1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Метод Гамильтона-Якоби 674 где 7, 7', 7о — направляющие косинусы вертикали в главных осях инерции тела относительно неподвижной точки, а радиус-вектор г, центра масс тела в тех же осях не меняется и имеет разложение ге б е~ + и е~т + ь еэ. Здесь / о х|=Р, хг=Ч, хз=г, хе=7, хе=7, хе=7 . Очевидно, что в данном случае дД/дх; = О, 1 = 1,...,6, и система уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки имеет множитель Якоби М = 1.0 Следствие 9.6.1. Пусть М вЂ” мноэгситель Якоби.
Тогда по теореме У.б.б Л = Мдйг п(с) есть интегральный инвариант для любого обвема Щ) С Я Возьмем у; = уе(хм..., х,1), 1 = 1,..., Х < т, независимые первые интегралы рассматриваемой системы дифферен- циальных уравнений. Мы можем интерпретировать равенства уе = у;(хм..., х,1), 1 = 1,..., й < гп, хе+ — - хь+, 7' = 1,...,т — к, как невырожденное преобразование координат, так как ду, ду, дх1 ' ' дхь ф О. ду, ду, дх '' д При вычислении инварианта Л можно перейти к переменным ум ., ум хь+м ..,, х„,.
Элементарный объем в пространстве этих переменных обозначим Нй„г. По правилу преобразования переменных при интегрировании будем иметь лг(ум, .., уь, хе+и..., х, 1) ийг — лгать дайн где Лг — произвольная функция, а в правой части буквой У обозначена функция Лг, в которой вместо уы..., уь подставлены их зависимости от хм,, ., хт. 9.6.
Множители Якоби 675 Теорема 9.6.1. Пусть М1 и Мг — два множителя Якоби, причем Мг ф О. Тогда их отношение Мг(Мг есть первый интеграл системы дифференциальных уравнений. л1оказательство. Выполним дифференцирование: д Мг Мг Мг — М1 Мг аг М2 М2 Преобразуем числитель полученного выражения. По определению множителей Якоби, очевидно, будем иметь дМг дМг д(г дМ2 дМ2 д(г Следовательно, к ~ д(с к™~~ дД МгМг Мг Мг = 2 — МгМг — ~ — М1 Мг = О.П 2-, дх; ~., дх; Если известны й независимых первых интегралов уы..., уь, то с помощью преобразования к координатам уы..., уь, хь+ы..., х„, исходная система дифференциальных уравнений может быть приведена к следующей: у; =О, 2=1,...,й, хг+ — — (ь+ (хг(у),...,хь1у),хь+ы...,х„„$), 1 = 1,...,т — й, где х;(у) = х;(уы...,уь,хг+ь...,х„„1), г = 1,...,й.
Имеем систему дифференциальных уравнений порядка т — к относительно неизвестных хь+ы, х Теорема 9.6.2. Пусть известны к независимых первых интегралов уы ..уе, а также множитель Якоби М. Тогда множитель Якоби У для системы т-к дифференциальных уравнений, к которой приводится исходная система, имеет вид 43' Глава О. Метод Гамильтона-Якбби 676 Доказательство.
Пусть Я вЂ” множитель приведенной системы. Соответствующий интегральный элемент объема должен быть инвариантен. Следовательно, Я Ийге = Лг'» с(Й1 = М НЙ~.С1 Теорема 9.6.3. (Теорема о последнем множителе). Если известны т-1 независимых первых интегралов системы дифференциальных уравнений и множитель Якоби М, то интегрирование этой системы заканчивается квадратурой. Доказательство. Достаточно применить теорему 9.6.2 в случае т = и — 1. Тогда интегральный элемент где,7» — соответствующий якобиан, есть полный дифференциал при условии,что У» Унз-1 сохраняют постоянные значения. Решение завершается квадратурой: М вЂ” ахы = ст.С1 А~л-1 Теорема 9.6.4.
