1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Тогда разность между кинетической энергией системы до удара и после него выражается равенством 1 — т ~-~ т„(Ь»„) 1+т ~-', 2 Следствие 5.7.5. Пусть на систему внезапно накладываются дополнительные связи тпак, что вновь полученная совокупность связей оказывается удерживающей, идеальной и в момент удара включает действительное перемещение в множество виртуальных. То- Напомним (см. З 3.15), что коэффициент восстановления удовлетворяет неравенству 0 < ге < 1. Поэтому при ударе, возникающем вследствие наложения на систему новых связей, кинетическая энергия не может возрастать. Когда удар абсолютно упругий: т = 1, кинетическая энергия сохраняется.
Глава 5. Динамика системы материальных точек 438 гда потеря кинетической энергии системы иэ-эа удара равна кине- тической энергии потеряннык екороетейг Ю т„(Ьт„) 2 2 е=1 г о 6, М+ гп где гп — масса пули, М вЂ” масса контейнера с песком, о — скорость пули до удара. Все скорости (см. рис. 5.1.2) ориентированы горизон- тально. Потерянные скорости контейнера Ьо„и пули Ьои выражаются формулами т М Ьоп— ю — о =— о. М+гп М+гп т део„= о, М+т Применим следствие 5.7.5: Т вЂ” Т' = -(М(Ьо„)г+ т(ао„)г) =— 2 М+т' С другой стороны, непосредственный подсчет значений кинетической энергии до и после удара показывает (см.
пример 5.1.4) ,г 1 гг 2 2 М+го 2 М+т Совпадение результатов свидетельствует, что даже в такой достаточ- но сложной динамической системе, как баллистический маятник, связи можно считать идеальными при ударе.О Контрольные вопросы к главе 5 5.1. Указать различие между даламберовыми силами инерции и силами инерции, возникающими из-за движения системы отсчета. Доказательство. Если связи после удара удерживающие, то тогда составляющая а„скорости после удара, перпендикулярная множеству С' допустимых скоростей, должна быть равна нулю. Значит, для всех точек системы следует принять т = О (удар абсолютно не- упругий). Теперь доказываемое утверждение есть прямое следствие теоремы 5.7.4 при отсутствии активных ударов.О П р и м е р 5.7.2. При попадании пули в Баллистический маятник (см.
пример 5.1.4) возникает удар из-за внезапного наложения удерживающих связей. В результате пуля остается в маятнике, и ее скорость вместе с маятником составляет 439 Контрольные вопросы к главе 5 5.2. Решить пример 5.0.1 с помощью принципа Даламбера-Лагранжа. 5.3. Составить для системы примера 5.0.1 уравнения Ланранжа 1-го рода. Как из них получить уравнение, найденное в решении примера 5.0.1? 5.4. Доказать, что для внутренних сил выполнены равенства и=! 5.5.
На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит треугольная призма массы М и высоты 5. С верхней точки призмы по прямой длины ! без скольжения по призме скатывается круговой обруч массы т и радиуса К. На сколько сместится призма, когда обруч достигнет горизонтальной плоскости? 5.6. Что можно сказать о движении центра масс системы в задаче двух тел (см. 3 3.11)? Тот же вопрос для задачи и тел. 5.7. Граната была брошена под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Во время полета она взорвалась.
Как будет двигаться после этого центр масс образовавшейся системы материальных точек? 5.8. Что можно сказать о кинетическом моменте системы в задаче двух тел? Тот же вопрос для задачи п тел. Какие геометрические особенности движения следуют из свойств кинетического момента в этих задачах? 5.9. Человек сидит на табуретке, способной вращаться без трения вокруг вертикали, и держит в руках велосипедное колесо. В начальный момент времени система покоится. Затем человек раскручивает колесо и держит его так, что плоскость вращающегося колеса горизонтальна. Как будет двигаться система в целом и отдельные ее составляющие, включая человека и табуретку? 5.10.
Подсчитать работу внутренних сил при подъеме человека по лестнице в условиях примера 5.1.6. 5.11. Какие силы (активные, пассивные, внутренние, внешние) способны изменить а) количество движения, Глава 5. Динамика системы материальных точек 440 Ь) кинетический момент, с) кинетическую энергию механической системы? 5.12. Какие силы должны иметь силовую функцию, чтобы мог суще. ствовать интеграл энергии? 5.13. Доказать, что для однородной функции степени ю 71Лг!,..., Ага!) = А'71г!,..., гэ!) справедлива формула — г„= ау'. ду дг„ 5.14. Найти вириал Клаузиуса для газа, заключенного в сферический сосуд. Молекулы газа взаимодействуют друг с другом по закону всемирного тяготения и испытывают абсолютно упругие удары при столкновении со стенками сосуда.
5.15. Обруч радиуса Я скатывается без начальной скорости с наклонной плоскости. Центр обруча в начальный момент времени имеет высоту Н над горизонтальной плоскостью. Какую скорость приобретет центр обруча при достижении обручем горизонтальной плоскости? 5.16. В примере 5.2.2 исследовать возможность создания равновесия в наклонном положении стержня ниже точки опоры.
