1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Внутреннее кольцо может вращаться вокруг (г) оси е~ относительно внешнего. Внешнее кольцо может вращаться вокруг оси ез неподвижной подставки. Ось е, перпендикулярна как <г) к ез, так и к ез. Все три оси пересекаются в одной точке О, которая и будет здесь неподвижной точкой. Карданов подвес образован двумя круговыми кольцами. Внешнее кольцо вращается вокруг оси, закрепленной в некоторой системе отсчета. Внутреннее кольцо вращается вокруг перпендикулярной оси, закрепленной во внешнем кольце.
Само тело вращается вокруг оси ез, закрепленной во внутреннем кольце. Тело имеет неподвижную точку О, лежащую в пересечении указанных осей. Рис. 6.11.1. Карданов подвес 495 бА Е Симметричный гироскоп Из-за симметрии эллипсоида инерции гироскопа любая ось, проходящая через О и перпендикулярная к е~з, будет главной осью инерции, и моменты инерции гироскопа относительно таких осей будут одинаковыми. Обозначим эти моменты инерции А. Момент инерции относительно оси фигуры обозначим С. Разложим угловую скорость ы гироскопа по направлению оси фигуры и по направлению, к ней перпендикулярному. Вторую составляющую обозначим ьь, а составляющую вдоль оси фигуры обозначим г. Составляющую ы, можно интерпретировать как угловую скорость оси фигуры, а г — как скорость собственного вращения вокруг этой оси.
Кинетический момент К гироскопа представим суммой К=К,+С где К, = Аы,. Величина Н = Сг называется собственн м моментом гироскопа. Ей соответствует вектор Н = Сгез собственного момента. Пусть е1, е~ — единичные направления каких-нибудь осей, перпендикулярных друг к другу и к оси ез, образующих с еэ правый репер и вращающихся так, что проекция угловой скорости репера Ое',етез на плоскость, перпендикулярную еэ, равна ы,. Имеем ы, = р е1 + е еш К, = Ар е1 + Ад его Очевидно, что проекции угловой скорости репера Ое1е~эе~э на направления е',, еэ также должны быть равны р и д соответственно и лишь проекция г' угловой скорости репера на ось ез фигуры, вообще говоря, не равна г, так как векторы е1, е~т могут иметь вращение, независимое от гироскопа.
Угловую скорость репера Ое',е~эе~з обозначим ! Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента: К+ и' х К = М. В проекциях на оси репера Ое',ете' получим динамические уравнения А1 — — дг ~+Нд=Мы /б ~а / с~у А — +рг'! — Нр= Мт, ~н бН вЂ” = Мз. пг Вектор, равный и противоположный скорости конца К, есть момент того сопротивления, которое оказывает гироскоп внешним те- Глава 6.
Динамика твердого тела 496 лам, передающим момент М. По смыслу этот вектор представляет собой главный момент сил инерции гироскопа. Из динамических уравнений видно, что инерционный момент образован следующими составляющими. 1. Моменты — А ~ — — дг ) еы — А ~ — + рг ) ез, 111 ) ' 1а не зависящие от угловой скорости г собственного вращения гироскопа, а потому сохраняющие свою величину, если остановить собственное вращение и превратить гироскоп в маятник. При этом ось фигуры должна занимать то же положение, что и ось вращающегося вокруг него гироскопа. Эти моменты обусловлены угловой скоростью ы'.
2. Обращенная скорость — ы' х Н = Н х щ = — Н4е', + Нре' конца вектора Н. Она возникает от вращения с угловой скоростью ы'. Так как Н направлен вдоль оси фигуры, то Г = (Н х ьг') = Н х ы. Этот момент представляет собой инерционное сопротивление, развиваемое вращающимся гироскопом при изменении направления его оси. Момент Г называется гироскопическим моментом. Как видно из формулы, гироскопический момент перпендикулярен к плоскости, содержащей векторы Н и ы, и направлен так, что он как бы стремится привести вектор Н в совпадение с ы. 3. Составляющая откладываемая вдоль направления еэ, представляет собой инерционное сопротивление изменению скорости собственного вращения. П р и м е р 6.11.1, Рассмотрим действие гироскопического момента на винтовой самолет.
Пусть винт самолета вращается по часовой стрелке, если смотреть из кабины пилота. Тогда вектор собственного момента Н напраален по продольной оси самолета вперед. При повороте налево (левый вираж) самолету сообщается угловая скорость ы, направленная вверх. Гироскопический момент будет стремиться совместить вектор Н с вектором ы так, чтобы нос самолета поднимался вверх. Аналогично при правом вираже у самолета возникает тенденция опустить нос. Наоборот, когда специально поднимают нос самолета, то самолет стремится повернуть направо, а при опускании носа — налево. Способ борьбы с 497 6.11. Симметричный гироскоп этими явлениями состоит в уравновешивании гироскопического момента посредством управления.О Пусть к гироскопу не приложено никаких внешних моментов. Тогда имеет место случай Эйлера движения твердого тела при А = В ф С. Кинетический момент К будет постоянным как по величине, так и по направлению.
