1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 106
Текст из файла (страница 106)
П р и м е р 9.4.1. Составим функцию действия по Гамильтону для движения по инерции свободной материальной точки. Пусть к, у, »вЂ” декартовы координаты точки и 1о = О. Тогда закон движения принимает вид к = ко+ко» усе уз+ уо»» = »о+»о». Согласно принципу Гамильтона, этот закон есть экстремаль функционала действия. Поэтому функция действия по Гамильтону вычисляется следующим образом: Я(к У» ко,уо»о 1) гл (х + у +» )д1 = — (ко+ уо +»о) о = — [(к — ко) + (У вЂ” Уо ) + (» — »о ) 1 . 21 4!' Глава 9. Метод Гамильтона-Якббн 644 Поверхности уровня этой функции суть концентрические сферы с цен- тром е исходной точке. Воспользуемся следствием 9.4.1: дд х — хо — = -т— рео дхо дд х — хо р,= — =тп дх дд у — уо дд у — уо рг т рве ду 1 ' "' ду дд» вЂ” »о дд» вЂ” »о р, = — =та —, р„= — = — т —.
д» 1 ' д»о Найдем также уравнение Гамильтона-Якоби. Имеем И = Т = — (р'. + р„'+ р,'). 1 Следовательно, функция 5 удоалетаоряет уравнению — + — — + — + — = О.О 5(е,дм...,4„,аы...,а„) уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби, содержащее и произвольных постоянных аы...,а„, называется полным интегра- лом этого уравнения, если выполнено условие / дгд Теорема 9.4.2.
(Якоби). Пусть 3(1, ды, .., д„, ом..., о„) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Тогда соотношения дд дд — =де, — =ро 1=1,...,п, дол ' дрп суть независимые первые интегралы соответствующей системы канонических уравнений Гамильтона. Знание функции о' действия по Гамильтону дает возможность найти закон движения системы. Функция д удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Тем самым имеется возможность с помощью методов теории уравнений в частных производных исследовать свойства движения динамических систем.
Определение 9.4.1. Непрерывно дифференцируемое решение 0.4. Метод Гамильтона-Якоби 645 Доказательство. Поскольку Н есть полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, то для него да,дд др где принято обозначение дд = Рь де,. Считая дб 1 = 1,..., и, постоянными, найдем Так как 5 непрерывно дифференцируема, то можно изменить поря- док дифференцирования и вычесть из второго равенства первое: » дтое дН '~ д,удаи ' дру В связи с тем, что / дхо получим дН $ = —,,1 =1,...,п, др; ' для д 11), удовлетворяющих группе уравнений Найдем полную производную по времени от р;, 1 = 1,...,п.
В соответствии с обозначением имеем дзН» дго Учтем, что Н есть полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби: д 1'дд ~ дед дН " дзд дН вЂ” ~ — +Н~ = — + — +7 =О, дд; ~, д1 / дй;й дй. ~ дд;дд, др, Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби Меняя порядок дифференцирования и вычитая иэ р; левую часть последнего равенства, получим дН " д25 / дН Ъ Рг+ д =~д д 141 д ( =ц.
Чг Чг ЧУ Ру Отсюда следует, что равенства дд дд — =1ч, — =рн 1=1,...,п, д; *' дЧ, дд — =дг, г=1,...,л, ог относительно пеРеменных Чм ..,, Ч„и находЯтсЯ фУнкции Ч; = Чг(1,ац...,о„,Д,...,дн), 1= 1„...,л, зависящие от 2л произвольных постоянных. Затем эти функции под- ставляются в выражения дд р;= —, 1=1,...,л, дЧг ' что дает зависимости рь =рг(1,ом,он,А, .~дн), 1=1, Это правило всегда можно применить в силу определения 9.4.1. П р и м е р 9.4.2. Кинетическая энергия и силовая функция гармонического осциллятора имеют вид 1 .г Т вЂ” Чт гг — ытЧэ 2 ' 2 Найдем функцию Гамильтона; рт зЧт Н=Т вЂ” У= — + —, 2 2 дТ Р= =Ч.
дЧ сохраняются в силу канонических уравнений Гамильтона. Значит, они представляют собой первые интегралы этих уравнений. Независимость интегралов следует из определения 9.4.1.П Теорема Якоби обосновывает следующее правило построения закона движения Ч;(1), рг(г) по известному полному интегралу уравнения Гамильтона-Якоби о11, Чы..., Ч„, ам..., о„). Сначала разрешается система и уравнений 0.4. Метод Гамильтона-Якоби Составим уравнение Гамильтона-Якоби: 647 д + 1 д +ы292 0 Будем искать решение этого уравнения в виде суммы 5 = -Ы+ Яг(д), где 6 — произвольная постоянная.
