1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Значит, Зтргг + 2(М + гп)ргг — 4дгргрг соз а Н— + тддгз1па. 2т[3(М + т) — 2пг созг а[ Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби 636 Видим, что координата Чг циклическая. Это — проявление возможности поступательного перемещения всей системы по горизонтальному направлению. Импульс рг есть постоянный параметр, вычисляемый по начальным условиям. Система канонических уравнений Гамильтона принимает вид дН 2гг(М+ т)рг — тРг сове) Чг др т[3(М + ~п) — 2гп совг о) Рг — пгу 3!и о дЧг Эта система имеет интеграл энергии Н = Ь.
Окончание решения предо- ставим читателю.О Следствие 9.2.5. В канонических переменных Чг Чь) Ры Рп функционал принципа Гамильтона (теорема В.1ВЛ) принилгает вид функционал принципа Мопертюи-Лагранггса-Якоби (теорема В.1В.В) вырансаепгсл формулой В такой записи наглядна связь этих принципов. При существовании интеграла энергии Н = Ь и фиксированном Ь на сравниваемых траекториях функция Н не варьируется и потому выпадает из функционала,7. Переменные р;, г' = 1,..., и, па концах не закреплены.
3 9.3. Скобка Пуассона Определение 9.3.1. Пусть даны две функции канонических переменных и времени Чг(уы, Чь, Рп, Рп,1), ф(г1г Ча, Рп, Рп, г). Скобкой Пуассона (р, ф) этих функций называется операция (р Ф) =~~ " (др дф др дф~ ,, [,дуг др; др; дЧ;) 9.3. Скобка Пуассона 637 Теорема 9.3.1. Скобка Пуассона обладает следующими свойст- вами. !. Она есть билинейная кососимметричная операция: а) (~р, ф) = -(ф, ~р), б) (с~р,ф) = с(ю,ф), об В, в) Ь+4,Х) = Ь,Х)+(Ф,Х), Х = УИ,",9.,Р,,Р.,!). У.
Частное дифференцирование по времени выполняется над ней по правилу д! ' д! ' д! д. Справедливо тооесдество Якоби «р ф),Х)+ «Ф х) р)+ «х, р) ф) =9. Доказательство. Пункты 1 и 2 служат прямым следствием определения 9.3.1 и легко проверяются непосредственной подстановкой. Обратимся к доказательству тождества Якоби. Скобку Пуассона (у, ф) можно интерпретировать как результат применения линейного оператора е=! к функции ю, так что (ю,ф) =Ь,а =-Ь,ф.
Следовательно, «ф х) р) = -«х Ю'р) = -Ьо(Ьв х) «Х,1о),ф) = Ь,(Ь,!,). Откуда «Ф,Х), р)+ «Х, И,Ф) = (ЬоЬо — ЬоЬе)Х = (Ьв, Ьи)Х, где (Ьо, Ь„,) — коммутатор линейных операторов Ьв и Ьи. Согласно теореме 4.5.2, такой коммутатор сам есть линейный оператор. Значит, сумма второго и третьего слагаемого в тождестве Якоби не содержит вторых частных производных от т. Первое слагаемое левой части тождества таких производных также не содержит.
Аналогичное рассуждение показывает, что в левой части тождества Якоби отсутствуют вторые частные производные от функций ео и ф. Вместе с тем по определению скобки Пуассона каждое слагаемое содержит множителем частные производные второго порядка от какой-либо функции ю, ф или !е. Полученное противоречие показывает, что все члены левой части тождества Якоби взаимно уничтожаются,г~ Глава О.
Метод Гамильтона-Якоби 638 Следствие 9.3.1. Пусть задана функция У=УИ1,",УтР1, ",Рп,~). Производная по времени от у в силу канонических уравнений Га- мильтона дается вмразюсниел1 — = — +(У,Н), 4 Н Й д~ где Н вЂ” функция Гамильтона системы. Доказательство. В случае автономной системы канонических уравнений Гамильтона (дН(д1 = 0) их правые части задают в фазовом пространстве стапионарное векторное поле: в каждой точке (ц, р) фазового пространства приложен 2п-мерный вектор Указанное векторное поле называется гамильтоиовым. Следствие 9.3.2. Скобка Пуассона (1', Н) есть производная от у" по направлению гамильтоиового поля. Оно определяет фазовый поток — одиопараметричсскую группу преобразований фазового пространства д': (ц(О), р(О)) — (ц(1), р(1)), где (ц(Х),р(1)) — решение автоиолаиой системы уравнений Гамильтона.
