1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Напомним (см. 3 1.8), что У13 — — — г1гздт, М1гл 11дт. Следовательно, должно быть 113+ гц!М = — г,!гз — гц) дт = О, так как ц1 ф О. Отсюда ясно, что (113 + гц1М) есть компонента г13 тензора инерции относительно точки, лежащей на оси вращения и смещенной от точки А на расстояние г, и эта компонента должна быть равна нулю. Кроме того, имеем угу — — а~23 — — О.П Глава 6.
Динамика твердого тела 464 3 6.6. Движение твердого тела около неподвижной точки Пусть в абсолютном пространстве закреплена только одна точка твердого тела. Обозначим ее О. С твердым телом жестко свяжем правый репер Ое',етез. Пусть г, — радиус-вектор центра масс, ы— угловая скорость тела, К вЂ” кинетический момент, М вЂ” суммарный момент внешних активных сил, приложенных к телу, взятые относительно точки О и разложенные по базису е1, е2, е!з.
ы = ь!1е! + ь!2е2 + ь!зез ! ! ! К = К!е', + Кгет+ Кзез М = М1е', + Мгвт+ Мзез. Оператор инерции, связывающий векторы К и ы, представляется в репере Ое',езез постоянной матрицей 1 = (1Н), з, !' = 1,2,3. Чтобы воспользоваться уравнениями движения, выведенными в 2 6.2, освободим твердое тело от связи в точке О, введя реакцию В, приложенную к этой точке.
Уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения (см. "2 6.2), имеет вид пг, тп — ' = Р+ В., !11 где пэ — масса тела, Р— суммарная активная сила. Так как скорость и ускорение точки О равны нулю, то по теореме 2.16,3 Ривальса ускорение центра масс определено формулой Нт, — = ы х г, + ы х (ы х г,). !2'1 Поэтому реакция, заставляющая точку О оставаться неподвижной, дается равенством В, = п2[ы х г, + ы х (ы х г,)) — Р. Пусть 11г) = Π— уравнение эллипсоида инерции твердого тела относительно точки О (см.
2 1.8): з Дг) = Т(г, г) — 1 = ~,)! г;г — 1 = О. !д=| 6.6. Движение твердого тела около неподвижной точки 465 Теорема 6.6.1. Вектор К кинетического момента перпендикулярен к плоскости, хасаюи1ейсл зллипсоида инерции в точке О пересечения зллипсоида с лучом, вмходли1им из неподвижной точки О параллельно вектору угловой скорости ш, Доказательство. Пусть г — радиус-вектор точки 0: г = юи>. Нормаль к эллипсоиду параллельна градиенту от функции 1(г); — = — [г. Л(г)] = 2юЛ(ы) = 2зеК. ВУ д дг дг Обратимся теперь к уравнению кинетического момента (теорема 5.1.5, ~ 6.2): ЙК вЂ” +сохК=М.
сй Предполоисим, что базисные векторы е(, е!, е' суть собственные векторы тензора инерции (з 1.9). Координатные оси, связанные с телом, тогда будут главными, а кинетическая энергия тела запишется в виде (з 6.2) Т = -(Арз + Вуз + Сгз), 1 2 где А, В, С вЂ” главные моменты инерции относительно соответству- ющих координатных осей, р, а, > — проекции угловой скорости и> на главные направления. Для расчета компонент вектора кинетическо- го момента имеем формулу К = ВТ(дь> или дТ К> —— — — — Ар, др дТ .
дТ Кз = — = Ва, Кз — — — = Сг. да ' дг Подставив эти значения в уравнение изменения кинетического момента, найдем Ыр А — + (С вЂ” В)аг = Мы с(1  — +(А — С)рг = Мг Иа 61 йг С вЂ” + ( — А)ра = Мз й дк, — +мгКз — ызКг = Мы сЫ зо — ~ ии Эти уравнения называются динамическими уравнениами Эйлера. Замечание 6.6.1. Если оси репера Ое',е~~ез не будут главными осями инерции, то динамические уравнения станут существенно более сложными: Глава 6.
Динамика твердого тела 466 11Кг — +ызК1 — ыгКз = Мг Й Утз + ь11К2 м2К1 Мз. 111 где компоненты з К;=~~ убыг, 1=1,2,3, получаются посредством частного дифференцирования по ыг, ыг, ы1 выражения для кинетической энергии. Замечание 6.6.2. Репер Оегегез, вообще говоря, не обязательно жестко связывать с твердым телом. Но тогда моменты инерции уже могут не быть постоянными, хотя вид уравнений движения, приведенных в замечании 6.6.1, не изменится. Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует дополнить кинематическими соотношениями (г 6.2).
В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. О 6.7. Случай Эйлера Пусть абсолютно твердое тело закреплено в неподвижной точке О, а момент внешних сил отсутствует; М = О.