Будет ли тогда искусственное равновесие устойчивым? 5.17. Доказать, что если действительное перемещение относительно осей Кенига принадлежит множеству виртуальных, то справедливо равенство э! И Т ~ ~ Р Ы г ил! где Т' — кинетическая энергия относительно осей Кенига, а !1г'„= г'„!11 — действительные перемещения точек относительно осей Кенига. 5.18.
Пусть подвижная точка А теоремы 5.2.4 совпадает с центром масс системы. Показать, что тогда Кл = К", так что теорема 5.2.4 по смыслу совпадает со следствием 5.2.2. 441 Контрольные вопросы к главе 5 5.19. Пусть труба имеет по всей длине круговое поперечное сечение площади Я, а осевая линия трубы образует произвольную плоскую кривую без самопересечений. Входное и выходное отверстия параллельны. Скорости входящего и выходящего потоков плотности р перпендикулярны сечению трубы и по величине равны ю.
Течение стационарное. Найти дополнительную силу, действующую на трубу со стороны потока. Указать все решения задачи. 5.20. Относительная скорость струи газов двигателя ракеты есть постоянный вектор иш Запас топлива составляет 10% первоначальной массы ракеты. Начальная скорость центра масс ракеты ча. Внешние силы отсутствуют. Как следует направить па, чтобы получить максимальный угол поворота вектора скорости центра масс при выгорании топлива? 5.21.
По наклонной плоскости призмы, находящейся на гладкой горизонтальной опорной плоскости, соскальзывают без трения и материальных точек массы гп каждая через равные интервалы времени Ы из состояния относительного покоя. Первоначально все точки находились на призме на высоте 6 над опорой и вся система имела массу М. Найти скорость призмы в тот момент, когда последняя материальная точка покинет призму. 5.22. Для системы примера 5.3.2 вывести уравнение изменения кинетической энергии из уравнения изменения количества движения. С помощью теоремы 5.3.5 объяснить происхождение слагаемых, отличных от мощности силы тяжести. 5.23. Пусть материальная точка массы п~ вынуждена двигаться по абсолютно гладкой плоскости.
С помощью принципа Гаусса найти ускорение точки под действием силы Р не параллельной плоскости. Дать геометрическую интерпретацию решения. 5.24. Получить все соотношения, связанные с процедурой введения квазикоординат, для случая линейных дифференциальных связей. 5.25. Составить полную систему уравнений движения, включающую уравнения Аппеля и кинематические уравнения, для материальной точки, движущейся под действием активной силы я' и дифференциальной связи гз+ гт+тя = эз з— где э — постоянная величина, гы гж гз — декартовы коорди- наты точки.
442 Глава 5. Динамика системы материальных точек 5.26. Получить закон движения системы примера 5.6.2 для случая, когда начальное значение угловой скорости стержня равно нулю. 5.27. Указать, какое множество виртуальных перемещений следует учитывать в основном уравнении теории удара: а) множество виртуальных перемещений до удара, Ъ) множество виртуальных перемещений после удара, с) множество виртуальных перемещений во время удара. 5.28.
В примере 5.7.1 убедиться в сохранении кинетического момента системы до и после удара. 5.29. В примере 5.7.1 подсчитать разность кинетических энергий системы до и после удара. Сопоставить результат со следствием 5.7.4. Глава 6 Динамика твердого тела Абсолютно твердое тело представляет собой множество точек, расстояния между которыми не изменяются. В силу специфики связей движение такой системы полностью описывается теоремами об изменении количества движения, кинетического момента и кинетической энергии. Поэтому свойства движения, выделяемые этими теоремами, проявляются в динамике твердого тела особенно выпукло. Потребность в изучении свойств движений твердых тел зародилась в глубокой древности.
Практически любая техническая конструкция включает элементы, которые в нормальных условиях их работы близки по своим свойствам к абсолютно твердому телу. Задачи баллистики пушечных ядер, снарядов, ракет, спутников планет па определенных этапах исследования могут рассматриваться как задачи о движении абсолютно твердого тела. Такие же задачи возникают при создании высокоточных измерительных приборов, механизмов и машин. Из сказанного ясно, что теория движения абсолютно твердого тела весьма обширна и имеет многочисленные практические приложения. Здесь мы ограничимся лишь основами этой теории, включающими общую математическую постановку проблемы и традиционные методы решения типичных задач. й 6.1. Динамические характеристики твердого тела Пусть Оеьетез — абсолютный репер, Аеье~е~ — репер, имеющий начало в произвольной точке А абсолютно твердого тела и жестко с ним связанный, Аеьегез — репер, имеющий начало в точке А и сохраняющий ориентацию абсолютных базисных векторов.
Аксиома 6.1.1. Количество двиэюения, кинетический льомент и кинеиьическая энергия твердого тела могут быньь ььолученм интегрььроваььиель но обеему твердого тела в предположении, что каэьсдмй элельент обвельа движется как льатериалъная точка. Эвристическое основание для принятия такой аксиомы образуют следующие положения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
