми интегралами уравнений движения.
Доказательство. Рассмотрим каноническое преобразование с валентностью с ф О и производящей функцией И'Иы",у,6,",б»,1), служащей полным интегралом уравнения типа Гамильтона-Якоби. По определению канонического преобразования переменные бы..., („ удовлетворяют системе уравнений дИ' — = ср;„1= 1,...,п, дрл которая разрешима относительно них, так как по условию теоремы якобиан этой системы не равен нулю. Вычислим функцию Гамильтона Н'Иы ",Сп,уы" одп,Г) в новых переменных. Согласно теореме 9.7.1, будем иметь дИ', дИг, '1 дИг '''' "* дд1 '''' дй„' ) дг Глава 9.
Метод Гамильтона-Якоби 692 Далее после дифференцирования вместо Чм..., Ч„следует подста- вить их выражения через с;, Чг. Из условия теоремы найдем И'(б„...,й„,у, Ч 1) = г'(Чг Ч 1) Осталось воспользоваться следствием 9.7.7.С1 Таким образом, задача нахождения разнообразных типов переменных действие-угол сводится к отысканию достаточно большого числа решений уравнения Гамильтона-Якоби в частных производных. Замечание 9.Т.4. Пусть система с и степенями свободы описывается уравнениями Гамильтона и имеет п первых интегралов. Если можно указать такое каноническое преобразование, что эти первые интегралы входят в набор новых канонических переменных, то по теореме 9.7.6 рассматриваемые уравнения Гамильтона можно проинтегрировать аналитически.
Это — еще один способ построения переменных действие-угол. Определение 9.Т.5. Две функции Г1 = Г1(Чп ",Чо,рп".,р,г), Гг = Гг(Чм,Ч рм,р,г) находятся в ииволюции, если их скобка Пуассона (определение 9.3.1) равна нулю: (Гп Ег) = О.
Несколько функций находятся в инволюции, если они находятся в инволюцни попарно друг с другом. Лемма Я.Т.1. Пусть уравнения Г1 = Р1(Чп ",Чо,рп,р,г) =О, гг = Рг(Чп, Чи~р1 . Рп,г) = О слугюат следствием уравнений и1(Чы...,Ч„,рп...,р„,г) = О, Ч = 1,...,т, причем функции ш, 1 = 1,...,т, находятся в ииволюции. Тогда в ииволюции будут и функции Рь Ргг (Рм Гг) = О. Доказательство. Зафиксируем время 1 и рассмотрим фазовый поток, обусловленный функцией и1 (следствие 9.3.2) по параметру в. Так как функции и; находятся в инволюции, то применение к ним указанного фазового потока оставляет их постоянными, и поток не нарушает уравнений и; = О, 1 = 1,..., и. Но тогда останется выполненным и уравнение гг = О.
Поэтому (гг, и1) = О. Аналогично для любого 1 получим (гг, и;) = О или (иь гг) = О. Последнее означает, что фазовый поток, обусловленный функцией гг, не меняет функций ш, а значит, сохраняет уравнение г'1 —— О. Поэтому (Р'м гг) = О,П 9.7. Канонические преобразования 693 Теорема 9.7.8. Пусть даны п функций че — У11Ч1 ° Ч Р1 Рп. г) е — 1 ° и таких, что , д(чч, ю»), д1р,",р ) Тогда функции ды..., Ч„, для которых преобразование (Ч,Р)-(4, 1) будет каноническим, суи1ествуют в том и только том случае, если функции у;, Ч = 1,..., и находлтсл в инволюции.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что функции Чн, 1 = 1,..., и находятся в инволюции. Поскольку соответствуюший якобиан не равен нулю, то можно разрешить систему уравнений 6 = ~!(Чы,Чп,р1 ~рп,1), Ч = 1, относительно переменных ры Й = 1,..., и, так что рь = фьИ,. Ч»,6,,4,1), "= 1, Будем считать параметры (ы...,(„постоянными. Вторая система уравнений есть следствие первой, а первая находится в инволюции. Значит, в инволюции будут и функции рь — фы к = 1,..., и. Возьмем от них скобки Пуассона: д(„ - ф,) д1р.
