1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 100
Текст из файла (страница 100)
По непрерывности она тогда будет сохранять знак в некоторой окрестности точки 1'. 1э < 1' — а < 1 < 1 + а < 1ы Выберем ба, ф 0 в этой окрестности, причем того же знака, что и квадратная скобка. Вне окрестности положим ба; = О. Для индексов т' ф г' примем ббб = О. Тогда, очевидно, будет Г(б) > О,что противоречит экстремальности т. Достаточность. Если утверждение теоремы выполнено, то квадратная скобка в выражении для дифференциала, очевидно, равна нулю. 0 Замечание 8.11.1.
Система уравнений Эйлера в приведенном виде совпадает по форме с системой уравнений Лагранжа второго рода. Однако по смыслу в уравнениях Лагранжа функция Лагранжа должна удовлетворять обязательному условию невырожденности по обобщенным скоростям. Вместе с тем в уравнениях Эйлера, применяемых для решения задач на экстремум функционала, аналогичное условие невырожденности подынтегральной функции относительно первых производных может не выполняться. Кроме того, в уравнениях Эйлера под 1 следует понимать любую независимую переменную (не только время).
П р и м е р 8.11.1. (Задача о брахистохрбие). Материальная точка массы пз соскальзывает без начальной скорости в поле параллельных сил тяжести в вертикальной плоскости по абсолютно гладкой кривой у, соединяющей заданные начальную точку А и конечную точку В. Среди всех дважды непрерывно дифференцируемых кривых у, проходящих через фиксированные точки А и В, найти такую, для которой время движения точки из А в В минимально. Глава 8.
Динамика голоиомных систем 602 Р е ш е н и е. Поместим начало координат в точку А. Ось Ад направим вертикально вниз. Горизонтальную ось Ах выберем так, чтобы плоскость Аху содержала точку В. Пусть точка В имеет координаты хмдн Время Г движения по кривой т можно выразить с помощью криволинейного интеграла первого рода: где Нз — элемент длины дуги, а э — скорость точки, которую в данном случае можно найти из интеграла энергии: „, г — = пгдд, е = ~/2дд. 2 Примем у в качестве независимой переменной и обозначим х' производ- ную от х по д.
Тогда получим г,л+ ьт а Имеем функционал, для которого пределы интегрирования, а также начальная и конечная точки фиксированы. Необходимое и достаточное условие экстремальности есть уравнение Эйлера относительно функции (д): и ( г = О. Гу ~~в+~*'~ Гау) Следовательно =с, х'=~ 'ттТ*')' /2ау ~л — с'р где с — константа интегрирования и С = с~/Тд. Из интеграла энергии следует, что д > О.
Ясно также, что должно быть Сгд ( 1. Перейдем к другой переменной: Сгд = Ип т, Возьмем только ту ветвь зкстремали, которая соответствует увеличению х. В результате будем иметь т 1 / х = — ( 2зтпг тйт. =Сг/ о После интегрирования получаем искомую экстремаль в параметрической форме: 1 1 х = — (2т — Ип 2т), у = — (1 — сов 2т). 2Сг 2Сг 8.11.
Экстремумы функционалов 603 Это циклоида. Она вычерчивается точкой обруча, совпадающей в начальный момент с точкой А. Обруч имеет радиус 1/(2Сз), катится без проскальзывания по оси Ах так, что его центр расположен ниже оси Ак, а абсцисса центра равна 2г и служит параметром циклоиды. Постоянная С подбирается так, чтобы циклоида прошла через точку В.О При получении условий оптимальности большую роль играет множество функций, на котором происходит сравнение значений функционала.
Это множество назовем областью определения функционала. Для теоремы Эйлера это было множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, проходящих через фиксированные начальную и конечную точки в заданные начальное и конечное значения параметра 1. Могут быть и другие ограничения. Предположим, например, что требуется найти экстремум функционала Ф(у) среди всех вектор-функций, для которых значение другого функционала такого же вида: Ф(7) = И'(Ч Ч т)о1 и равно постоянной с.
