1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Э 3.12). Показать, что это уравнение решается методом разделения переменных. 9.13. Получить критерий интегрируемости по методу разделения пе- ременных для уравнений движения материальной точки в полярных координатах. 9.14. Показать, что элемент площади любой двумерной поверхности фазового пространства сохраняется в силу канонических уравнений Гамильтона. 9.15. Выписать уравнение Уиттекера для гармонического осцилля- тора, приняв в качестве независимой переменной координату.
Какие особенности имеет это уравнение? 9.16. Показать, что если — интегральный инвариант системы дифференциальных уравнений, сохраняющей любой объем П фазового пространства, то г' — первый интеграл этой системы. 9.17. Сосуд разделен непроницаемой перегородкой на две части. В одной из них находится газ, движение молекул которого описывается системой уравнений Гамильтона, а в другой — вакуум. Глава 9. Метод Гамильтона-Якоби 702 В некоторый момент времени перегородку убрали, и газ начал заполнять весь объем сосуда. Следует ли из теоремы Пуанкаре о возвращении, что найдется такой момент времени, когда все молекулы газа снова соберутся в той части сосуда, где они первоначально находились? 9.18.
Показать, что система уравнений движения спутника относи- тельно центра масс на круговой орбите допускает множитель Якоби, равный единице. 9.19. Показать, что в задаче исследования движения тяжелого твер- дого тела вокруг неподвижной точки достаточно найти 4 независимых первых интеграла, чтобы определить траектории движения. Перечислить эти интегралы в случаях Эйлера, Лагранжа- Пуассона, Ковалевской. Какие первые интегралы являются общими для всех этих случаев? 9.20. Показать, что система канонических уравнений Гамильтона для сферического маятника (см. э 3.12) допускает первый интеграл, отличный от интеграла энергии.
Каков физический смысл этого интеграла? 9.21. Пусть 0(ды дм 6, о) — функция, существование которой устано- влено в примере 9.6.5. Доказать, что тогда о = Ы+ О есть полный интеграл соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби. 9.22. Какую форму при каноническом преобразовании приобретает интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. 9.23. Показать, что каноническое преобразование будет однородным тогда и только тогда, когда справедливы равенства О п о~; а~; р; — =О, ц,=с~ р; —, 7=1,...,п.
чэ д~ ' 9.24. Показать, что преобразование а 2а с=24+ — р, 0=4+ — р 3 ' 3 будет каноническим валентности с = о. Найти производящую функцию этого преобразования. 9.25. Пусть найдено каноническое преобразование к переменным дей- отвис-угол. Как найти закон движения системы в исходных канонических переменных? Контрольные вопросы к главе 9 703 9.26. Найти переменные действие-угол для системы с функцией Гамильтона рт йдт Н= — — —, 2 2 ' где Й вЂ” постоянная. 9.27. Проинтегрировать систему уравнений примера 9.6.5 с поместью теоремы 9.7.9 Лиувилля об интегралах в инволюции. 9.28. Написать систему уравнений в вариациях для физического маятника в окрестности положения равновесия. Именной указатель Аппель (Арре!1 Р.Е.
1855-1930), 426 Бернулли (Вегпоп!!г 3. 1667-1748), 343 Бине (В!пе! Л.Р.М. 1786 †18), 254 Бобылев Д.К. (1842-1917), 492 Буняковский В.Я. (1804 †18), 53 Бэр К.М. (1792-1876), 144 Вариньон (де г"аг!8поп Р. 1654— 1722), 29 Воронец П.В. (1871 — 1923), 530 Галилей (СаГНе! 6. 1564 — 1642), 154, 157 Гамильтон (Наги!!!оп 'гг'.В. 1805— 1865), 112, 612, 632, 643 Гаусс (Савва С.Р. 1777-1855), 417 Гесс (Неве 9!г. 1858-1937), 493 Грам (С гаги 3.Р. 1850 — 1916), 316, 543 Гюйгенс (Нпуйепе СЪ. 1629— 1695), 52, 459 Даламбер (сРА!егпЪег$ 3.