Следствие 9.3.3. (Теорема Нетер). Если функция Гамильтона Н(ч1 утр1 .. р ) выдерзюивает однопараметрическую группу преобразований, задан- ную каноиическил1и уравнениями вида др; дЕ аз дд1 где Е = Р(в1,..., дп, р1,..., р„), то Е сстпь первый интеграл систе- мы с функцией Гамильтона Н. 9.3. Скобка Пуассона 639 Доказательство. По условию теоремы дН вЂ” = (Н,Г) = О. ав Отсюда (г",Н) = 0.0 Теорема 9.3.2. (Якоби-Пуассона). Пусть функции У(ды . д»~Р1 Р» е)~ д(91 Ч» Р1 Р» й) суть первые интегралы каноничесхих уравнений с функцией Гамильтона Н = Н(ды...,д»,р,,...,р»,г). Тогда скобка Пуассона (у,д) есть первый интеграл этих уравнений.
Доказательство. Выполним дифференцирование — (У,д)= — (У,д)+(У,д),Н)= —,д + У,— ' +((У,д),Н). По так как г и д — первые интегралы, то — +У,Н) =9, — +(д,Н) =9. д1 дд д1 ' д~ Поэтому — (Х, д) = ((Н, У),д) + ((У, д), Н) + ((д, Н), у) ив в 9,п с) дг )' д"' )' — = сг,..., — = с дР ''''' де~ ду — = сы д1 суть первые интегралы той же системы. Доказательство.
Когда Н не зависит явно от времени, канонические уравнения допускают интеграл энергии Н = й. По теореме 9.3.2 Якоби-Пуассона выражение Следствие 9.3.4. Пусть Н не содержит явно 1 и г' = а есть первый интеграл системы канонических уравнений с функцией Гамильтона Н. Тогда Глава 9. Метод Гамильтона-Якббп 649 будет тогда тоже первым интегралом. Но — = — + ~ 1', и) = О. Ф дУ М й ги = эие1 + уиег+ гиез, 1 — — 1,..., Аг. Будем считать, что на эту систему не наложены связи, так что декартовы КООрдИНатЫ Еи, уи, ги, !» = 1,..., М ВСЕХ ТОЧЕК В абСОЛЮтНОМ рЕПЕра Оегегез суть лвгранжевы координаты системы. Силы взаимодействия точек потенциальны.
Кинетическая энергия выражается формулой М , »,г+уг+ г) 2 и-и и=1 Найдем обобщенные импульсы; дТ , дТ , , дТ деи и "' " дуи и "' " дги Составим выражения для количеств движения и кинетических моментов; гг гг !т »т !т Ри=~~~ Ри Рз=~' Рй Р»=Х~~ Ри ~1«=~~' Ки»э~~ 1У«Р« г«рм)) и=1 «=1 и=1 и=1 !т !т К„=Ч ~К„=~ (г„р*„- ири), гг Х К, = ') К„' ='~ (э„рз — у«Р«). иж! Как известно (см. г 5.1), функции р, Рэ, р,, К, Кз, К, служат первыми интегралами для такой системы. Вычислим скобки Пуассона от функций, связанных с одной точкой: дри дрем , '! д41 др; дрг дд1) Значит, д7/дг = с1 = -с. Аналогично получим, что дг,1/д!г = сг также есть первый интеграл, и т.д.С» Теорема 9,3.2 и ее следствие 9.3.4 дают простое правило, позволяющее иэ двух известных первых интегралов получить при помощи алгебраических операций и дифференцирования третий интеграл, четвертый и т.д.
Однако при этом ие все получающиеся интегралы будут независимыми, так как независимых функций от 2п переменных может быть ие более чем 2п. Иногда может получиться функция от исходных первых интегралов, а иногда числовое тождество. П р и м е р 9.3.1. Пусть задана свободная от внешних воздействий система АГ точек с массами гпи и радиусами-векторами 0.4. Метод Гамильтона-Якоби так как др*,Ее; = дрт. Едд; = О, Аналогично 641 (р:,'.) = (р"„'.) = О Далее (Р~, Е~„.) = О, (Рю К ) = -Р„(Рг, Етт) = О, (рг,к„) = р„, (р„,к„*) =р„, (р„,Етз) =-р„, (р„, К„) = О, (К„, К„") = К„, (К„*, К„) = -К„", (К„", К ) = К„ Из-за независимости друг от друга координат и импульсоа всех точек скобки Пуассона исследуемого набора первых интегралов будут суммами скобок Пуассона членов, соответствующих каждой отдельной точке.
