1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 109
Текст из файла (страница 109)
ь=ь В силу заданной системы дифференциальных уравнений имеем / / х~ = хьь = хьй=Кьд, уь — Уьц. Учитывая эти равенства в подынтегральном выражении, а также за- висимость дН " ь'дН дН .,У ( ь.„ь), д~, ь,дхь ' ду; получим Так как замкнутый контур, по которому ведется интегрирование, может быть выбран произвольно, то равенство нулю интеграла означает, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал. Но множитель р может быть выбран каким угодно. В этих условиях выражение, стояьцее в фигурных скобках, должно тождественно равняться нулю при любых дифференциалах дхь ду;, ьй. Поэтому дН дН дН дН вЂ” Хь= —, — = —,а дх ' ду;' д~ ~й ' Следствие 9.5.3.
В условиях теоремы У.б.в' выполнено тождесьыво дН дН дй Й' которое справедливо для канонических уравнений' Гвльильтона. Следствие 9.6.4. Существование интегрального инварианта Пуанкаре-Картана есть необходимое и достаточное условие того, чтобы движение системы описывалось каноническими уравнениями с функцией Гамильтона, входящей в выражение инварианта. Лнвариантность интеграла Пуанкаре-Картона может быть положена в основу механики голономных систем с потенциальными силами. 9.5. Интегральные инварианты П р и м е р 9.5.2.
В интеграле Пуанкаре-Картана функция Гамильтона Н входит на правах импульса. Введем новую переменную р„е1 = — Н. Тогда можно выразить, например, р1 как функцию остальных переменных: Р1 = — Уг(1, Ч1,, Яп~рг,,Рл+1), а интеграл Пуанкаре-Картана можно переписать следующим образом: Здесь роль времени играет уже координата 41. Поэтому закон движения будет определяться каноническими уравнениями ггуг дгг г(рг дуг — — — — — 1' = 2,..., и + 1. г(41 дрг ' г(41 дри ' Полученные уравнения носят название уравнений Уипгпгекера.
Они позволяют сделать следующие выводы. 1. Если Н не зависит явно от времени 1, то в уравнениях Уиттекера координата д„е1 будет циклической, из-за чего порядок интегрируемой системы можно понизить на две единицы. Интеграл энергии приобретает смысл циклического интеграла. 2. Если функция Н не содержит явно координату е1, то дуг/дд1 = О, и уг = с есть первый интеграл, аналогичный интегралу энергии в исходной системе.
Если, кроме того, .Г(Я1,,аз+1,рг, р е1) = а представляет собой еще один первый интеграл, то (следствие 9,3.4) выражения дг дгг даг = аы г = аг~., „= аэ~. ду1 ' ддг1 ' ' дд1, также будут первыми интегралами этой системы. С другой стороны, когда ду/дд1 = О, имеем Г = г (1, 41,..., е„, — ~р, рг,..., р„) и ду дг дг" дгг дг — = — + — — = —. дд1 дд1 др1 дд1 дд1' Обобщая, можно сказать, что если равенство Глава О.
Метод Гамильтона-Якоби 668 служит первым интегралом системы канонических уравнений Гамильтона, имеющей циклическую координату йы то первыми интегралами будут также равенства дР д'Р' д" Г д| до'''дни Перейдем к изучению инвариантов систем канонических уравнений Гамильтона, получающихся интегрированием по объему фазового пространства. Сначала докажем теорему Лиувилля об интегральном инварианте произвольной системы дифференциальных уравнений. Пусть движение точки пространства ге'" переменных хы..., х„, задано с помощью следующей системы дифференциальных уравнений: *; = у (хм..., т, е), 1 = 1,..., т. Выберем область Р(1о) С И™ начальных координат хы..., х„„соответствующих моменту ео.
Уравнения движения определяют преобразование х(го) - х(е), вследствие которого область Р(ео) перейдет в область Р1е). Составим интеграл где Нйе — элемент объема области РЯ, г(х,е) — некоторая скалярная функция. Этот интеграл, вообще говоря, будет зависеть от времени 1. Теорема 9.5.5.
(Лиувйлль). Интеграл Л(1) от заданной функции Р(х,г) ио произвольному объему Р(1) сохраняет свое значение ири изменении Г (служит интегральным инвариантом) тогда и только тогда, когда справедливо тождество др ~ д(ГЛ) Доказательство. Пусть в некоторый момент времени 1 реализовались значения координат хе1т), 1 = 1,..., гп. Вычислим производную дЛ/дг. С этой целью дадим времени малое приращение г.
Соответствующее т преобразование координат в силу уравнений движения имеет вид х;(е + г) = х;(1) + зе1х1Я,..., х„,(1),1) г+ о(г). 9.5. Интегральные инварианты 669 Составим матрицу Якоби этого преобразования: У = ' = Е+ — ' г+о(г). Следовательно, деС Х = 1+ г ') — ' + о(г). дЛ дх; По свойству якобиана й(С+т) = г (х(С+г), С+г) с(П)+, — — Р(х((+г), С+г) е)еС,У дй). ()(1+т) В точке г = О получим Нй с(й / 1)(г, )( — — / ~ — + г" — (е(еС г) )УП).
д( д 1 ~д д Из выражения для деС У найдем — (ЙеС,У) )У дЛ г=в Поэтому дй У 1И' ™-- д(РЛ) п(1) Для непрерывно дифференцируемой функции Л(С) постоянство ее значения и условие НЛ/д( = О эквивалентны. Кроме того, область интегрирования может быть выбрана произвольно.С) Следствие 9.5.5.