Пусть имеется автономная система из двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными х» = Л(хы хг), хг = гг(хы хг). Тогда множитель Якоби служат интегрирующим множителем уравнения Уг с~я» Л бхг = 0 Доказательство. Согласно определению уравнение для интегрирующего множителя имеет вид д(МУг) д(МД) дхг да1 или д(М,)г) д(М~~) дхг дх» а это совпадает с уравнением для множителя Якоби в случае, когда М не зависит явно от времени.П 9.6.
Множители Якоби 677 Следствие 9.6.2. Пусть система дифференциальных уравнений автономное Хею21(Х1,...,Х ), — '=О, 1ю1,...,т, дуе д1 и пусть для нее известны т — 2 независимых первых интеграла уе=у;(х1,...,х„,), 1=1,...,т — 2, а такзюе множитель Якоби М, не зависящий явно от времени. Тогда исходная система приводится к системе уравнений второго порядка Хп1-1 — Лп-1(к~п-1 Хп~) ~ Хп1 — — Ую (Хю 1,ко), в которой функции з 1, з' получаются из з;и 1, ~„, исключением остальных переменных с помощью первых интегралов, а множитель Якоби принимает вид Н = М/Ан-2 ° Дополнительный интеграл такой системы определяется выраже- нием уп1-1 = Н(Д~п дкт-1 Лп-1 дкт)~ где результат интегрирования зависит лишь от начальной и ко- нечной точек.
Доказательство. Приведенная система эквивалентна пропорции или Далее применяем теорему 9.6.4.С2 Таким образом, знание множителя Якоби и т — 2 независимых первых интегралов автономной системы дифференциальных уравнений позволяет свести к квадратурам задачу определения ее траекторий. П р и м е р 9.6.5. Рассмотрим автономную систему канонических уравнений с двумя степенями свободы д41 дуг "Р1 др2 дН дН дН дй др1 др2 д41 дй2 Глава 9.
Метод Гамильтона-Якоби 678 где Н = Н(Чг, Чг, рг, рг). Для такой системы существует интеграл энергии (следствие 9.2.3) Н = 1!. Допустим, что известен еще один независимый с Н первый интеграл вида Р(Ч! Чг ~ Р! ~ Рг) т(Ч! Чгр р)= Предположим для определенности, что дн дн др, дрг дт" де" др! дрг ф О. Тогда можно принять Р! =Рг(Чг,Чг " о), Рг =Рг(Ч! Чг "о) и исключить с помощью этих соотношений обобщенные импульсы из системы уравнений Гамильтона.
Множителем Якоби для исходной системы служит 1. Следовательно, приведенная система допускает еще один первый интеграл У д ЫЧг-д ИЧг --Ф Если выражения для р! и рг подставить в заданные первоначально пер- вые интегралы, то они обратятся в тождества. Продифференцируем эти тождества сначала по он дН др! дН дрг — — + — — =О, др! до дрг до др! — + д др др, — — = 1. дрг до др! Отсюда дрг 1 дН до г др! до У дрг Теория Якоби дает возможность полностью проинтегрировать систему в этих условиях.
Итак, Н(ЧыЧг,рг,рг) = Ь, 9.6. Множители Якоби 679 Дополнительный первый интеграл принимает вид где подынтегральное выражение служит полным дифференциалом. По- этому полным дифференциалом должно быть также выражение Р1 ОЧ~ + Рг ОЧг = ОС и дополнительный первый интеграл системы можно записать в виде дС вЂ” = д, С = С(ды йг, Ь, ). Применим теперь те же рассуждения для того, чтоБы найти еще один первый интеграл. Продифференцируем по Ь заданные в условии первые интегралы с подставленными в них функциями р1 и рг. дН др1 дН дрг — — + — — =1 др1 дЬ дрг дЬ ОР др, ОР др, — — + — — = О. др1 дЬ дрг дЬ Отсюда др1 1 дЕ дрг 1 дГ дЬ У дрг' дЬ .У др1 Из уравнений движения с использованием свойств пропорций найдем ОЕ ОЕ ОР ОР— 41 — Иг — О — — гЬа дрг др1 юг др~ дР дН Ог Н ОР дН дР ОН дрг др1 др1 Орг дрг др1 бр~ дрг Или 1 ОР 1 ОР др1 дрг Й = — — Ь1, — — — Ь1г = — Йй, + — ОДг.