Скобки Пуассона, взятые от первых интегралов, дадут соотношения, аналогичные полученным для отдельных точек. Следовательно, с помощью скобок Пуассона, например, по трем первым интегралам р, Кю К, можно восстановить весь исследуемый набор, но других интегралов сверх этого набора получить не удается.О 8 9.4.
Метод Гамильтона-Якоби Обозначим для краткости (Чо, Ео) = (41(1о), ", Ч.(1о), Ее), (Ч,1) = (Я1(1),.",4.(1),1) соответственно начальную и конечную точки движения системы в расширенном координатном пространстве В" +' . Согласно определе- нию 8.12.1, функция действия по Гамильтону есть интеграл о (Ч01101 Ч~ 1)— взятый вдоль зкстремали т, соединяющей точки (Че,1е), (Ч,1).
Дей- ствие д будет однозначной функцией своих аргументов, если зкстре- мали, выходящие из точки (Че, 1е), не пересекаются друг с другом. В дальнейшем зто условие считается выполненным. м — 1503 и (р„,Кз) = ~ в=1 н (р„*, К„') = ~~ с др*„дК„"др„дКе '1 др„' дКт дбд др; др; д4; ) др~ дз„ др*„дК„' др'„дК„' др'„дК„' дд; др; др; дсн,Е др*„да„ Глава 9. Метод Гамильтона-Якббсс 642 Теорема 9.4.1. Дифференциал функции действия выражается формулой / о дИ = Яс дус - и д1 ~ Сю1 СО где аодстановка вычисляется как разность между значениями функции, заклсочеиной в скобки, взятыми в текущий 1 и начальный 1о моменты времени, рс — обобщенные импульсы, Н вЂ” функция Гамильтона, Ид;, с = 1,..., и, Й вЂ” независимые дифференциалы лагранжевык координат и времени. Доказательство.
Для того чтобы найти приращение интеграла действия, когда меняются не только краевые значения координат, но и моменты времени 1о и 1, разобьем дифференциалы дс1о и Ип на два слагаемых следующим образом (рис. 9.4.1): Полная вариация есть разность значений функций, соответствуюс щих различным моментам времени, тогда как изохронная вариация означает изменение функции при фиксированном времени. Знание полной вариации позволяет найти значение изохронной даже тогда, когда моменты времени для сравниваемых точек конфигурационного пространства не совпадают.
Рис. 9.4.1. Полная и изохронная вариации дц = бЧ+ с1 д1, дцо = 4цо + с1о Й1о Величины бЦ и бс1о хаРактеРизУют РазницУ междУ соседними экстРемалями, имеющую место для одного и того же момента времени. По правилам дифференцирования интегралов найдем С, в Сб бб=б/ боб= бо о/ бббб= бббос —.бо дЕ д б Со Со С б=1 Со и о/ с ~ — — — ( —.)~ бб;о. дд, о 9.4. Метод Гамильтона-Якоби 643 Но последний интеграл равен нулю, так как Я вычисляется вдоль зкстремали т. Поэтому дд= Лй+~ ~—,бд; дЬ ~=1 ддв м Учитывая, что бде = е(де — де П1, бд (1о) = ид1(1о) — д;(1о) а1о, ре = —,, дЬ дде получим и дд = ~~ р; дд; + [ Г. — "» р;д,) д»~ .и ~юг еси ы СлЕдствие 9.4.1. Справедливы соотношения дд д5 — = рн — = — Н(ды...,д„, ры, .., р„,1), 1 = 1,..., и. дд; " д» Подставив влеесто импульсов в выражение для Н соответствую- иеие частные производные д5/дде, получим уравнение дЯ / д5 д5 — + Н ~д,,..., д„, —,..., —,1 й 'ч, ''"' "'дд1''''дд„' которому обязана удовлетворять функция действия по Гамильтону и которое называется уравнением Гамильтона-Якоби.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