1717— 1783), 376, 378 Жуковский Н.Е. (1847 — 1921), 498 Имшенецкий В.Г. (1832-1892), 649 Кениг (Коеп!8 3.8. 1712-1757), 397, 428 Кардано (Сатрапе В. 1501-1576), 94, 494 Карно (Сагпо! Ь.Х.М. 1753-1823), 436 Картан (Саван ЕьЬ 1869 — 1951), 660 Кеплер (Кер!ег Л. 1571-1630), 255, 263 Клауэиус (С1апеша Н. 1822-1888), 395 Клейн (К!егп Р. 1849 — 1925), 106 Ковалевская С.В. (1850-1891), 489 Кориолис (СоПо!гя С.С.
1792- 1843), 140, 275, 5П Коши (СапсЪу Ап.Ь. 1789 — 1857), 44 53, 172 Крылов А.Н. (1863 — 1945), 94, 310 Кулон (Соп!огпЪ СЪ.О. 1736— 1806), 16Т Кэли (Сау(еу А. 1821 — 1895), 106 Лагранж (Ьайгапйе 3.Ь. 1736— 1813), 182, 201, 233, 338, 343, 378, 453, 478, 539, 570, 616, 697 Лаплас (Ьар!асе Р Б. 1749 — 1827), 259, 387 Леви-Чивита (Ьег1-С!г!!а Т. 1873— 1941), 410 Лежандр (Ьебепдге А.М. П52— 1833), 627 Лиувилль (! !опт!!!е 3. 1809-1882), 653, 668, 694 Лоренц (Ьогеп$э Н.А. 1853-1928), 552 Ляпунов А.М. (185Т-1918),568 Именной указатель Маиевский Н.В. (1823-1892), 487 Максвелл (Махгге!! З.С. 1831— 1879), 553 Матье (МасЫеи Е.Ь.
1835 — 1890), 248 Мейсснер (Мегяяпег Н.Г. 1882— 1974), 248 Мещерский И.В. (1859 †19), 409 Мопертюи (йе Маирегси!я Р.Ь.М. 1698-1759), 616, 617 Нетер (НоегЬег А.Е. 1882 — 1935), 561, 638 Ньютон (Хеигоп 1. 1643 — 1727), 156, 160, 167, 255, 285, 293 Остроградский М.В. (1801 †18), 395, 615 Паули (Раи)! Ч. 1900 — 1958), 103 Пуанкаре (Ро1псаге Н. 1854 — 1912), 660, 671 Пуансо (Ро!пяо! Ь.
1777 — 1859), 467 Пуассон (Ро!яяоп В.Р. 1781 — 1840), 134, 478, 636, 639 Пфафф (Рга(г Л. 1765 — 1825), 313 Раус (Кои!Ь Е.1. 1831 — 1907), 564, 593 Резаль (Кйа! Н.А. 1828 †18), 191, 387 Ривальс (К!ча!я), 141 Родриг (Ког!г!8ея В.О. П94-1851), 112 Рэлей (Кау!е!8Ь [Всгис$) Л. 1842— 1919), 549, 587 705 Сильвестр (Бу!ггнсег 3.3. 1814— 1897), 574 Стеклов В.А. (1864-1926), 492 Торричелли (ТоглсеН! Е. 1608- 1647), 346 Уиттекер (%Ысса1сег Е.Т. 1873— 1956), 667 Флериз (Г!еиг!а!я С.), 500 Флоке (Г!осЬе К.А.), 240 Фробениус (ГгоЪеп!ия Г.С. 1849— 19П), 320 Фуко (Гоисаи!! З.В.Ь.
1819-1868), 285 Хилл (Н!!! М.З.М. 1856 — 1929), 245 Циолковский К.Э. (1857 — 1935), 410 Чаплыгин С.А. (1869-1942), 531, 533 Штейнер (Бсе(пег 3. 1796-1863), 52 Штеккель (Всасйе! Р. 1862 — 1919), 654 Эйлер (Еи)ег Ь. 1707 — 1783), 88, 91, 97, 121, 136, 407, 414, 465, 466, 600 Эрмит (Неггп!йе СЬ.
