1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Рассмотрим стандартные варианты Вариант 1. Пусть функция Но такова, что для соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби дИг/д1 + Но — — О можно указать полный интеграл И" = Иг(ды...,9о,ам,ао,г); Уравнения дИг дИ" — =рб — = — ро, 1=1,...,п, дч; да; Глава 9. Метод Гамильтона-Якбби 696 задают преобразование координат оп = а;(дм...,о„,рм...,р„,1), Д = 4(дм...,о„,рм...,р„,1). Это преобразование координат будет каноническим и унивалентным, так как "~ р;г)д; — У д,йц = ~~ — од;+ ) — да; = 6Иг.
дИ' дИ' де ' . деп в=1 Вкц ~ж1 ~=1 Найдем функцию Гамильтона Н' в переменных ам..., о„, ды..., Д„ соответствующую функции Н(91 9» р1 ро 1): дИ' дИ' Н' = Н+ — = Но+ гН1 + — = аН, = гН',(а,)3 1), д1 дг где функция Н,' есть результат подстановки в функцию Н1 зависи- мостей 5 = Ь(ом ",оо,А,,4з,1), р; = р;(ам..., а„, ды...,,9„,1), 1 = 1,..., и, выражающих закон преобразования координат.
Следовательно, в переменных ам..., а„, Д,..., Д, движение изучаемой системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона вида дН, 'дН,' дД' ' да;' Ясно, что если в = О, то величины ец и д, в силу уравнений движения будут постоянными. Тем самым мы еще раз доказали теорему 9.4.2 Якоби. Закон движения, соответствующий функции Гамильтона Но, имеет вид преобразования координат, в котором изменяется только 1, а величины а;, дб 1 = 1,..., и принимаются постоянными.
Закон движения с функцией Гамильтона Н дается точно такими же формулами, что и закон движения с функцией Гамильтона Но, но координаты ем..., а„, Д,..., Д„заменяются решением системы канонических уравнений с функцией Гамильтона гНм Этот результат можно истолковать следующим образом.
Можно считать, что движение происходит в соответствии с законом, соответствующим функции Но, а параметры этого закона оы...,а„, ды..., д„не остаются постоянными, а медленно (когда е мало) изменяются с течением времени. Функция Н1 называется аергаурбационноа (возмущающей) функцией. В небесной механике описанный 9.8. Элементы теории возмущений 697 метод носит название метода оскулирующих элементов. Сами оскулирующие элементы суть параметры кеплеровского движения (см. 1 3.11).
Метод оскулирующих элементов сродни методу Лагранжа вариации произвольных постоянных. В самом деле, пусть изучается движение, описываемое следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений: х' = 1'(х1 . хэ 1) 1= 1,...,п. Предположим, что для вспомогательной системы вида х; = г";(хм...,х„,1), 1=1,...,п, нам удалось найти полный набор независимых первых интегралов 91 = 91(хм, хп,1), 1 = 1,..., и, таких, что де1 '' ' " 11 О, д1х„ ...,х„) а — + у — г' =О, 1=1,...,п.
дрл ду; й , дх. 1 1 э Координаты уы..., у„, будучи постоянными в силу вспомогательной системы дифференциальных уравнений, окажутся изменяющимися в силу изучаемой системы. Найдем закон этого изменения: — =У вЂ” ~+ — =Š— т- )+Š— + — ' Ну; "ду; ду; "ду; "ду; ду; й, дх 1 д1 дх 1 1 дх 1 й ' э э 1 Следовательно, — = Š— (Д вЂ” Е).
ху Исключив в этих уравнениях координаты хы..., х„с помощью системы первых интегралов, получим замкнутую систему уравнений относительно координат ум..., у„. Если разности Д вЂ” г' = дФ1, ~ = 1,..., и, малы по сравнению с функциями Д, у = 1,..., и: д ~ 1, то переменные ум..., у„будут медленно по сравнению с переменными хы..., х„ Глава У.
Метод Гамильтона-Якоби 698 меняться во времени, и движение изучаемой системы можно интерпретировать как движение вспомогательной с медленно изменяющимися параметрами. Преимущество метода оскулирующих элементов по сравнению с методом вариации произвольных постоянных в том, что оскулируюшие элементы удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона. Применим метод вариации произвольных постоянных к случаю, когда вспомогательная система дифференциальных уравнений имеет вид я! = г!(!), 1,..., н. Для такой системы можно указать следующий полный набор первых интегралов: Зависимости 11(!),..., т„(1) выражают опорный закон движения.
