1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 97
Текст из файла (страница 97)
к=! Главная координата с, изменяется по закону (, = с, соз(ы!1+ Д) = Ве[2!Р, ехр(ки,1)]. Общее решение есть комбинация главных колебаний: и дь = ~~! (,(!) з!п1у,.О е=! В соответствии с определением 8.8.1, чтобы найти собственные значения позиционной линейной системы, достаточно решить уравнение частот. В общем случае зто — алгебраическое уравнение степени и, Как видно из рассмотренных примеров, при малых и, а также в некоторых других исключительных случаях его решение может быть 583 8.9. Экстремальные свойства собственных значений получено аналитическими методами.
Однако для значительного числа практически интересных задач я велико, а решение характеристического уравнения можно получить только численно. Но тогда существенно сказываются вычислительные погрешности. Вместе с тем для вычисления собственных значений можно использовать их экстремальные свойства (см, следующий параграф), что позволяет привлечь к этой задаче эффективные численные методы поиска экстремумов функций нескольких переменных. 8 8.9. Экстремальные свойства собственных значений Сопоставим с кинетической энергией позиционной линейной системы квадратичную форму от лагранжевых координат 1 х А(ч,с1) = — ~ а; д;д . 2 ~ Суки Квадратичную форму, соответствующую потенциальной энергии си- стемы, обозначим 1 В(Ч Ч) = ~~' 6ЧЧ Чу.
2 ьуы1 Смысл коэффициентов а;, бц ясен из определения 8.7.1. После перехода к главным координатам по формулам й;= у иф, 1=1,...,я, квадратичные формы принимают вид А(ч,ч) = -~б,', в(ч,ч) = -~лД,'.. 1ж1 икн Будем предполагать, что главные координаты пронумерованы так, что между собственными значениями выполнено соотношение л, < л, < л. « ... л„.
Рассмотрим отношение квадратичных форм и ~~, 'л сг В(Ч ч) кч А(Ч, Ч) сг 1кн Глава 8. Динамика голономных систем 584 Очевидно, что и Лп. Т Оке Этот результат можно сформулировать еще и по-другому: Ле = ппп = ппп В(«1,Ч), Л„= гпах = такх В(Ч,«1), В(Ч Ч) В(Ч Ч) г А(Ч, ч) 11Ч11= ' ' е А(Ч, Ч) 1(Ч11= где норма ЦЧЦ вектора Ч есть евклидова норма с матрицей А. Рассмотрим подпространство ст, представляющее собой линейную оболочку собственных векторов пе,, .., и с~ = 1(п(пе,...,и„,). Если Ч б б'и, то п Ч= У реп; А(, ) = -~ ~г, В( ) '~;-Л,~Р ' е=1 е=е Поэтому справедлива формула Л,„= снах В(Ч, Ч) Ч«е А(Ч, Ч) Аналогично, если Е = 1(п(п,..., нп), то В(Ч, Ч) Л,„= ппп Ч«е А(Ч,«1)' Теорема 8.9.1. Пусть Ле,..., ˄— собственные значения позиииоиной линейной системы, пронумерованные в порядке возрастания.
Тогда Л = поп гпах В(Ч, Ч) е«н Ч«е А(Ч,Ч) где Е„, — мнозесество всех надпространств размерности т, б— одно из таких надпространств. 585 8.9. Экстремальные свойства собственных значений Доказательства. Рассмотрим подпространство Е™ =!!п(п~,..., пп) Его размерность равна и — гп+ 1. Поэтому оно пересекается с подпространством Е, имеющим размерность т: Е Е! Е ~ О. Значит, существует элемент е! такой, что ЧЕЕ ЧЕЕ. Для элемента Ч имеем В(Ч, Ч) В(Ч, Ч) Первое неравенство справедливо, так как максимум ищется для всех Ч Е Е, а Ч Е Е.