Подставим эту сумму в уравнение Гамильтона-Якоби: — — 26- ч. ~Ы~ нет необходимости искать функцию дг(д, 6), хотя в данном случае найти ее нетрудно: Яг = — 1~р — — зш2~р), совр = — ыд. ы 1, 2 )' ~/266 Достаточно определить производную дог/д6 из уравнения д ддг 1 г)е д6 26 ыз 2' Отсюда юг 1 ые — = — агссов —, д6 ы ъ'266 Следовательно, первый интеграл 11 = дБ/д6 выражается равенством 1 ыд — вгссоз — — 1 = д ~/266 или ~/266 д = — соз(ыг+ ~3), как это и следовало ожидать (см. "2 3.9).О Возможность знака "+" перед радикалом здесь можно не учитывать, так как согласно теореме 9.4.2 достаточно найти любую функцию ды зависящую от одной произвольной постоянной, например 6, и удовлетворяющую уравнению Гамильтона-Якоби.
Чтобы получить первый интеграл Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби 648 Рассмотренный пример показывает, что задача о поиске полного интеграла решается неоднозначно. Полный интеграл не дает общего решения уравнения Гамильтона-Якоби, охватывая лишь небольшую часть решений. Тем не менее по полному интегралу можно восстановить исходное уравнение. Действительно, дифференцируя полный интеграл, получим дд дд — = ЯС,Ч,а), — = Уа(1 Ч,гк), 1=1,...,п. доо д1 Из первой группы соотношений можно выразить каждое сч через частные производные дВ/дщ, 1, д;, 1 = 1,...,п. Подставив найденные выражения для оп 1 = 1,..., и, во второе равенство, получим исходное уравнение в частных производных. Установленная связь между траекториями механической системы и уравнением в частных производных позволяет не только находить траекторию по решению уравнения Гамильтона-Якоби, но и, наоборот, свести интегрирование уравнения в частных производных указанного типа к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона.
В самом деле, поставим для уравнения Гамильтона-Якоби задачу Коши дВ /дд В(Ч,1о) = Во(Ч), — + Н ( †, Ч,1 = 8. д1 1,дч' Чтобы найти решение этой задачи, следует составить характеристические уравнения, которые в данном случае образуют систему канонических уравнений дН . дН р|= Чч'= да; ' др;' с начальными условиями дЯа В(1о) = 4ш р1(1о) = —, 1= 1,,п, дч Отвечающее этим начальным условиям решение системы есть характеристика задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем значение 1о настолько близким к 1о, чтобы характеристики, выходящие из близких друг к другу точек с1о, не пересекались при 1о < 1 < 11.
Значения Ч(11), 11 можно принять за координаты точки В, так что чя В(В) = Ва(Чо)+ ~ Х(Ч,Ч,1)д1 ч, о 9.4. Метод Гамильтона-Якоби где интегрирование выполняется вдоль характеристики, ведущей в точку В. Построенная функция В(В) удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Она называется главной функцией действия по Гамильтону.
Вернемся к задаче определения закона движения механической системы с помощью полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Для симметрии обозначим х; = уь г =1,...,п. Уравнение Гамильтона-Якоби примет вид Теорема 9.4.3. (Имшеивикий). Пусть какая-либо координата х» и соответсп»вующая ей производная дд/дх» входят в левую часть уравнения Г = О только посредством некоторой функции У=У х» д не содерзюащей других переменных и производных: »г дВ д5 дд дд В =Г~ —,, — —,,—,хв,,х» ьх»+ь...,х»,у »,дхо ' ' дх»-1' дх»+» ' ' ' ' ' дх„' Тогда функция 5 = У + В»(х»,о»), где о» вЂ” произвольная постоянная, У не зависит от х», есть полный интеграл уравнения г' = О в том и только том случае, если функция В» удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению Ф х» д =о», а функция У есть полный интеграл уравнения /дУ дУ дУ дУ Р~ — —,—, —,ха,,х»-мх»+ь,х»,о» = О.
~дхв'''''дх»»'дх»+»'' ''дх»' Доказательство. Необходимость. Пусть В = У+ В»(х», о»), Глава О. Метод Гамильтона-Якоби 650 где дч не зависит от х», есть полный интеграл уравнения Е = О. Подставив Ь' в это уравнение, получим / дд' дд' дУ дд' 1,дхо' ' дх»-1' дх»+»' дхо ' х»+» ... хо Ф т»,— =О. Так как о' — решение, то последнее равенство есть тождество, справедливое при любом значении координаты х». Но при изменении х» может изменяться только функция у.
В этих условиях тождество возможно, лишь когда»о при изменении х» сохраняет постоянное значение. Поэтому выполнены два равенства: »о х»,— =а», г'дд' дд' дУ дУ хо~ ° ° х» — 1 х».~.ы ° ° ° хп а» =О. 1,дхо' ' дх»-» ' дх»+» ' ' дт» ' Далее по условию дои дод» ~ д»5' дх;да; дх»да» ~дх;дау ..., Поэтому ни один из сомножителей не обращается в нуль, и У есть полный интеграл последнего уравнения. Достаточность. Пусть о» и о' удовлетворяют условию теоремы. Очевидно, что тогда 5 = о' + Я» есть решение исходного уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
