1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 93
Текст из файла (страница 93)
ддддде Следовательно, У линейно зависит от обобщенных скоростей: и У = ~~' ~'Че+ ь'о 1=1 где 5се(Ч1,..., Ч„,1), 1 = О, 1,..., и. Таким образом, дУ " дУ1 . дУо ддг ддд дд3 Вычитая, найдем /д51 дбсу '1, дУв дУ~ ,, 1,дчу дч1,) ' дд, дт ' Обозначим дУ; дУЧ вЂ” — — 1= 1,...,п. дду дде Так как 71 = — 711, первый член выражения для 141 дает гироскопическую силу (определение 7.2.1). Второй и третий члены не зависят от обобщенных скоростей.0 Следствие 8.3.2. Силы, определяемые обобщенной силовой функцией, не могут быть диссипативньсми. 5 8.4.
Функция Лагранжа. Циклические координаты Пусть из множества активных сил, действующих на систему материальных точек, можно выделить часть, для которой существует силовая функция 51 = У(Ч1,..., д„, 1) либо обобщенная силовая функция 51 = П(Ч,Ч» Ч1 Ч с) Определение 8.4.1. Сумма кинетической энергии Т и функции и называется функцией Лагранжа (лагрвнжианом) системы матери- альных точек. Глава 8. Динамика голономиых систем 556 Следствие 8.4.1. С использованием функции Лагранэка уравнения Лагранэка втпорого рода принимают вид где От — силы, не обладающие силовой функцией. Доказательство непосредственно следует из определения 8.3.1.
Следствие 8.4.2. Для систем материальных точек функция Лагранэка иредставляетса в виде Х =Хг+Ет+Ео, где Ьг — квадратичная форма отп обобщенных скоростей, Ьт — линейная форма от обобщенных скоростей, Ьо от обобщенных скоростей не зависит. Доказательство. Когда ет' есть силовая функция, т.е. она зависит только от координат, то указанное представление функции Лагранжа следует из теоремы 8.1.1. Если У вЂ” обобщенная силовая функция, то необходимо привлечь еще теорему 8.3,2.П Следствие 8.4.3. Если функция Лагранэка не зависит явно от времени, а силы, не обладающие силовой функцией, являются гироскопическими или отсутствуют, то имеет место обобщенный интеграл энергии Яхобит Доказательство дословно совпадает с доказательством теоремы 8.2.2 при замене Т на Ь.
Однако теперь Ь может включать уже обобщенную силовую функцию. П Определение 8.4.2. Координата д; называется циклической, если функция Лагранжа от нее не зависит: дЬ вЂ” = О. дчт Соответственно д; называется циклической скоростью. Теорема 8.4.1. Если д; — циклическая координата и соответствующая ей непотенциальная сила отпсутствуетт от = О, то система уравнений Лагранэтса допускает первый интеграл вида дЬ вЂ”. =дт, дут где дт — постоянная интегрирования. 8.4. Функция Лагранжа. Циклические координаты 557 Доказательство. Так как 41 — циклическая координата, а ф = О, то соответствующее уравнение Лагранжа (см.
следствие 8.4.1) принимает вид бг„= е бд1, и = 1,..., 11г, суть виртуальные перемещения всех точек системы и дг„/д41 = е. Об- общенная сила Я1 имеет зид дг„ Я! =,)',Р, . — = ~~! Г„° е = е ) Г„ гж1 дч! г=! г=! и представляет собой сумму проекций активных сил нз направление е. Вычислим теперь частные производные дТ/ду1, дТ/д411 дТ . дг„, дг„ ГлгГр ', Х~! !враг ' Е ' К~~ ГП Чв Е ' МУе где М вЂ” масса, ч, — скорость центра масс системы. Далее дТ .
дг„. Ы дг„ д41, " дд! " " пт Д41 1Ч т„г„— = О. Ю г=1 Первый интеграл, о котором идет речь в теореме 8.4.1, называется циклическим интегралом. В отличие от циклических координат остальные координаты называются позиционными. Принимая во внимание следствие 8.4.2, заключаем, что циклические интегралы линейны относительно циклических скоростей 4! и не зависят явно от циклических координат дь С помощью циклических интегралов можно исключить из остальных уравнений движения циклические скорости, выразив их через скорости позиционных координат. При этом порядок системы уравнений движения снижается на 2в единиц, где в — число циклических координат.
Рассмотрим примеры, показывающие, что при действии только голономных связей теорема 8.4.1 о циклическом интеграле обобщает основные теоремы динамики системы. П р и м е р 8.4.1. Интеграл количества движения (следствие 5.1.2) имеет место, когда связи допускают виртуальное поступательное перемещение всей системы вдоль постоянного направления с единичным вектором е.