Условие Ф = с ограничивает множество функций, среди которых ищется экстремум, и традиционно называется изоиерилетрическим условием, а соответствующая задача оптимизации изопернмеглрической задачей. По существу это задача на условный экстремум. Определение 8.11.4. Градиентом функционала Ф(у) на множестве вектор-функций с фиксированными краевыми точками называ- ется вектор-функция Пусть на отрезке 1з < 1 < 1г заданы две вектор-функции уд — — (хай":хЯ =(к1(1),...,а„(1)), к; б Сз, 1= 1,...,п), уг = (у Е Я": у(Х) = (у1(1),..., у„(1)), уг Е С, 1 = 1,..., и). Определим для них скалярное произведение по формуле Очевидно, что все свойства скалярного произведения при этом выполняются. Скалярное произведение порождает норму вектор-функции; Глава д. Динамика голономных систем 604 Теорема 8.11.3.
Пусть, как и прежде, все траектории проходят через фиксированную начальную и конечную точки для заданных начального ~о и конечного П значений параметра 1. Тогда найдется постоянная Л, для коепорой экстремаль функционала Ф при условии, что функционал Ф сохраняет постоянное значение, совпадает с безусловной эхстремалью функционала Ф+ ЛФ.
Доказательство. Дифференциалы функционалов можем представить в виде БФ= —,б, бФ = —,б Изопериметрическую задачу переформулируем так: требуется найти такую кривую у' (экстремаль), что бФ = О для любой вариации б', обращающей в нуль значение бФ. Пусть задана совершенно произвольная вариация б. Тогда вариация б' может быть получена по формуле Прямой проверкой легко убедиться в том, что скалярное произведе- ние —,б' = О.
По смыслу б' представляет собой вариацию в плоскости, перпендикулярной градиенту функционала Ф в пространстве функций. Необходимое и достаточное условие экстремальности состоит в том, что для любого б, причем скалярная постоянная Л выражается формулой Следствие 8.11.1. (Свойство взаимности изопернметрической задачи). Множество эхстремалей функционала Ф при фиксированном значении функционала Ф и множество экстремалей функционала Ф при фиксированном значении функционала Ф принадлежат одиопараметрическому по параметру Л семейству Безусловных зкстремалей функционала Ф+ ЛФ.
605 8.11. Экстремумы функционалов 'Теорема 8.11.3 обосновывает метод множителей Лагранжа для изопериметрических задач (сравните с замечанием 4.6.2). Рецепт решения задач по этому методу состоит в том, что ищется безусловный экстремум функционала Ф+ ЛФ. Его экстремаль т' будет зависеть от скалярного параметра Л. Параметр Л находится из условия, что Ф(7 )=с. П р и м е р 8.11.2. Найти функцию у(я) такую, что ее график на плоскости с декартовой системой координат Озу представляет собой гладкую кривую, проходит через фиксированные точку А с координатами (0,0) и точку В с координатами 1а,О), а площадь, ограниченная графиком функции у(з) и осью Оз, максимальна среди всех кривых одинаковой длины 1. Р е ш е н и е. По условию имеем а э е=) к*И*, т=) тт(гга*=~, г= —.
г <~У Йз о о Функционал Ф задает площадь под графиком функции у = у(з), а функционал Ф есть длина дуги искомой кривой, Воспользуемся теоремой 8.11.3. Составим функционал а / ь -'; ~ /гт(гг! ~*. о Согласно теореме 8.11.2, экстремаль этого функционала удовлетворяет уравнению Эйлера: 1 — Л— И у' = О. После однократного интегрирования получим = — +а=у, з 1+гУ)г Л где а — постоянная интегрирования, а б — новая независимая переменная, так что Нз/Нб = Л, пу/г)( = Лу'.
