1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 111
Текст из файла (страница 111)
оы ео Так как преобразование фазовых переменных не вырождено, мы можем в правой и левой части заменить рь д; их выражениями через б;, ць Поэтому в новых переменных справедлив интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Осталось воспользоваться теоремой 9.5.4.0 Глава У. Метод Гамильтона-Якоби 682 Следствие 9.Т.2. Если функция Иг не зависит явно от времени Гдй'/й = 0), то Н'(Ь,..., с», цы..., ц», Г) = сН(чы..., ут ры..., р„, 1), где вместо де,р; подставлены их выражения через б„ц,.
Каноническое преобразование, для которого Иг = О, называется однородным. Рассмотрим неособое преобразование В = В(6, ", (»), е' = 1, ", и, выражающее переход от одной системы лагранжевых координат к дру той. Теорема 9.7.2. Предположим, что преобразование координат непрерывно дифференцируемо, и каждой системе лагранжевых координат соответствуют обобщенные импульсы дС дХ ре= пд дче а6 Тогда преобразование (ц, р) (4, гу) будет каноническим, однороднъим и унивалентным.
Доказательство. Выполним замену переменных д'; ' ~- д'; ~~- д ' ~~- д'; ~~-' дЬ " дЬ " дуе " дА дуе дЛ д~у =~ цубу, ,, д~,. а это и есть условие однородного унивалентного канонического преобразования,п Переход от одних лагранжевых координат к другим называется обобщенным точечным преобразованием. Определение 9.7.2. Выберем из новых канонических переменных некоторый набор, содержащий и величин: 9.7. Канонические преобразования 683 так, что х + т = и, а (»ы .,,,1»,1ы .,., Ь,) — любое разбиение мнохчества натуральных чисел (1,..., и) на две непересекающиеся части. Вместе с исходными координатами ды..., д„мы получим 2п переменных.
ФУнкциЯ Иг(ды...,9„,Уы...,У„,1), длЯ котоРой / дгИ" '» е(еС~ ) фО, з7'=1,...,п, ~ау;д91) называется производящей функцией соответствующего каноническо- го преобразования. Теорема 9.7.3. Пусть Иг есть производящая функция в смысле определенна 9.7.9. Тогда каноническое преобразование можно задать с помощью следующих уравнений: дИ' дИ' дИг — =ср;, — = — и„, —,=с„, 1=1,...,п, 9=1,...,пз, Доказательство. По теореме о неявно заданной функции первая группа уравнений определяет зависимости у; = у1(дм..., дп, ры..., р„,1), г = 1,..., и.
Две другие группы уравнений определяют функции Ъ„= 97.(9»" Ь р " р. 1) 6. =6.Иы".Л»,ры",р,1), у=1,...,т, о=1,...,/с. Кроме того, имеем и т » и дИг и дур с~~ Репу; — „"~ тЦ„д~ „+~ ~е„дц;„= ~ — дд;+~~ — НУ» = дИг. »=1 а=1 и=1 е»п ехп Вместе с тем 'Е~е.ду'. = -',»»'.ч;.др.,„+д ~~р.;.~;.. г»ц г=» чг=1 Позтому П т » / » Р1' дЧ» Х~~ Ч»„~К»„~~~ Ч»„~К»„— Б ~И" — ~~~ сг» » хм о=» гх1 гх1 где в правой части следует выполнить требуемую определением 9.7.1 замену переменных. П Глава 9.
Метод Гамильтона-Якоби 684 Следствие 9.7.3. Каноническое преобразование полностью определяется, если задать его валентность и производящую функцию Иг. Существенную роль здесь играет состав аргументов этой функции. Всего получается 2" возможных вариантов выбора аргументов. Рассмотрим некоторые варианты. Следствие 9 7.4. Пусть И'(Чы...,Ч„,бы...,б„,г) — функция, заданная на прямом произведении двух и-мерных координатных пространств. Если ; дгИг, то И' может быть взята в качестве производящей функции хано- ничесхого преобразования, определенного уравнениями дИ' дИ' — =ср;, — = — т, 1=1,...,п. дуй ' дбе Определение 9.7.3. Каноническое преобразование с производящей функцией вида И'(Чы ., Ч»,6,, б, 1) называется свободным.
