1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Решение этого уравнения при д(0) = де имеет вид д = 9а сов ~А+ свьпы1. Постоянную с найдем из условия е(1!) = е!. а! — ев соа ы1! с— аьпы1! Видим, что когда 1! ~ л)г/ы, трудностей при определении постоянной с не возникает, и решение краевой задачи существует и однозначно при любом д!. Глава 8, Динамика голономных систем 614 В том случае, когда П = кй/ы, с не определено и его нельзя найти из краевого условия. При этом если а1 ф да совыП, то решение краевой задачи вообще отсутствует, а если а1 = аа совыП, то существует бесчисленное множество решений краевой задачи, так как тогда параметр с будет произвольным.
О Определение 8.12.2. Два положения г1а и ц1 системы называются сопряженными кинетическими точками, если они могут быть соединены между собой несколькими различными зкстремвлями. В примере 8.12.1 точки аа и 41 — — ае совы11 при П вЂ” — к)г/ы суть сопряженные кинетические точки. Принцип Гамильтона можно применять не только для вывода уравнений движения систем дискретных материальных точек, но и для описания движения непрерывных сред. П р и м е р 8.12.2. Рассмотрим малые упругие плоские поперечные колебания прямолинейного стержня длины 1 с жестко закрепленными концами, Обозначим х расстояние от какого-нибудь конца недеформированного стержня до некоторой его точки С. Пусть и(1, х) — смещение точки 0 перпендикулярно прямой, вдоль которой был расположен недеформированный стержень.
В каждый фиксированный момент времени смещение и(1, х) есть функция аргумента х, определяющая мгновенную форму стержня. При фиксированном значении х смещение ц(1,х) есть функция времени, однозначно определяющая положение соответствующей точки системы. Следовательно, и(1, х) при фиксированном х можно считать лагранжевой координатой. Лагранжевых координат получается бесконечно много.
Однако принцип Гамильтона позволяет справиться с этой трудностью. Пусть р — плотность стержня, а — площадь его поперечного сечения. Дифференциал Нх при малых и(1, х) отождествим с элементом длины дуги деформированного стержня. Кинетическая энергия Т и потенциальная энергия П упругой изгибной деформации имеют вид г Т= — рв — ах, П = — с — пх, где постоянная с равна произведению модуля Юнга на момент инерции сечения стержня относительно поперечной оси.
Величина д и/дх~ обратно пропорциональна радиусу кривизны мгновенной формы стержня. Запишем функционал принципа Гамильтона 615 В.12. Интегральные вариационные принципы Для любого би(1, х), при котором в начальный и конечный моменты времени положение стержня не варьируется, а концы стержня не изменяют своего положения с течением времени: би(1е, х) = би(1ы х) = би(1,0) = би(1,1) = О, дифференциал бФ этого функционала должен обратиться в нуль: / ) дх2 дхз г, е Учитывая краевые и граничные условия, возьмем первый интеграл в выражении для бФ один раз по частям по аргументу 1, а второй интеграл — дважды по частям по аргументу х. Если р, е и с постоянны, то, очевидно, будем иметь г! — рсг — — с — би дх !11.
т, е Поскольку би произвольно, получим дифференциальное уравнение в частных производных дги с деи — = — — —.О д1з ре дхе П инцип Гамильтона справедлив только для консервативных си- Р стем, то есть для систем, находящихся под действием потенциальных или обобщенно потенциальных сил. Неконсервативные механические системы подчиняются принципу Остроградского. Теорема 8.12.2. (Принцип Остроградского).
Действительное деилсение голономней механической системы под действием потенциальных (обобщенно потенциальных) и непотенциальных сил, выполняемое ет заданноге положен я ц(1е) = це до другого заданного положения ц(1т) = цт (1т > 1е), отличается от кинематически возможных движений системы между этими пелолсениями е том же ингпереале времени тем, что действительное движение удовлетворяет равенству т! н б иц, ц, 1) + ~ дтбйт д1 гх О, !зц то где 1, = Т + (à — функция Лагранжа системы, а се! — обобщенные силы, для любых функций бе;(1), удовлетворяющих условию бдт(1е) = бег(1т) = О ° Глава 8, Динамика голономных систем 616 Доказательство. Очевидно, что в условиях теоремы доказываемое равенство приводится к виду !! ! е ~ — — — ( — ).',О;~ото=о.о !я! о Теорема 8.12.3.
(Принцип Мопертюй-Лагранжа-Якоби). Пусть лагранжиан Ь голономной системы не зависит явно отп времени (силы потенциальны или обобщенно потенциальны). Тогда действительная траектория изобразтсающей точки конфигурационного пространства слуэюит экстремалью функционала о ! = /~,—.оа о о=! о среди всех траекторий, обладающих одной и той отсе константой то обобщенного интеграла энергии и проходящих через фиксированные начальную Рд и конечную Р! точки. Доказательство. Функция Лагранжа Х(д!,...,утд!,,уо) от времени явно не зависит. Так же, как в примере 8.4.3, сделаем замену переменной 1 = 1(т) и введем функцию Рауса дЕ ! Л = Š— — 1о, 81! где Е = !'!'(дз,...,д„,д!,...,д„), Р = д1(дт. Обобщенный интеграл энергии представляется в виде дС вЂ” = -)о.