Второе неравенство справедливо, так как Ч Е Е , а для Е~ справедливо равенство П(Ч Ч) Чае А(Ч Ч) Кроме того, среди Е Е Е имеется подпространство Е =11п(пы...,п ). Для него Лт — — щах В(Ч, Ч) Чае А(Ч,Ч)' Следовательно, минимум выражения ,х В(Ч,Ч) Чах А(Ч, Ч) достигается и равен Л,„.0 Следствие 8.9.1.
Пусть Лы..., ˄— собственные значения позициоиной линейной системы, пронумерованные в порядке возрастания. Тогда В(Ч Ч) Л„т+1 = щах лип — ' ее е,„Чае А(Ч, Ч) Следствие 8.9.2. Пусть координаты йы...,оп удовлетворяют линейным уравнениям Ф,т~!ей =О, 1т1,...,а, Глава 8. Динамика голономных систем 586 которые в пространстве Гьп лагранэюевых координат выделяют (и— й)-мерное надпространство. Экстремальные свойства собственных значений позиционной линейной системы молсно переписать в виде В(Ч, 1) Ль+1 = шах ппп А(Ч Ч) В(Ч,Ч) Л„ь = пнп щах Ф,нц А(Ч Ч) 3 где внутренний экстремум вычисляется среди всех с1, удовлетворяннцпх линейным уравнениям, а внешний экстремум берется по всем независимым колебпнациям коэффициентов этих уравнений. В случае, когда все Л; > О, можно дать геометрическую интерпретацию экстремальных свойств собственных значений позиционной линейной системы.
Каждой такой системе сопоставим эллипсоид Э: Э=(Ч: В(Ч,Ч) ех Ц и определим !!Ч!! = 1/А(Ч Ч) 2 ~~' е=ь Пусть Л; — некоторое собственное значение, а х — соответствующий ему собственный вектор х = ~;по принадлежащий поверхности эллипсоида.Тогда В(х,х) = -Л;(э = Л;!!х(!з = 1. з 2 Следовательно, главные оси эллипсоида Э обратно пропорциональны собственным частотам пч = Ъ/Л,.
Отношение В(Ч, Ч)/А(Ч, Ч) не меняется при пропорциональном изменении всех компонент вектора Ч. Поэтому, применяя теорему 8.9.1, Ч можно считать принадлежащим эллипсоиду Э. Утверждение теоремы 8.9.1 можно тогда представить в виде 1 ю,„= ппп ьпах 2 еен ЧегоЭ !)Ч!! 8.9. Экстремальные свойства собственных значений 587 или окончательно а = шах ппп |1Ч!~ вен чееоЭ где а — длина полуоси эллипсоида, соответствующая собственному вектору и . Верхняя грань в этом равенстве достигается на подпространстве Е~, натянутом на векторы пы..., и,.
При этом предполагается, что аг >аз> ..>ат. Определение 8.9.1. Пусть задана некоторая позиционная линейная система с кинетической энергией Т и потенциальной энергией П = — П. Другая система с кинетической энергией Т и потенциальной энергией П называется системой, обладающей большей жесткостью по сравнению с исходной, если Т=Т, П>П. Аналогично систему, обладающую свойством Т<Т, П=П, называют системой, имеющей меньшую инерцию при той же жестко- сти. Теорема 8.9.2. (Рэлей).
При увеличении жесткости системы или ири уменьшении ее инерции собственные значения увеличиваются, Доказательство. Как при увеличении жесткости, так и при уменьшении инерции имеем в(ч, ч) в(ч, ч) < А(с1, ч) А(ч, ч) Но тогда минимумы и максимумы этих отношений будут связаны между собой таким же неравенством, т.е. Л; < Л;, 1 = 1,...,н. При этом хотя бы в одном из этих соотношений имеет место строгое неравенство, если только не выполнено тождество Н(ч,ч) В(ч,ч) р А(ч, ч) А(ч ч) Глава 8. Динамика голономных систем 588 Следствие 8.9.3. (Геометрическая интерпретация теоремы Рэлея). При увеличении жесткости системы или при уменьшении ее инерции новый эллипсоид Э содержится внутри исходного зллипсоида Э.