Тогда динамические уравнения Эйлера принимают вид А — + (С вЂ” В)йг = О, пр Й В вЂ” + (А — С)рг = О, 14 Й Йг С вЂ” + ( — А)рд = О. й Для этих уравнений справедлив интеграл энергии (см. теорему 5.1.8): Ар + Вд~+ С12 = Ь. 6.7. Случай Эйлера 467 Кроме того, имеет место интеграл кинетического момента (см. следствие 5.1.4): К = соней, означающий, что вектор кинетического момента не изменяется в абсолютном пространстве. В частности, остается постоянным его модулгн 42рг + Вг 2 + Сггг 2 Лемма 6.7.1.
В случае Эйлера постоянна проекция угловой скорости ео на неподвижное направление К кинетического момента. Доказательство. Найдем скалярное произведение щ . К/о = (р Ар+ д Вй+ г Сг)/о = й/о.П Следуя Пуансо, изучим движение эллипсоида инерции Э тела относительно неподвижной точки О.
Дело в том, что этот эллипсоид жестко связан с самим телом. Положение эллипсоида инерции в пространстве однозначно определяет положение твердого тела. Назовем апексом точку, в которой луч, выходящий из неподвижной точки О коллинеарно вектору щ, пересекает эллипсоид инерции. Пусть г — радиус-вектор апекса. Теорема 6.7.1.
Расстояние от неподвижной точки О до плоскости, касательной к эллипсоиду инерции в апексе, не меняется при двилсении твердого тела. Доказательство. По теореме 6.6.1 вектор кинетического момента задает нормаль к эллипсоиду инерции, взятую в апексе. Расстояние от точки О до касательной плоскости есть б=г К/о. Но согласно определению эллипсоида инерции (см. ~ 1.8) г =1/7, где 7 — момент инерции тела относительно мгновенной оси враще- ния. Поэтому !.! /7.' По лемме 6.7.1 будем иметь (см. теорему 6.1.3) б = ит К (!ео!!К!Я,) 1 = 2™ —.П гв Глава 6. Динамика твердого тела 468 Следствие 6.7.1.
(Геометрическая интерпретапия Пуансо). Плоскость Р, касательная к зллипсоиду инерции в апексе, неподвиэюна в абсолютном пространстве. Двиэесеиие твердого тела в случае Эйлера молоко представитпь качением эллипсоида инерции по неподвилсной плоскости Р без проскальзывания. Доказательство. Плоскость Р имеет фиксированное расстояние до неподвижной точки О, а ее ориентация, определяемая вектором кинетического момента, остается постоянной во все время движения.
Точка касания принадлежит оси угловой скорости, и, значит, скорость точки эллипсоида, совпадающей с апексом, равна нулю.П Определение 6.7.1. Поладил — это кривая, описываемая апексом на поверхности эллипсоида инерции. Герполодия — это кривая, вычерчиваемая апексом на неподвижной плоскости Р, касающейся эллипсоида инерции в каждый момент времени. Подвижный аксонд (см.
г 2.13) имеет всршнпу в точке О н в качестве основания — полодию. Неподвижный аксоид имеет вершину в точке О и в качестве основания — герполодию. Радиус-вектор г = тгег + тгег + тзез точки на полодии должен удовлетворять как уравнению эллипсоида инерции Атг+ Втгг+ Стэг = 1, так и уравнению, получаемому нз условии сохранения модуля кине- тического момента: „г Агрг+ Вгйг+ Сгт' = — (Агтг+ В'тг+Сгтг) „г гг Откуда еег (Агтг + Вг тг + Сг т') = — = О. з Из этого уравнения и уравнения эллипсонда инерции следует урав- нение подвижного аксоида; А(А — Ю) тг + В( — О)тг г+ С(С вЂ” Р) тзг = О.
В дальнейшем будем считать, что А>В>С. Тогда для того чтобы этот конус был вещественным (движение было реализуемым), необходимо и достаточно выполнение неравенства 6.7. Случай Эйлера 469 Оно — очевидное условие того, что расстояние б = О ~7т от касательной плоскости Р до точки О будет меньше, чем наибольшая полуось С ~~э, и больше, чем наименьшая полуось А ~~э. Аксоид вырождается в прямую, параллельную вектору е', или е', когда О = А или .0 = С. В этих случаях полодия будет состоять из двух точек пересечения большой или соответственно двух точек пересечения малой оси с эллипсоидом инерции. При О = В аксоид превращается в две вещественные плоскости, проходящие через среднюю осгп С( — С) А(А — В) Полодия в этом случае состоит из двух эллипсов, пересекающихся по средней оси эллипсоида инерции и симметричных относительно координатных плоскостей.
Вблизи точек пересечения большой и малой осей инерции с эллипсоидом картина полодий напоминает окрестность особой точки типа "центр" (рис. 3.9.1). В малой окрестности средней оси е' имеем картину полодий,характерную для седловой точки (рис. 3.9.8). Рис. 6.7.1. Схема полодий на эллипсоиде инерции В общем случае полодия служит пересечением эллипсоица инерции и конуса второго порядка, имеющего те же плоскости симметрии, что и эллипсоид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