- ф.) дЬ - ф ) д1р, - ф.) г, ч (дф. дфь 1 дф. дфь ~ — ' бы — — бм ) = — ' — — ш О. Видим, что существует функция Иг = ИЧЧы, Чп,6, ° 6з,1), для которой справедливо равенство дИг срь = сфе(Чы...,Ч„,(ы...,~„,1) = —, Й = 1,...,п, дЧг ' где с — постоянная. Если теперь принять дИ' дИ' Чь=- —, срьт —, 1=1,...,п, д(ь ' дЧь ' Глава 9. Метод Гамильтона-Якбби 694 то получим каноническое преобразование валентности с.
Невырожденность матрицы вторых частных производных от функции И' непосредственно следует из предположения о невырожденности якобиана. Достаточность. Пусть существуют переменные 111,..., у„, для которых преобразование оказалось каноническим. Согласно определению, зто означает, что имеется функция Иг = И'(д1,...,д„,(1,...,(„,1) такая, что п и с~ р;дуг — Ц~~ пед(1 = Л)г.
гю1 В соответствии с принятым условием невырожденности якобиана можно найти р, = 1ое(41,..., д„,б1,...,б„,1) и воспользоваться условием того, что левая часть последнего равенства служит полным дифференциалом: дф. дфь — — = О. дуг дв, Проводя теперь преобразования формул предыдущего пункта доказа- тельства в обратном порядке, убеждаемся в том, что функции рь — 1рг, х = 1,..., и находятся в инволюции, а значит в инволюции будут и функции 1ое,г= 1,...,п.П Теорема 9.Т.9.
(Теорема Лиувилли об интегралах в инволюции). Пусть имеется и независимых, находящихся в инволюции первых интегралов )ы...,уп системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движения к форме (1 = О, г)1 = У(Л,..., ~„,1), 1' = 1,..., и, где 1; — функции первых интегралов и времени. Доказательство. Примем в качестве новых переменных заданные первые интегралы 6 = Уу1 ун ры р,1), 1'= 1,...,п. Так как функции зы 1' = 1,..., и, независимы и находятся в инволюции, то по теореме 9.7.8 существуют такие переменные Оы 1 = 1,..., и, что преобразование (р, 11) — (11, б) будет каноническим: о о с '~ р;ду; — ~~1 гуК; = бИг. 1=1 еж 1 9.6.
Элементы теории возмущений 695 В новых переменных (с,г1) уравнения движения имеют форму уравнений Гамильтона и задаются функцией Н' = сН + дИ'/д1. По б;, 1 = 1,..., и, будучи первыми интегралами движения, не изменяются с изменением времени: с1 = О, 1 = 1,...,и. Отсюда дН'/дн, = О.
Поэтому Н' = и(б,,, Д„,1),с1 Отметим, что пример 9.6.5 содержит систему интегралов в инволюции, удовлетворяющую теореме 9.7.9. 9 9.8. Элементы теории возмущений Предположим, что движение некоторой механической системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона с функцией Гамильтона Н = Н(ч„...,,„, р,,..., р„, 1). Представим эту функцию в виде Н = Но+еН„ где Но = Но(а,, Чо, рм, р„,1) — функция Гамильтона, допускающая аналитическое решение соответствующей системы уравнений Гамильтона, функция Н, ограничена, а е — безразмерный параметр, величина которого характеризует точность приближения функции Н с помощью функции Но. Если для любой точки некоторой ограниченной области 17 расширенного фазового пространства имеем то для этой области погрешность приближения мала, и можно говорить о небольших отклонениях точного закона движения, обусловленного функцией Н, от приближенного закона движения, обусловленного функцией Но.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
