1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Продифференцируем по а» уравнение для д», обозначив для краткости р» = дВ»(дх». др дод» = 1. др» дх»да» Следовательно ф О. дх»да» Учтем, что о' — полный интеграл соответствующего уравнения в частных производных: ф О. дх;да, ~, ...„ Значит, 9.4. Метод Гамильтона-Якоби 651 и о'есть полный интеграл исходного уравнения,С2 Метод получения полного интеграла уравнений в частных производных первого порядка, состоящий в последовательном применении теоремы 9.4.3, называется методом Имшенецкого разделения переменных. Рассмотрим несколько примеров на применение этого метода. П р и м е р 9.4,3. Пусть функция Гамильтона не зависит явно от времени. Уравнение Гамильтона-Якоби принимает вид дН /дН дб — +Н( —,...,—,Ч1,...,Ь =О. д2 (,дч "'дь' Заключаем, что у = дб/дг. По теореме 9.4,3 полный интеграл этого уравнения можно искать как сумму Н = —,М+ Н'(Ч1,...,Ч„), где Й вЂ” постоянная интегрирования, а функция о' есть полный интеграл уравнения в частных производных Н вЂ ,..., †, Ч1,...,Ч„ Ь.
При этом для каждого фиксированного значения й функция о' должна зависеть от и — 1 произвольных постоянных.О П р и м е р 9.4,4. Одна из координат, например Ч1, оказалась циклической: дН/дЧ1 = О. Имеем 1Р = до/дЧ1, и полный интеграл следует искать в виде о = а141+ о (2 Ч2 ° ь) где а1 — постоянная, а о' есть полный интеграл уравнения дН' / дб дб — + Н ~,, —,..., —, Чг,..., Ч„= О.О дг ~, 'дчг'''''дь' П р и м е р 9.4.5. Пусть Н = тгн(Ун-1(. ° Угз(ггг(221(41 Р1) Ч2 Р2) ЧЗ РЗ) ° )~ Чн~Рн). Функция Н не зависит явно от времени. Поэтому Н = — (12 + Н', причем о' удовлетворяет уравнению Р Р -1 222 ~Р2 Ч11 Ч1 д Чг д,Чз,—,,Ч,д Глава 9.
Метод Гамильтона-Якоби 662 Введем произвольные постоянные аы...,а„ь а„= Ь и положим по- следовательно Уг 9г — „= аы Рг аыдг,— ) =аз, игг ИЯ„'1 'Рн ан-ы4», — ] = а„. чтп Разрешив зти уравнения относительно производных, получим НЯ вЂ” = Фг(Ь,аг-ыа;), 1= 1, „п.
Н9г Следовательно, бг находятся квадратурами. Я~ = Ф;Идь Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби представляется в виде суммы н что дает решение задачи.О П р и м е р 9.4.6. Рассмотрим кеплерово движение, при котором материальная точка массы гп притягивается к неподвижному центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра. Функция Гамильтона в сферических координатах (пример 3.6.6) имеет вид Положим ( г 'Рг1 7~и Уг=ра т~г=ре+ Уз= — ~Р + — ) —— созгд 2,п ( г Рг г' Р Ясно, что реализуется случай, рассмотренный в примере 9.4.5.
О П р и м е р 9.4.7. Предположим, что Глава 9. Метод Гамильтона-ЯкоБи 654 которое имеет аид такой же, как а примере 9.4.7.0 Рассмотренные примеры убеждают, что случаи, когда эффективно работает метод разделения переменных, встречаются достаточно часто. Полезно иметь критерий, устанавливающий факт разделимости переменных на основе анализа структуры уравнения Гамильтона-Якоби.
Для систем, кинетическая энергия которых зависит только от квадратов обобщенных скоростей, такой критерий доставляет теорема Штеккеля. Теорема 9.4.4. (Штекхель). Пусть кинетическая энергия системы есть и и Т= — ~~ стр; = — ~ ~— ', с; = ст(т7т,...,уп). 2. ' 2. с;' т=! т=! Такая система допускаетп разделение переменныт тогда и только тогда, когда существует невыролсденная матрица и Всктар-СтапбЕц (зт!д!)), т = 1,..., П, ЗЛЕМЕНтЫ Хатармт тату и ут зависят тпольхо от соотпветствующей координаты дь причем о )'1, '=1; с.