В соответствии с методом Ла- гранжа будем иметь у!=1!(у1+ 1,.-,уэ+т»,1) — Р)(!), '=1,", . Правую часть полученной системы можно представить в виде у! =,> — 'у!+ Л( 1(!),,ээ(!),!) — Е'(!)+ Ф1(у1,,уэ,1), ду! ., дку где функции Ф; таковы, что их разложения в ряд Тейлора по пере- менным у1,..., у„начинаются с квадратичных членов, а матрица д(У!, ", Уэ) д(к1,..., к„) рассчитывается при у! = ут = ... = у„= 0 и представляет собой известную функцию времени.
Система дифференциальных уравнений называется системой уравнений в вариациях для изучаемой системы в окрестности опорного закона движения. В общем случае это— система линейных дифференциальных уравнений с переменными во 9.8. Элементы теории возмущений 699 времени коэффициентами.
По ее свойствам можно судить о характерных особенностях исходной изучаемой системы. Система уравнений в вариациях принимает простой вид, когда т.е. опорный закон движения удовлетворяет изучаемой системе. То- гда 6 = ,'У. — '~1 дД 1 Примером эффективного использования системы уравнений в вариациях служит теория движения в окрестности положения равновесия Ц 8.7).
Там линейная система и есть система уравнений в вариациях относительно нулевого решения. Во всех случаях, когда система уравнений движения приводится к виду х = еХ(х, $), х Е В где е — малый параметр, решение можно искать в виде асимптоти- ческих рядов по степеням щ х = ~~~ е'х01.
Подставив этот ряд в уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е в разложении правой и левой частей, получим рекуррентные системы уравнений хрй = О, х01= Х<'>(х<э>,...,хО '1), 1= 1,...,оо. Начальные условия можно задать так, чтобы при 1 = 0 было выполнено х®(0) = хэ, х1'~(0) = О, 1= 1,...,со. Пусть все приближения для индексов О,...,1 — 1 найдены. Тогда для индекса 1 в правой части соответствующей системы уравнений будут стоять известные функции времени, и 1-е приближение находится квадратурой. Видим, что основная техническая трудность применения данного метода будет состоять в выписывании конкретных выражений для Х01. Но имеется и принципиальная трудность, связанная с тем, что получающиеся ряды не всегда сходятся. Вопросам рационального применения получающихся разложений посвящена теория малого параметра, изложение которой выходит за рамки данной книги.
Глава 9. Метод Гамильтона-Якбби 700 дИ' / дИ', дИ' — + еНе '(ды..., д~, — с ',..., — с ',1) = Ц6,...,с„,$). д1 (, '' '' "' дд1 ''''' дд„ Функция Гамильтона Н = Не+ еН1 при таком преобразовании при- мет вид Н = $/(б1,..., б», г) + еН1К1,..., б», п1,..., ъ, г), а уравнения движения в переменных (б, г1) запишутся в форме д дн, д(; дб; ' дН1 б,=е —, дп; ' Поиск решения этой системы в виде рядов по степеням е приводит так же, как и в первом варианте, к рекуррентной системе уравнений относительно коэффициентов разложений, а высказанные выше замечания относительно особенностей таких решений сохраняют справедливость. Контрольные вопросы к главе 9 9.1.
Найти преобразование Лежандра для функции Дх) = хт/2. 9.2. Составить неравенство Юнга для функции Дх) = агсеес х. 9.3. Найти функцию Гамильтона и написать уравнения Гамильтона для случая Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки (см. э 6.7). В качестве Лагранжевых координат принять углы Эйлера. 9.4. В примере 9.2.1 найти зависимость координат ды дэ от времени. 9.5. Показать, что векторы гамильтонового векторного поля касаются поверхности уровня функции Гамильтона Н(р, г1). 9.6. Пусть функция Гамильтона Н(р,9) сохраняется на гамильтоновых фазовых потоках, определенных функциями Др,Ч) и у(р, с~).
Показать, что тогда скобка Пуассона (у, д) есть первый интеграл системы уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона Н. Вариант 2. Предположим, что функция Нд допускает введение переменных действие-угол. Это значит, что существует каноническое преобразование (с1, р) (б, и) с производящей функцией И', удовлетворяющей уравнению типа уравнения Гамильтона-Якоби: Контрольные вопросы к главе 9 701 9.7. Составить функцию действия по Гамильтону для гармонического осциллятора. 9.8. Может ли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби не зависеть от каких-либо координат? 9.9. Может ли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби за- висеть от постоянных, число которых меньше числа степеней свободы системы? 9.10.
Может ли полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби не зависеть явно от времени? 9.11. Разделить переменные по методу Имшенецкого, если функция Гамильтона выражается зависимостью О = Я(1,~р„), Ул = М~Рп-~( Узы>А%1(9мрд~Чт рт) Чз~рз), ),Чь,рп) 9.12. Написать уравнение Гамильтона-Якоби для сферического ма- ятника (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