П р и м е р 9.7.1. Для преобразования переобозначения фазовых координат: б;=р;, Ч;=Ч;, 1=1,...,п должно Быть выполнено дИ' — = — кд = — Ч;, 1=1,...,п. дб, Возьмем И' = — 2 ~, ЧД. Тогда дИ' — =ар; = — (;, 1= 1,...,п. дче Требуемый результат получается при с = — 1. Следовательно, преобразование переобозначения фазовых координат есть свободное преобразование валентности с = — 1. Заметим, что с = — 1 в данном примере независимо от вида производящей функции, т.к. при переобозначении фазовых координат функция Гамильтона должна поменять знак на противоположный.О 9.7. Канонические преобразования Отметим, что существуют канонические преобразования, которые нельзя считать свободными.
П р и м е р 9.7.2. Тождественное и обобщенное точечное преобразование не могут быть заданы производящей функцией вида так как функция с таким составом аргументов должна быть в данном случае тождественно равна постоянной. Эти преобразования не будут свободнымн,О Следствие 9.7.5. Пусть Иг(ды...,о„, г1ы...,г1н,$) — фунхция, заданнав на прямом произведении двух п-мерных пространств переменных оы щ, г' = 1,..., и. Если 7 дзИг '1 Йе1 ~ — ) ф О, г,д =1,...,п, ~,ду;дд ) то Иг есть производящая функция каноничесхого преобразования, определенного уравнениями дИ' дИг — = срп дрл " ду, 1= 1,...,п.
П р и м е р 9.7.3. Производящая функция тождественного преобразования есть о Иг = ~ гноь В самом деле, применяя следствие 9.7.5, найдем гд = ср;, б; = д;, г = 1,...,п. Дополнительно следует принять с = 1.0 Теорема 9.7.4. Унивалентные канонические преобразования образуют группу. (д;,р;, 1=1,...,п)- ф,г1;, (=1,...,п), (д;,рь 1=1,...,п)- ®,г1ь 1=1,...,п). Доказательство.
В силу невырожденности каждому каноническому преобразованию соответствует обратное каноническое преобразование. Пример 9.7.3 свидетельствует, что тождественное преобразование также будет каноническим. Возьмем два унивалентных канонических преобразования Глава 9. Метод Гамильтона-Якбби 686 Покажем, что преобразование (б1,91, 1=1,...,п)- (~;,в)1, 1=1,,п) есть каноническое и унивалентное.
Согласно определению 9.7.1 име- емприс=1 и и ) рг в(в! — Ц~ 91Щ = дИг(91,...,д„,(1,...,~„,1), в=1 и и ев,рг ду1 — ~, г)1 д6 = дИ'(91,,утаи, .,4,~) в=1 Вычтем первое равенство из второго: Осталось выразить в правой части 11 через (1,..., си.О Производящая функция может зависеть от параметра. Каждому значению параметра будет соответствовать отдельное каноническое преобразование, а в целом мы получим семейство преобразований. При непрерывном изменении параметра величины С„ в11,! = 1,...,п, будут его функциями. Теорема 9.7.5.
Пусть Иг(71,...,7„,~1,...,(„,о) — непрерывно дифференцируемая по всем аргументам функция, удовлетворяющая условию следствил 9.7.в', о — непрерывно изменяющийся параметр. Тогда функции 5(о), цг(о), ! = 1,...,п, удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона в(с1 дИ й~ дей ' дц! дИ Но дС1 ' где гв = дИг/до.
и и и и с~~ р; е(д1 — У сй вгс1 = вИг(оа), с~~ р; вгд1 — ~ей!!с! =оИг(о1), в=! в=1 ав ао Доказательство. По определению канонического преобразования будем иметь 9.7. Канонические преобразования 687 где бИг — дифференциал при фиксированном значении вц оо, о1— два различных значения параметра. Вычитая из первого равенства второе, получим Х.