т=! и ~ ст7т = 7т, где 77 — силовая функция системы. Доказательство. Необходимость. В рассматриваемом случае функция Гамильтона не зависит явно от времени. Значит, о = -И1+ У, причем 5' удовлетворяет уравнению Предположим, что переменные разделяются, то есть существует пол- ный интеграл последнего уравнения, имеющий вид В'=Ц ~бу, ух! 9.4. Метод Гамильтона-Якоби 655 где 54 — — 5~(д~,ап...,а„). Подставим выражение полного интеграла в уравнение для функции о'.
Оно должно удовлетворяться тождественно для всех значений ды .. е„, аы..., а„. Дифференцируя частным образом по каждому а, получим дд дед. 7 с; — ' ' =1, ~""' дд; да~дд; дед ~'д. д .д Ь а, Ь Коэффициент при с; в этих равенствах зависит только от е;. Соста- вим определитель из коэффициентов: Он отличен от нуля, так как 5' — полный интеграл. Следовательно, полученные соотношения принимают форму, указанную в условии теоремы. Далее то есть а П=~ с;Д.
Необходимость доказана. Достаточность. Учитывая условие теоремы, уравнение для функции о' можно представить в виде где аы ...,а„ вЂ” произвольные постоянные. Это уравнение эквива- лентно следующему: Теперь очевидно, что сумма д'=,> Я;, ам й.[ д5~ ддэ дд д~д; д41 д9э д4,1 дау дф а — а у; — у; 4=1 Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби где функции 5; определяются из уравнений 1 /и'В!'! 2 1,од!) представляет собой искомый полный интеграл, поскольку матрица Ф = (!р!!(д!)), е,,! = 1,..., и, невырожденна. П П р и м е р 9.4.9.
В случае системы Лиувилля (см. пример 9.4.8) имеем -! п с;= В;" А! уж! Тогда в качестве матрицы Ф ющую условия теоремы 9.4.4 можно взять следу- -в — в ... — в О Вз ... О А!В! АзВз АзВз А„В„О О ... В„ Эта матрица невырожденна: и и г1е! Ф = П В! Е А!' в=! Чтобы разделение переменных было возможно, функция У должна иметь вид который совпадает с указанным в примере 9.4.8. Тем самым случай Лиувилля есть следствие теоремы Штеккеля.О В заключение параграфа отметим, что все рассматривавшиеся ранее возможности интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических координат, охватываются методом разделения переменных.
К ним добавляются еще случаи, когда разделение переменных возможно, хотя координаты и не оказываются циклическими. Тем самым метод Гамильтона-Якоби представляет собой наиболее зффективный метод аналитического интегрирования уравнений движения. 9.4. Метод Гамильтона-Якоби Особую роль в этом методе играет выбор лагранжевых координат. Одна и та же задача для некоторого набора лагранжевых координат может допускать разделение переменных, а для другого набора— не допускать. Проиллюстрируем сказанное на задаче определения закона движения одной материальной точки.
П р и м е р 9.4.10. Пусть положение материальной точки определяется в пространстве декартовыми координатами; Г = 1'1 е1+ г2 е2 + 1'вез в абсолютном ортонормированном репере. Кинетическая энергия имеет вид 2 — (Р1 + Рг + Рз) где р1, рг, Рз — обобщенные импульсы. В обозначениях теоремы Штеккеля имеем 1 2т -2ги — 2ги сг=сг=сз= —, Ф= 0 2ги 0 0 0 2пг Следовательно, в декартовых координатах переменные разделяются то- гда и только тогда, когда силовая функция представляется суммой У = 21(г1) + 22(гг) + гз(гз). Поэтому декартовы координаты неудобны, например, для изучения движения в поле центральных сил (см.