1822 — 1901), 103 Юнг (Уоипй Т. 1773 — 1829), 629 Якоби (ЗасоЬ! К.С.З. 1804-1851), 210, 545, 616, 619, 637, 639, 643, 644, 672 45 — 1503 Баллистика, 263 Биения, 235 Бинормаль, 80 Предметный указатель Аксоид — неподвижный, 130 — подвижный, 130 Аномалия — истинная, 256 — эксцентрическая, 262 Апекс, 467 Вариация †полн, 607 Вектор — Лапласа, 259 — перемещения, ТТ вЂ” результирующий, 29, 39 — свободный, 25 -скользящий, 25 — суммарный (главный), 37 — угловой скорости, 121 Векторы — базисные, 325 — нормированные, 16 — ортогональные, 16 — скользящие — — противоположные, 26 Вид канонический, 50 Винт, 39 Вириал Клаузиуса, 395 Воздействие ударное, 289 Волчок — Лагранжа, 478 — быстрозакрученный, 488 — спящий, 487 Вращение твердого тела, 120 Вырожденный узел, 222 Гамильтониан, 609 Герполодия, 468 Гироскоп симметричный, 494 Годограф скорости, 77 Градиент функционала, 603 Группа, 20 — 0(3), 85 -оО(3), 87 -ЯУ(2), 105 — 0(п), 21 — ЯО(п), 21 Движение — абсолютное, 118 — апериодическое, 224 — винтовое, 129 — метрики, 18 -относительное, 118 — переносное, 118 -плоскопараллельное, 131 †поступательн, 113 — пространства, 85 -равномерное, 78 -равноускоренное, Т9 -стационарное, 593 — финитное, 395 — циклическое, 512 Действие -по Гамильтону, 613 — по Мопертюи, 617 Декремент затухания, 220 Диск, 509 Диссипация полная, 549 Диффеоморфизм, 189 Дифференциал -(вариация) функционала, 599 -вращения, 11Т, 384 — оператора, 116 Предметный указатель Длина приведенная, 458 Жесткость системы, 587 Задача -двух тел, 258 — динамики — -обратная, 169 — — прямая, 169 — -смешанная, 169 — изопериметрическая, 603 — краевая, 172 -о попадании, 264 -синтеза, 611 Закон — Ньютона --второй, 160 — — первый, 156 — -третий, 161 — всемирного тяготения, 257 — движения --твердого тела, 81 --точки, 76 -сохранения — -механической энергии, 392 Законы Кеплера, 255 Импульсы обобщенные, 632 Инвариант — интегральный — — Пуанкаре, 660 — — Пуанкаре-Картана, 660 — — абсолютный, 663 — — относительный, 662 Инварианты -системы — — скользящих векторов, 38 Инерция системы, 587 Интеграл — Ковалевской, 490 — Лапласа, 259 — первый, 174 — полный, 644 45 707 -системы связей, 328 †циклическ, 557 -энергии, 391 - -Якоби, 210, 545 Интервал времени, 154 Касательная к траектории, 77 Квазикоординаты, 422 Квазискорости, 422 Квазиускорения, 422 Кватернион сопряженный, 111 Класс эквивалентности, 25 Колебания гармонические, 214 Количество движения, 160, 190, 380 Коммутатор, 327 Композиция — вращений, 88 — линейных операторов, 20 Конфигурация системы, 304 Координаты — векторные, 26 — главные, 575 -декартовы, 21 — криволинейные, 176 — лагранжевы, 350 — плюккеровы, 28 — позиционные, 557 — полярные, 178 — сферические, 178 — циклические, 556 — цилиндрические, 178 Коэффициент — восстановления, 293 — трения — — вязкого, 169 — †мгновенно, 293 — -сухого, 167 Кривая -интегральная, 313 -фазовая, 189 Лагранжиан, 555 708 Предметный указатель Линия — апсид, 262 -силовая, 164 — узлов, 92 -цепная, 370 Максимум изолированный, 570 Масса, 160 — суммарная, 42 — точечная, 42 Матрица — косоэрмитова, 103 -линейного оператора, 17 — монодромии, 238 — ортогональная, 18 -унитарная, 103 — эрмитова, 103 Матрицы Паули, 103 Маятник -Фуко, 285 -математический, 226 — физический, 457 — циклоидальный, 231 Метод — Имшенецкого, 651 — вариации постоянных, 233 — оскулирующих элементов, 697 Метрика -евклидова, 15 Мир, 154 Многочлен — характеристический, 49 Множество — скользящих векторов, — — сходящееся в точке, 29 Множитель Якоби, 672 Момент — гироскопа