1 дрг 1 дрг дЬ дЬ Получаем завершающий интеграл системы Гамильтона дС вЂ” = т — то дЬ Таким образом, разрешая уравнения Глава 9. Метсщ Гамильтона-Якоби 680 относительно р1 и Рг, мы можем составить линейную форму Р1 ~1Чг + Рг г(Чг, котораябудет полным дифференциалом ИС. Остальные интегралы принимают внд дО дС вЂ” =1 — 1в, — = Р.
дЛ ' да Отметим сходство между полученным решением и тем, которое следует ив теоремы 9.4.2 о полном интеграле уравнения Гамильтона-Якоби.О 8 9.7. Канонические преобразования На примере циклических координат мы видели (см. г 8.4), что успех интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, в значительной мере зависит от удачного выбора лагранжевых координат. При переходе от одних лагранжевых координат к другим будут по определенному закону изменяться и обобщенные импульсы, так что в новых фазовых переменных уравнения движения вновь примут вид канонических уравнений Гамильтона. Произвольные преобразования фазовых координат таким свойством, вообще говоря, обладать не будут.
Интегральный инвариант Пуанкаре (определение 9.5.1) позволяет, подходя с единых позиций как к преобразованию лагранжевых координат, так и обобщенных импульсов, выделить специальный класс преобразований фазовых переменных, не нарушающих структуру канонических уравнений движения. Определение 9.Т.1. Невырожденное преобразование координат 6 = б1(Чг ~Чадры *Рл,1), гд = гй(Чы ° °, Чп,р1, ° ° °,р,1), 1 = 1 ° ° °,и, называется каноническим~ если существует функция Иг такая, что для любого фиксированного момента времени 1 выполнено соотношение н н с тУ Рг ~(Ч вЂ” ~ гй ~(6 = б И'(Чы ", Ч, 6, ", бн,1), 1п1 гвп где бИг означает дифференциал Иг при фиксированном времени 1, с — число, называемое валентностью канонического преобразования. Если с = 1, то каноническое преобразование называется укивалекщкым.
681 9.7. Канонические преобразования Следствие 9.7.1.Канонические преобразования не нарушают интегральный инвариант Пуанкаре. Доказательство. В пространстве одновременных состояний выражение бИ' есть полный дифференциал. Значит, и и г ьа = 7'г р ей.~ Еац с=1 Теорема 9.7.1. В переменных 6,...,(„, ен,..., ц„уравнения движения механической системы суть канонические уравнения Гамильтона дН' . дН' (е= —, е)е=- —, 1=1,...,п, дп;' ' д(;' с функцией Гамильтона дИ' Н'Цы...,бп, юу~,...,е1п,1) = сН(ды...,дп,ры.,рп,Ь)+— где в правой части переменные д„р; выраоесены через переменные 6, цее деке де 1С1, " , 4» Ч1, " Л», 1) Ре = Реа , " , (., Чы " , Ч., 1) Доказательство.
По теореме 9.4.1 дифференциал функции действия выражается формулой с и ~,рейде — Нб1 =йЯ(е1ычо,$ы1о). е=е ее В силу каноничности преобразования будем иметь с ~ р; бд; = ~~ ей Щ + бИ' = ~~ кй е1бе + — ей + ЫИ7 ом еже е=е С учетом этого для новых переменных получаем соотношение с ди'1 1~" Е Ъ д6 он+ — б1 — 4сЯ вЂ” Ие(еП, Е„1) + Иl(чо, Ео,1И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