Полуоси внутреннего эллипсоида не больше, чем соответствующие полуоси обеемлющего. Пусть на позиционную линейную систему, имевшую собственные значения Лы..., Л„, наложено дополнительно з независимых линейных связей Ф, ее О,..., Ф, = О. Полученная таким образом новая позиционная линейная система бу- дет иметь и — в степеней свободы. Обозначим Л; < Л; « ... < Л„ , собственные значения этой системы.
Теорема 8.9.3. При наложении г независимых связей каждое из первых и-в собственных значений увеличивается, не превосходя при этом собственное значение исходной системы, номер которого на г единиц больше: л„< л"„, < л„+,. Доказательство. Воспользуемся следствием 8.9.2: Л„', = гпах ппп, у = 1,...,т — 1. в1ч,ч) йч о А(ч,ч) о,=о Здесь связи Ф1 — — О,..., Ф, = О фиксированы, а связи Ф = О варьи- руются.
Сопоставим полученное выражение с выражением для Л Л = гпах ппп, у = 1,..., т — 1. в(ч, ч) е, о,=о А(Ч, Ч) В правой части последнего равенства минимум берется по более ши- рокому множеству, так как связи Ф; = О отсутствуют. Поэтому Лт < Л„',. С другой стороны, имеет место формула Л„,+„— — гпах ппп ', у = 1,..., т+ г — 1, В1Ч Ч) о, е,=о А(Ч,Ч)' 8.9. Экстремальные свойства собственнык значений 589 в которой варьируются все т + з — 1 связей. Поэтому Л < Л +,.и Следствие 8.9.4. Если налоэюена лишь одна линейная связь, то Л1 < Л1 < Лг < Лг « ° ° Л 1 < Л Другими словами, собственные значения исходной позиционной линейной системы разделяются собственны.ни значениями системы, отличающейся от исходной тем, что в ней имеется дополнительная линейная связь.
Замечание 8.9.1. Пусть на координаты позиционной линейной системы дополнительно наложена нелинейная связь Ф(11) = О. Тогда вновь полученная система уже не будет линейной. Вместе с тем если положение равновесия о1 —— вг = ... = о» = О удовлетворяет уравнению дополнительной связи, то разложение левой части уравнения связи в степенной ряд будет иметь вид » дф 1» дгф Ф1ц) = ~» — 41 + — ~ — д1ду +... = О.
., дй1 ' 2, ду1дуу Предположим, что линейные члены действительно имеются: Тогда можем пренебречь членами второго и более высокого порядка и получить линейную связь, которая, будучи наложена на координаты позиционной линейной системы, вновь образует позиционную линейную систему. Дадим геометрическую интерпретацию теоремы 8.9.3 для случая з= 1. Следствие 8.9.5. Пусть эллипсоид Э = 1ц: В(е1,9) = 1) соответпствует исходной позиционной линейной системе и имеет полуоси а! > аг » ...
а». Рассмотрим сечение этого и-мерного эллипсоида гиперплоскостью в Ре». В сечении получится (и — 1)-мерный эллипсоид Э'. Полуоси эллиисоида Э' разделяют полуоси эллипсоида Эе а1 > а1 > аг > аг » ... а" 1 > а„. Глава 8. Динамика голономных систем 590 П р и м е р 8.9.1. Наличие трещины в стеклянном сосуде определяют, постукивая о посуду каким-нибудь предметом. У посуды без трещины имеются дополнительные связи между ее элементами по сравнению с посудой, имеющей трещину.
Поэтому у посуды без трещины частота возникающих колебаний должна быть более высокой, а значит, должен быть выше и тон звучания.о 8 8.10. Влияние дополнительных сил Пусть помимо потенциальных сил с потенциальной энергией П = В(г1, о) на позиционную линейную систему действуют еше и другие силы ф =1Л(1), 1= 1,...,п. Перейдем к главным координатам по формулам и д; = ~~~ и;бу, е' = 1,..., и, дев(и;) аб О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