При движении, описываемом системой дифференциальных уравнений хе хх Л(х),..., х, (), 1 хх 1,..., )п, область Р(С) сохраняет обеем тогда и только тогда, когда Š— 1=0 дЛ дх; )и) Доказательство. Чтобы получить этот результат, достаточно применить теорему Лиувилля, приняв Р ы 1.П Глава 9, Метод Гамильтона-Якоби 670 Сл~хствие 9.5.6. лгв жение, определенное системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет оБвел фазового пространства. Доказательство. Число фазовых координат равно т = 2п: Х1 = ус, ..,, Хп = Чп, Хо+1 р1, Хгп — Рп ° Тогда ~ г* ~ (гав гпгп) Следствие 9.5.7. Движение, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, не мозгсет Быть асимптотически устойчивым. Доказательство. Утверждение справедливо, так как при асимптотической устойчивости объем области фазового пространства в окрестности притяжения соответствующей фазовой кривой должен уменьшаться, что невозможно.
П Следствие 9.5.9. Если Е(1, дь,дп, рг,..., рп) есть первый интеграл системы канонических уравнений Гамильтона, то Л = Е(1,уь ",у рь. рп)с(К, ОП) где интегрирование ведется по области В(1) фазового простран- ства, есть интегральный инвариант. Доказательство. Так как Š— первый интеграл, то др " дЕ дР— + у — д = — +(Е,Н) =0, д~, дх, ' д1 а кроме того, в силу сохранения фазового объема " ду) дх; Поэтому критерий теоремы Лиувилля выполняется.С) О.б. Интегральные инварианты Сл~тствие 9.5.9. Если ОН)д1 = 0 (система канонических уравнений автономна), гпо Л = Н(уы...,у„,рм...,р„)дй, о 01 есть интегральный инвариант, Теорема 9.5.6.
(Теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть à — сохраняющее обеем непрерывное взаимно однозначное отобразгсение, переводящее ограниченную область Р евклидова пространства в себя: ГР = Р. Тогда в любой окрестности й любой точки из Р найдется точка к б Й, которая возвращается е окрестность й, т.е. Г"к б Й при некотором п > О. Доказательство. Рассмотрим образы окрестности: й, ГЙ,...,Г~Й, Все они имеют одинаковый положительный объем. Предположим, что все онн не пересекаются.
Тогда объем нх суммы равен сумме объемов. Но все образы должны принадлежать Р. Область Р ограничена по условию теоремы, а вместе с тем если образы й, Гй,... не пересекаются нн при каком )е, то объем Р должен быть бесконечным. Получили противоречие. Значит, при некоторых натуральных гп > О, к > О, гп > х получим М = Г™ЙОГ"й ф О. Пусть в б М. Тогда отображение Г " (оно существует) возвращает точку к в окрестность й. Кроме того, имеем Г "г б Г "й. Обозначим у = Г ьг.
Имеем у б Й. С другой стороны, существует х б й, такое, что у = Г" х, и = т — к,П П р и м е р 9.5.3. Преобразование, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем. Если система автономна (дН(д1 = 0), то это преобразование обладает групповыми свойствами. Пусть, кроме того, система склерономна (справедлив интеграл энергии), и потенциал П растет на бесконечности. Тогда теорема Пуанкаре о возвращении применима для области Р, выделяемой неравенством Т+П<й, Т > 0 — кинетическая энергия системы.О Глава 9.
Метал Гамильтона-Якббн 672 9 9.6. Множители Якоби Пусть в пространстве Нп«задана система обыкновенных дифференциальных уравнений х; = Яхы ..., х ,1), «' = 1,...,гп. Определение 9.6.1. Функция М = М(хы..., х,1) называется множителем Якоби, если она удовлетворяет дифферен- циальному уравнению в частных производных дМ,~ д(МЛ) П р и и е р 9.6.1. Системз канонических уравнений Гамильтона дН , дН 9«= —, Р;=- —, 1=1,...,п, др допускает множитель Якоби, равный 1, что видно из следствия 9.5.6.О П р и м е р 9.6.2. Пусть на систему материальных точек наложены идеальные голономные связи и заданы силы, зависящие только от лагранжевых координат. Движение такой системы описмвается уравне. пнями Лагранжа второго рода И /дб«г дб — ~ —.) — — = Ю.И, ", Ч.,1), г(1 1,д4) д9; С помощью преобразования Лежандра (теорема 9.2.1) эти уравнения могут быть приведены к форме дН Ч' = др« дН Р;=- — +ф, «'=1,...,п.
д9« Легко видеть, что в данном случае ~ — *=о, " ду« дх; «ж« Ф = ~Х' 7«2 «71 76 = 7«2(Ч г) = -7«У« уи1 тзк что зти уравнения допускают множитель, равный единице.О П р и м е р 9.6.3. Рассмотрим голономную систему, на которую действуют гироскопические силы вида 9.6. Множители Якоби 673 и позиционные силы Ф(91 9ч 1), 1= 1,...,п. Уравнения движения этой системы (теорема 9.2.1) приводятся к виду дН . дН Ь= Р1'= +~ч765(Р Ч)+Ф~ 1=1. др1 дев Тогда Из рааенстаа найдем, что с дз д9! 1, з=К Следовательно, матрицы взаимно обратны, и матрица Ф) симметрична, Поэтому * =о, " д,у; , дау 1=1 Рассмотренная система допускает множитель М = 1.О П р и м е р 9,6А. Уравнения движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки имеют аид (см, з 6.6) Ар+ (С вЂ” В)уг = тд(7'С вЂ” 7нгу), 'у = у'г — 7"д, Вд+ (А — С)рг = тр(7"~ — 7С), 7' = у"р — уг, Сг+ ( — А)рЧ = ту(79 — 7'О, 'у" = 79 — 7'р, Глана 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