В соответствии с теоремой 6.7.4 гироскоп осуществляет регулярную прецессию вокруг вектора кинетического момента. Ось фигуры вращается вокруг него с постоянной угловой скоростью прецессии иг„= К/А и образует с ним постоянный угол д. Постоянным будет также собственный момент Н = К сов д. Гироскоп вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси фигуры, которая сама совершает равномерное вращение по круговому конусу вокруг постоянного направления К.
При этом чем больше угловая скорость г собственного вращения, тем меньше д. Изучим поведение оси фигуры при действии на гироскоп отличного от нуля внешнего момента. Определение 6.11.2. Кинетической осью гироскопа называется линия, направленная вдоль вектора К кинетического момента. Теорема 6.11.1. Пусть д — угол отклонения оси фигуры от кинетической оси гиросхопа, шп = К(А — угловая скорость прецессии, которую имел бы гироскоп, если его освободить от внешнего момента. Тогда ы„С 1пп д = О, 1пп — = —. 1г! А' Доказательство. Угол д между кинетической осью и осью фигуры определяется формулой Аыэ экд = —.
Сг ' Кроме того, „= — = — гтг,т(с ) = — ~ ( 1.',фе д. К 1 С А А ' А Когда г оо, например, за счет начальной закрутки или воздействия вращающего момента вокруг оси ез, и при этом остальные компоненты угловой скорости остаются ограниченными, то имеем Фк д -+ О, откуда и следует утверждение теоремы.П Глава 6. Динамика твердого тела 498 Следствие 6.11.1. При больших значениях ~г~ амплитуда колебаний оси фигуры около хинетичесхой оси будет малой, а угловая скорость прецессии оси фигуры достигает значительной величины порадка )г(. Следствие 6.11.2.
В общем случае, когда внешний момент М отличен от нуля, кинетическая ось не остается постоянной, а движетсл в соответствии с теоремой об изменении кинетического момента. Вместе с тем всегда существуетп столь большое значение угловой скорости г собственного вращения, что угол между осью гироскопа и кинетической осью будет сколь угодно малым.
Следствие 6.11.3. Когда собственное вращение г велико ио сравнению с ы, колебаниа оси фигуры составляют лишь мелкое дрожание, не имеющее существенного значения длл прахтихи. От колебаний, указанных в следствии 6.11.3, в прикладной теории гироскопов часто отвлекаются и в качестве основной задачи занимаются изучением движения кинетической оси, рассматривая его как главную составляющую часть движения самой фигуры гироскопа.
Следствие 6.11.4. (Закон препессии в прикладной теории. Правило 'Жукбвского). Внешний момент М, приложенный к гироскопу, заставляет кинетическую ось поворачиватьсл с мгновенной угловой скоростью М в1п(К, М) К вокруг оси, перпендикулярной к плоскости векторов К и М. Это вращение имеетп тенденцию совместить вектор К с вектором М. Доказательство. Обозначим М„проекцию момента М на плоскость, перпендикулярную к вектору К. Составляющая М„не сказывается на изменении абсолютной величины )К~ и вызывает лишь поворот вектора К.
Найдем угловую скорость йе этого поворота. Здесь е — единичный вектор ее направления, перпендикулярный к вектору К. Искомая угловая скорость удовлетворяет уравнению ()ехК =М„. Отсюда К х (()е х К) = К х М„= К х М или ПКзе — йК(е ° К) = К х М. 6.11. Симметричный гироскоп По смыслу должно быть е 1.
К. Поэтому 499 К х М е=, .П Ка Так как угловая скорость П обратно пропорциональна абсолютной величине кинетического момента Вследствие быстрой закрутки волчка Лагранжа вокруг оси его симметрии, отклоненной от вертикали, любая точка втой оси описывает кривую, близкую к горизонтальной окружности. Если точку оси отметить, то плоскость горизонтальной окружности станет наблюдаемой и сможет служить опорой при проведении измерений.
О Рис. 6.11.2. Принцип действия гирогоризонта гРНз1пд = Р!з1пд. Отсюда 4' = РЦН, то движение оси быстро вращающегося гироскопа при прочих равных условиях происходит тем медленнее, чем больше его собственный момент. Этим объясняется факт чрезвычайно малой податливости (большой жесткости) оси фигуры такого гироскопа по отношению к приложенным к нему возмущающим силам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