Соответствующую этому перемещению лагранжезу координату обозначим 41. Тогда Глава 8. Динамика голономных систем 558 Следовательно, если дЕГ/дд1 = О, то координата д1 будет циклической. Соответствующее ей уравнение н е Мт, = е. ~~~ 8'„= Я1 ив1 дает теорему 5.1.2 о движении центра масс. Если же С)1 = О, то будет справедлив циклический интеграл, выражающий закон сохранения проекции количества движения на направление вектора е: е. Мт, = 81.0 П р и м е р 8.4.2.
Интеграл площадей (следстзие 5.1.3) существует, когда множество виртуальных перемещений а каждый момент времени включает дифференциал вращения всей системы как целого вокруг неподвижной оси Я 2.10). Пусть е — единичный вектор направления этой оси, а д1 — угол поворота вокруг нее. Примем д1 за одну из лагранжезых координат системы. Дифференциалы вида бг„= бд1(е хг,), и= 1,...,М, дㄠ—" = е х г„, и = 1,..., 1'и'. до1 Обобщенная сила, соответствующая координате д1, вычисляется следующим образом: ч'1 — — ~ Є— =~~1 и'„(ехг )=е ~~~ г хь'„.
и=1 да1 и=1 ии1 Она представляет собой проекцию суммарного момента сил на напра- вление е. Вычислим теперь частные производные дТ/дд1, дТ(ду1; дТ 5-~, дги ~5~ . дги д' д' — ='Гт„Ги —," =TтиÄ— "" =~~ 'т„Г„(ЕХГ,)=Е~~1 Г„Хт„т„, т'1 „. 1 й „в1 дВ ии1 что совпадает с проекцией суммарного вектора кинетического момента на ось е. Далее дг„с дД1 дт — гп„г„ д, с' Ы дги т ~ .
8 — — гп„г„— (е х г„) = 81 дд1 ~-; " " й К т„г„(е х г„) = О. и=1 определяют а рассматриваемом случае виртуальные перемещения точек системы. Тогда 8.4. Функции Лагранжа. Циклические координаты 559 Уравнение Лагранжа, соответствующее координате Чн принимает вид — е 7 г„хт„ч„) =е ~г„х5'„ гд еьц еел М = Ф(г). Обоз н ач и м д 1/ $ дг ' пг Уравнения Лагранжа после перехода примут вид Ы~; 1 к новой независимой переменной И г дс", "1 д.б Ит ~,дЧ,') дбн где / / г г г г Ч1 Чн Е=~И Чн Чг Ч 1)=15~Чг Ч д у~.
Эти уравнения имеют структуру уравнений Лагранжа, но чтобы их полностью определить, требуется задать зависимость ~ = Цт). Пользуясь произволом в выборе этой функции, определим ее, добавив к исходной системе дифференциальное уравнение Тем самым переменные Чы..., Ч„,1 заданы посредством системы уравнений Лагранжа второго рода, где С служит функцией Лагранжа. Поскольку С от 1 явно не зависит, координата $6удет циклической, и ей соответствует циклический интеграл да. — = -5. дд и выражает теорему 5.1.4 об изменении кинетического момента. Если момент активных сил относительно оси е равен нулю, то соответствующий циклический интеграл будет интегралом площадей.О П р и м е р 8.4.3. Пусть силы, не имеющие силовой функции, отсутствуют: Я; = О.
Тогда система уравнений Лагранжа имеет вид: И /дг','1 дЬ 41 '1,дЧ,) дЧ; Если, кроме того, функция Лагранжа не зависит явно от времени, то для втой системы справедлив обобщенный интеграл энергии (следствие 8.4.3). Покажем, что этот интеграл можно интерпретировать как циклический. Перейдем к другой независимой переменной г: 560 Глава 8. Динамика голономных систем Покажем, что этот интеграл есть обобщенный интеграл энергии. В самом деле, дС, " дада " дА, Поскольку Ь = Ьз + Ь1+ Ье, получим дŠ— = Ь,-.б,. дд Следовательно, изучаемый циклический интеграл есть Рассмотренные примеры показывают, что для голономных систем основные теоремы динамики можно рассматривать как проявление свойств циклических координат. Ясно, что удачный выбор лагранжевых координат в значительной мере облегчает интегрирование и исследование системы уравнений Лагранжа.
При выборе координат полезно стремиться к тому, чтобы из них как можно больше оказались циклическими. Решающую роль здесь играет структура множества виртуальных перемещений и то, как изменяется функция Лагранжа по различным направлениям в пространстве лагранжевых координат. Дифференциалу циклической координаты отвечает направление виртуальных перемещений системы, в котором функция Лагранжа не изменяется. Наоборот, если в каждой точке конфигурационного пространства существует направление виртуальных перемещений, оставляющее постоянной функцию Лагранжа, то одну из лагранжевых координат следует выбирать так, чтобы ее дифференциал задавал именно зто виртуальное перемещение системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