собственный, 495 — гироскопический, 496 — инерции — -относительно оси, 45 — -относительно плоскости, 61 — — относительно полюса, 61 — — центробежный, 46 — кинетический, 191, 380 — количеств движения, 380 — количества движения, 191 — пары, 31 -силы, 191 — скользящего вектора, 26 — — относительно оси, 29 — суммарный(главный), 37 Моменты инерции — главные, 50 — — центральные, 52 Мощность силы, 195 Мультипликаторы, 239 Натяжение нити, 365 Неравенство — Коши, 44 — Коши-Буняковского, 53 — Юнга, 629 Нить, 364 Норма -кватерниона, 111 — функционала, 599 Нормаль главная, 79 Область -определения — — функционала, 603 Обруч, 509 Окружность — соприкасающаяся, 79 Оператор -линейный, 17 — — ортогональный, 18 -монодромии, 239 Орбита, 259 Оси — Кенига, 397 — естественные, 80 — инерции главные, 50 — — центральные, 52 — координат Предметный указатель 709 — -декартовы, 21 Основание вектора, 26 Осциллятор -гармонический, 211 -с вязким трением, 218 -с сухим трением, 215 Ось -винта, 39 — винтовая, 129 — вращения, 114 — †мгновенн, 133 — — постоянная, 456 — -свободная, 456 -инерции главная, 49 -кинетическая гироскопа, 497 Пара — вращений, 127 — результирующая, 39 — скользящих векторов, 31 Парабола безопасности, 174 Параболоид безопасности, 174 Параметры — Кэли-Клейна, 106 — Родрига-Гамильтона, 112 — Эйлера, 97 Переменные -действие-угол, 689 -канонические, 632 -сопряженные, 609 Перемещение †виртуальн, 199, 335 -действительное, 199 Планиметр, 309 — полярный, 310 — прямолинейный, 310 — топориковый, 310 Плечо — пары, 31 — скользящего вектора, 26 Плоскость — Лапласа, 387 — пары, 31 — соприкасающаяся, 79 Поверхность — интегральная, 313 -линейчатая, 130 -уровня, 163 Поле — векторное, 15 — — гамильтоново, 638 — параллельных сил, 165 — силовое, 164 -скоростей — — винтовое, 128 — — вращательное, 121 — — поступательное, 121 -тяготения центральное, 167 — упругой силы, 167 — электростатическое, 167 Полодия, 468 Положение равновесия, 189, 304 Портрет фазовый, 189 Поток — стационарный, 406 — фазовый, 189 Правило рычага — второго рода, 41 — первого рода, 41 Преобразование — Лежандра, 627 — каноническое, 680 — — однородное, 682 — -свободное, 684 — — унивалентное, 680 — обобщенное точечное, 682 Прецессия — псевдорегулярная, 488 — регулярная, 472 Принуждение по Гауссу, 418 Принцип — Гамильтона, 612 — Гаусса, 418 — Даламбера, 376 -Даламбера-Лагранжа, 378 — Мопертюй-Лагранжа-Якоби, 616 710 -Остроградского, 615 -Якоби, 619 — виртуальных перемещений, 343 — детерминированности, 160 — освобождения от связей, 197 -относительности, 157 Приход массы, 407 Произведение — векторное, 23 — векторное двойное, 23 -скалярное, 15 — смешанное, 23 Производная -в силу уравнений, 174 †векто — — относительная, 24 — внешняя, 320 — по квазикоординате, 424 Пространство — аффинное, 14 — галилеево, 154 — евклидово, 15 — конфигурационное, 333 — нормальное, 334 — фазовое, 188, 632 Псевдовектор, 124 Псевдоскаляр, 124 Работа силы -на пути, 162 -элементарная, 162 Равновесие системы, 304 Радиус инерции, 457 Радиус кривизны, 79 Расстояние, 154 Расход массы, 407 Реакция связи, 197 Резонанс †параметрическ, 243 — частотный, 235 Репер -декартов, 21 — локальный, 180 Предметный указатель Ресурс энергетический, 392 Связи, 197 — голономные, 306 — идеальные, 338 — — при ударе, 432 — неголономные, 306 Связь — геометрическая, 204 -дифференциальная, 198, 306 — — линейная, 202, 306 — идеальная, 199 --при ударе, 292 — неудерживающая, 291, 305 - склерономная, 307 -стационарная, 306 — удерживающая, 306 Седло, 