др После исключения в функции Л производной 1т при помощи интегра- ла энергии получим систему уравнений Лагранжа И /дВ'1 дВ д1 1,дд,') дд! все решения которой имеют одинаковую постоянную энергии й. Для этой системы справедлива теорема 8.12.1, так что соответствующие решения служат экстремалями функционала т! 1= Вдт то 8.12. Интегральные вариационные принципы 617 среди всех кривых, проходящих через фиксированные начальную Рд и конечную Р) точки при заданных начальном и конечном значениях параметра г. Пользуясь результатами примера 8А.З, найдем Замечание 8.12.2. Несмотря на то что значении то и т2 фиксированы, начальный и конечный моменты реального времени движения могут изменяться в соответствии с зависимостью Тем самым в изучаемом принципе начальный и конечный моменты времени (в отличие от принципа Гамильтона) не фиксированы, но связаны значением обобщенного интеграла энергии.
Определение 8.12.3. Пусть 7 — экстремаль функционала д в смысле теоремы 8.12.3. Значение этого функционала на экстремали зависит от начального и конечного положений системы: Нг(Чо Ч2) = Х(7). Функция И'(Чо, Ч)) называется действием по Мопертюи. Следствие 8.12.1.
Для системы материальных точек функция Лаграно)са А ес)пь сумма ь = е2+ 2 2+ ео квадратичной Ь2, линейной 1,) по обобщенным скоростям форм и члена Ьо, не зависящего от обобщенных скоростей: 1 ~" о'2 — аИЬУ1 2,'-.' Ьу ои Для такой системы функционал принципа Мопертюи-Паграноеса- Якоби представляется в виде Ро Р1 и о= ) )2о ос,)з=/оо во~~1;ооь Ро Ро Ро 8.12. Интегральные вариационные принципы 619 причем ни силовая функция, ни связи от времени явно не зависят.
Тогда функционал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби имеет вид Р« и «=) 2(Г .««««:,)с г,««,. Ро «пц где метрика «(в определена квадратичной формой кинетической энергии. В самом деле, здесь и Вг =~~' П«у«ч 1 х Тэ = Т = — у а«уу«уу Во = По О 2,, «8=1 Следствие 8.12.3. (Принпип Якоби). Пусть система с голономными связями находится под действием потенциальных (в обычном смысле) сил, а связи не завися«в явно от времени. Тогда функционал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби представляется в форме Р« д = 2(П+ Ь)сЬ, Рь где П = П(о«,...,д„) — силовая функция системы, Ь вЂ” постоянная энергии: Т вЂ” П=Ь, а метрика с)в определена квадратичной формой кинетической энергии: и сЬ = лг а; Ы«йс)йу.
Э ч «дзц В принципе Яхоби время 1 и дуга в связаны дифференциальным соотношением д1 = Нв «г'.,'. «) Ь, =О, Ьэ=т. В =П, Учитывая интеграл энергии и определение метрики «1в, получим т= — — = 1г+Ь,а Доказательство. Воспользуемся следствием 8.12.2. В рассматриваемом случае имеем Глава д. Динамика голономных систем 620 Следствие 8.12.4. Принцип Якоби позволяет свести задачу об определении глраектории дв гюенил изображающей точки к экстремальной задаче в пространстве хонфигураций с римановой метрикой. В области У+ Ь > О конфигурационного пространегпва зададим риманоау метрику формулой Тогда траектории системы с заданной хонетантой энергии Будут геодезическими линиями метрики др.
Доказательство. Функционал принципа Якоби принимает вид Ро д = т/2,~др. Ро По этому принципу траектории реального движения суть геодезические линии метрики др,С1 Отметим, что метрика др получается иэ Иг растяжением или сжатием, зависящим только от координат точки ц, но не зависящим от направлении. Поэтому углы в метрике др совпадают с углами в метрике дж Вблизи границы области У+й > О длина дуги уменьшается.
На границе длина дуги любой кривой равна нулю. П р и м е р 8.12.4. Свободная материальная точка, вынужденная перемещаться только по связи, представляющей собой гладкое риманово многообразие, движется по геодезической линии. Действительно, для такой точки будем иметь 2 Т= — —, бгееО. Запишем действие по Якоби д = то/26 дз. Ро Так как Ь одинаково для всех сравниваемых траекторий, то зкстремали суть геодезические рассматриваемого многообразия.О П р и м е р 8.12.5, Рассмотрим траектории движения материальной точки массы т в вертикальной плоскости под действием поля параллельных сил тяжести. Пусть орт ег направлен вертикально вверх, а орт е2 — горизонтально в плоскости движения. Радиус-вектор материальной точки выразим формулой г = 42 е1 + дз ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