пример 3.4.2).О П р и м е р 9.4.11. Положение материальной точки зададим сферическими координатами (пример 3.6.2) г = гге1+ гге2+ гзез, причем г2 = 1'соз д з1п тг, г1 = гсоздсозгд, гз = гз1п д. Кинетическая энергия имеет вид (пример 3.6.6) 2 2 т= — Р,+ — + 2 Ре 2т ~ ' гг ггсозгд где рз„ре, р„— обобщенные импульсы, соответствующие координатам 91 — — гр, дг = д, дз = г, Применим теорему Штеккеля; О -1 О С1 = , сг= —, сз= —, Ф= 0 соз гд — 1 2тггсозгд' 2тгг' 2т' 2т 0 г -2 42 †15 Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби 668 Видим, что коэффициенты сь сз, сз этой теореме удовлетворяют, и сферические координаты разделяются тогда и только тогда, когда У У1(Ф) у2(д) У ( ) гз созе,з + гз + В случае поля центральных сил будем иметь 11 = уз = 0.0 П р и м е р 9.4.12.
Для описания движения материальной точки возьмем цилиндрические координаты (пример 3.6.1) г1 — — рсозу, гз = Ргйпу, гз — — з. Выпишем кинетическую энергию в этом случае 1пример 3.6.5): т= — р',+ Ц+р,' где рр, р, р, — обобщенные импульсы для координат р, д, з соответ- ственно. Обозначим в1 = з, дз = ~Р, вз — — р. Тогда 2т 1 О с1=сз= —, сз=, Ф= О О -1 2т' 2трз ' Тем самым сь сз, сз удовлетворяют теореме Штеккеля.
Поэтому цилиндрические координаты разделяются тогда и только тогда, когда силовая функция имеет вид 6' = 11(з) + + Б(Р) г~ Л(Р) Р Аналогично можно исследовать задачу о разделимости переменных н для других типов лагранжевых координат. 8 9.5. Интегральные инварианты Рассмотрим расширенное фазовое (2п + 1)-мерное пространство Яз" +', в котором координатами точки будут величины Че .. Ю рь,рп,ь В этом пространстве выделим произвольную замкнутую кривую Се, заданную в параметрической форме: а~ ) „ о~ ) ~ ) , < 659 9.5. Интегральные инварианты Трубка интегральных кривых образована решениями системы уравнений Гамильтона, проходящими через заданный произвольный замкнутый контур Св начальных состояний системы в расширенном фазовом пространстве.
Это — двухпараметрическая поверхность. Один из ее параметров — время, а другой определяет начальную точку на контуре Со. Рис. 9.5.1. Трубка интегральных кривых Будем считать, что при а = 0 и о = 1 мы имеем одну и ту же точку кривой Св. Из каждой точки кривой Со, как из начальной, выпустим интегральную кривую уравнений Гамильтона. Получим замкнутую трубку интегральных кривых (рис. 9.5.1), образующие которой задаются функциями д1 =91(1,о), р;хере(1,а), 1=1,...,п, 0<о<1, где 4'(1, О) = В(1, 1), р*(1, О) = р Ю). На этой трубке произвольно выберем другую замкнутую кривую С1, охватывающую трубку, Уравнения кривой С1 запишем в виде 1=11(о), 1=1,...,п, 0<о<1, д1 = д; (о), р; = р;(а), сопоставив каждому значению параметра только одну точку кривой.
Теорема 9.5.1. Грриволинейный интеграл взятый вдоль любого замкнутого контура С в пространстве Ях" +1, не меняет своего значения при произвольном смещении (возможно, с деформацией) этого контура вдоль трубки интегральных кривых, проходящих через контур С. Доказательство. Согласно теореме 9.4.1, дифференциал функции действия по Гамильтону выражается формулой / и ю= ~~ 'р1дуе — нд1)~ ел 1 ео 42* Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби 660 При смещении точки вдоль контура Со смешается и соответствующая тому же значению параметра о точка контура С1. Следовательно, дВ = В'(о) до. Проинтегрируем НВ в пределах О < о < й п Ю=гд — гр)=1 '~.ъгг1 — На =1 Хан,'— Н'В)- в м о Следствие 9.5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