225 Сепаратриса, 230 Сила, 160 — активная, 198 - веса, 281 — диссипативная, 214 †дополнительн, 405 — инерции, 275 — — Даламбера, 376 — кориолисова, 275 -обобщенная, 181, 351, 425 — обобщенно потенциальная, 550 — отталкивающая, 224 -пассивная, 199 — переносная, 275 -потенциальная, 163 — реактивная, 410 -средняя, 291 - удельная, 364 Силы — внешние, 381 -внутренние, 381 †гироскопическ, 531 -диссипативные, 548 Система — Чаплыгина, 531 Предметный указатель 711 — вполне интегрируемая, 314 — координат — — галилеева, 156 — -правоориентированная, 22 -линейная, 594 — — позиционная, 572 — материальных точек, 304 — механическая, 157 — — изолированная, 157 — определенно диссипативная, 549 — отсчета, 156 — — инерциальная, 156 — скользяших векторов, 29 — — параллельных, 40 -сопряженная, 609 -статически неопределимая, 357 — уравнений — — Гамильтона, 632 — — Лагранжа второго рода, 453 — — Пуассона, 134 — — Пфаффа, 313 --Рауса, 566 — — Эйлера, 600 — — в вариациях, 698 Системы -сил эквивалентные, 354 — эквивалентные, 30 Скобка Пуассона, 636 Скорость — абсолютная, 118 — движения — — поступательного, 120 -космическая — — вторая, 261 — — первая, 261 †относительн, 118 — отражения, 292 — падения, 292 — переменной части, 409 — — относительная, 410 -переносная, 118 -секторная, 192 -средняя, 77 -точки, 77 -угловая, 120 -циклическая, 556 Случай — Бобылева-Стеклова, 492 — Гесса, 493 Событие, 154 Состояние -механической системы, 159 Статика геометрическая, 353 Структура галилеева, 154 Тело твердое, 81 Тензор †инерц, 45 — — центральный, 51 — метрический, 16 Теорема — Гюйгенса-Штейнера, 52 — Кориолиса, 140 — Лагранжа, 570 — Ляпунова, 568 — Ривальса, 141 — Штеккеля, 654 Точка — кинетическая сопряженная, 614 -материальная, 156 -мировая, 154 — подвеса, 458 Траектория -абсолютная, 118 -относительная, 118 -точки, 76 Трение — вязкое, 168 — скольжения, 167 Углы — Брайнта, 94 — Крылова, 94 — Эйлера, 91 -кардановы, 94 -корабельные, 94 712 Предметный указатель — самолетные, 94 Угол -нутации, 91 — отражения, 292 -падения, 292 -прецессии, 91 -собственного вращения, 91 -трения, 168 Удар, 290 — абсолютно неупругий, 292 — абсолютно упругий, 293 — упругий, 292 Узел, 224 Умножение -тензорное, 57 Уравнение — Гамильтона-Якоби, 643 — Кеплера, 263 — Лагранжа — -с множителем, 201 — Матье, 248 — Мещерского, 409 — Хилла, 245 — движения маятника — — математического, 226 — — физического, 458 -равновесия нити, 365 -характеристическое, 49 — частот, 574 Уравнения — Воронца, 530 — Лагранжа — — второго рода, 182, 540 — - первого рода, 380 — Уиттекера, 667 — Чаплыгина, 532 -Эйлера --динамические, 465 — — кинематические, 136 — движения — — в координатах, 170, 180 — кинематические, 426 Ускорение, 78 -действительное, 418 — допустимое, 417 Условие Маиевского, 487 Условия краевые, 365 Усреднение, 394 Устойчивость по Ляпунову, 568 Фокус, 220 Формализм Лагранжа, 540 Формула — Циолковского, 410 -Эйлера, 121, 407 Формулы Бине, 254 Формы базисные, 325 Функции в инволюции, 692 Функционал, 598 — дифференцируемый, 599 Функция — Гамильтона, 632 — Лагранжа, 555 — Ляпунова, 569 — Рауса, 565 — Рзлея диссипативная, 549 †действ - -по Гамильтону, 649 -знакоопределенная, 568 -знакопостоянная, 567 — обобщенная, 291 -пертурбационная, 696 — производящая, 683 -силовая, 163 — — обобщенная, 550 — сингулярная, 290 Центр, 213 — вращения, 133 — качания, 458 — масс, 42 — системы, 40 -скоростей, 133 — удара, 463 — ускорений, 145 Центроида Литература Айзермаи М.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