олЬ =оо( И-ои !,), (у' олее — о ) =о[иЧ И-иЬ а. 1" дИ' еон ао п1 ао Следовательно, при изменении о будет справедлив интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Осталось воспользоваться теоремой 9.5.4, где роль времени играет параметр а С1 Замечание 9.7.1. Пусть заданы два значения оо н оз параметра а,и (ф, рю', $ = 1, ° ° °,и) о (се(оо),ий(оо), 3 = 1 ° ° ° и) (4;,р;, 1= 1,...,и) о Я(а1),е1е(о1), 1= 1,...,и), суть два канонических преобразования одной и той же валентности с производящими функциями И'(41, ",Чп,б1, ",6з, оо), И'(4,,4»,6, .,(, о1) соответственно. Тогда преобразование (бе(оо), це(оо), е' = 1,...,п) - (бе(о1), йт(о~), 1 = 1,...,п) будет каноническим и унивалентным (см. теорему 9.7.4). Следствие 9.7.6.
Двизесение, описываемое каноническими уравнениями Гамильтона, мозосно интерпрегпировать как каноническое преобразование, в котором роль параметра играет время 1, а производящей функцией слузосит функция Я действия по Гамильтону. Канонические преобразования сохраняют все общие свойства систем уравнений Гамильтона. Изменяется только вид самой функции Гамильтона. Выше мы видели (теорема 9.4.3), что возможность интегрирования таких систем тесно связана именно со спецификой зависимости функции Гамильтона от фазовых переменных. Если удается найти каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона к такому виду, что систему, полученную после преобразования, можно проинтегрировать, то тем самым проинтегрируются и исходные канонические уравнения. Теорема 9.7.6. Канонические уравнения Гамильтона для системы си степенями свободы аналитически интегрируются, если функция Гамильтона не зависит от п каких-нибудь канонических переменных с различными индексами.
Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби 688 Доказательство. Для системы с и степенями свободы множество канонических переменных имеет вид Разобьем это множество произвольно на два подмножества перемен- ных хм ., ., х„, ум, .., у„. Установим между элементами этих подмножеств соответствие г р„если х» = Ь, '1 д„если хь = р„в=1,...,п. Пусть функция Гамильтона не зависит от переменных х1~ 1хо. Очевидно, что тогда уь = О, й = 1,..., и.
Следовательно, получаем первые интегралы уь = рю й = 1,..., и. Так как функция Гамильтона зависит только от переменных уы у=1,...,п, то переменные хм..., х„удовлетворяют уравнениям хь = 3'~(уы..., у„,1), й = 1,..., п. Поэтому хь = Ы3м...„В~,1)а+ха(10), й = 1,...,по Замечание 9.7.2. С помощью канонических преобразований обобщенные импульсы можно переводить в обобщенные координаты, и наоборот. В самом деле, пусть, например, обобщенный импульс р, требуется преобразовать в обобщенную координату и, наоборот, координату й, — в импульс, а остальные канонические переменные оставить без изменений. Для этого достаточно применить производящую функцию вида 9.
7. Канонические преобразования В результате будем иметь 689 51! =сР1, гав. 6=ЧР* Ъ= — У. С =71, Нужный эффект получается, например, при с = 1. Следствие 9.7.7. Пусть выполнено условие теоремы 9.7.б. Тогда в соответствии с замечанием 9.7.х существует такое каноническое преобразование, что в новых канонических переменных С1, ,Сп, У1, , Уп функци Гамильтона Н нс будет зависеть от у1,..., ппг Н = 1г(~1,...
Д„,г), а решение примет вид (1(1) =6(го) =Щ, ц1 =у!(йо) — "' "' Й. Г ду'(д„...,)7„, 1) дд! Определение 9.Т.4. Канонические переменные 41 . ~6~191 19п в которых функция Гамильтона имеет вид Н = 1'(6, ",4.,1), Н = Р'(у,,...,д„,г), т.е. не зависит от переменных 4!. П р и м е р 9.7.4.
Рассмотрим движение гармонического осциллятора с единичной массой. Его функция Гамильтона имеет вид ,г йг Н = — + —. 2 2 44 — !5ОЗ называются переменными действие-угол. В том случае, когда многообразие, определенное первыми интегралами 41 = дс, ! = 1,..., и, канонических переменных, компактно, переменные 91 (см. пример 9.7.4) действительно имеют смысл угловых координат на этом многообразии. В других случаях переменные 511, строго говоря, уже не будут угловыми, хотя мы сохраним за ними это название. Замечание 9.7.3. По аналогии можно принять, что для переменных действие-угол функция Н имеет вид Глава 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