Видим, что знаки у' и ( совпадают. Разрешив полученное уравнение относительно у', найдем )у ,/Г-~ ' — у- у, =-Л,Д-Р+Л /1-Ц, где уэ, бэ — значения переменных у и б в точке А. Перейдем к независимой переменной я и определим значение постоянной а из краевых Глава 8. Динамика голономных систем 606 условий. Имеем уз = О, сз = а и у(а) = О. Поэтому 2 ( + ) Л ' 2Л' В итоге получаем уравнение искомой экстремали, в которое входит па- раметр Л: Таким образом, все экстремали оказываются дугами окружности, имеющей радиус ~Л~ и проходящей через точки А и В.
Радиус окружности найдем из условия, что длина искомой дуги равна !. Это условие приводит к уравнению: и ! з(п — = — —. (Л! ! (Л!' которое имеет ненулевое рещение, если и/! < 1. Часть окружности, расположенная выше оси Оя, дает максимум требуемой площади. Знак Л выбирается из условия, чтобы именно эта часть окружности имела длину !.О Область определения функционала может задаваться также с помощью системы дифференпиальных уравнений. Для удобства построения метода поиска экстремумов функционала в этом случае примем с.педующие обозначения: я;=1!ь е~м — — 4, 1=1,...,п т=2п, х=(еы...,х,„).
Будем искать экстремумы функционала 6 = Иг(х,н,1)й, м где 1э и 1г — начальное и конечное значения независимой переменной 1, и = (иы..., на) — вектор управления, задающий функцию х(1) как решение системы дифференциальных уравнений х = Х(х, ц,1), Х Е В™, при конкретном задании вектор-функции и = и(1) и начальных условий х(1з) = хю Например, если рассматриваемый процесс есть движение системы материальных точек, то вектор-функция ц(1) задает управляющие силы, которые могут выбираться, чтобы целенаправленно изменить траекторию, скорость и другие характеристики движения.
В дальнейшем будем считатгч что вектор и принадлежит замкнутой ограниченной области (г, так как возможности управления обычно ограничены. 6.1Е Экстремумы функционалов 607 В сформулированной задаче область определения функционала формируется свободно выбираемыми из области Р функциями и(!). Поэтому градиент функционала целесообразно построить именно в этом пространстве. Составим вспомогательный функционал $3 3» »3 л=) '(»с .,$01 — с 0;ц) $$, »=0 01 0.хс,, » с 0 $»1 $»! с дН ь дН с 50=) ~ ~— бхс +~ — би, — ~~3„4чб(хс) й+~ Н вЂ” ~ ~фс;х;) Й .с хс ' ди. с $-1 у-! 1 31 ),. Внеинтегральный член выражает приращение функционала из-за изменения пределов интегрирования. Меняя местами символы варьирования и дифференцирования по времени в последнем слагаемом подынтегрального выражения и выполняя интегрирование по частям, найдем с, $0=) т ( —.,'.0)$;$1' — $» $=1 0 У»1 < 3» »3 Н вЂ” ~ ~оскс й — ~ 431 бхс 3=1 $»1 3 + $0 $0 Символ "б» означает изохронное варьирование, то есть приращение значения функции при фиксированном значении независимой переменной.
Если независимая переменная тоже изменяется, то соответствующий дифференциал (волиал вариация функции) выразится формулой Ихс = бхс + х; 31!. Учитывая это равенство, получим $0 =) '( 1 — + фс) дхс + ~ — бис с(1+ НсП вЂ” ') фслх!) сс дН 33 дН 1, дхс 3) ', ди,. $»1 $»1 с 0 Функционал Л совпадает с функционалом 8 для функций х(с), служащих решениями заданной системы дифференциальных уравнений. При этом коэффициенты ф,(8), с = 1,...,пс, можно выбирать совершенно произвольно.
Воспользуемся произволом с целью преобразования дифференциала функционала к виду, в котором будут присутствовать только вариации бис, у = 1,..., к. Выполним варьирование в предположении, что х удовлетворяет заданной системе дифференциальных уравнений; Глава 8. Динамика голономных систем 608 Теорема 8.11.4. Дифференциал функционала 9 дается формулой 60 = / ~ — би1 й, Н = Иг+~ ф,Х,(х,п,~), 1 -/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
