1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 70

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 70)

Обозначим В в — главный вектор сил, обусловленных действием ограничивающей объем 1/ оболочки на материальные точки, находящиеся внутри объема и непосредственно примыкающие к этой оболочке, в тех случаях, когда оболочка не будет абсолютно проницаемой. Примем, что другие силы отсутствуют.

Тогда, очевидно, ~ ~~(й(е) ) В(е)) Р +В ьп1 5.3. Движение систем переменного состава 407 Обозначим также В суммарный вектор сил, действующих со стороны материальных точек, находящихся внутри объема Ъ', на его оболочку. По третьему закону Ньютона имеем йпп пп — В в. Теорема 5.3.2. (Формула Эйлера). Пусть поток материальных точек через обеем 1г стаиионарен. Тогда суммарная сила воздействия точек, расположенных внутри обвема И, на его оболочку равна сумме главного вектора обвемнмх сил и дополнительной силы: Нно = и'и + йп. Доказательство.

Так как поток материальных точек через объем ьг стационарен, то количество движения системы переменного состава М сохраняется во времени: Щ/д1 = О. Воспользовавшись теоремой 5.3.1, можно написать в соответствии со смыслом векторов г' и Ке. г„+Н б+г =О.П Формула Эйлера определяет усилие, действующее на оболочку, ограничивающую некоторый объем, через который осуществляется стационарный поток вещества. Предположим теперь, что объем 1г произвольной формы имеет два отверстия сечений Яп и Я .

Через отверстие Яп вещество (жидкость, рассматриваемая как совокупность материальных точек) может втекать в объем, а через отверстие Я вытекать. При этом скорости чп втекания точек и ч вытекания будем считать одинаковыми по всей площади соответствующих сечений. Найдем Ьф, т, сь(Мч)п ы-о Ы сй-и Ы Из-за стациоиарности потока скорость чп может быть вынесена за знак предела: дМп %'и = ип — = Йпчп д1 Аналогично У„= р,чг. Коэффициенты рп и рг называются приходом и расходом массы.

Для стационарного потока суммарный расход массы (разница между поступающей в объем массой и уходящей из него) должен быть равен нулю. В противоположном случае менялась бы масса внутри объема. Следовательно, дп хг р = р, и дополнительная сила выразится формулой $'д — р(чп — ч,). 408 Глава 5. Динамика системы материальных точек Приход р массы рассчитывается по формуле р = р и тгэ оо', оп где р — плотность вещества, а и — внутренняя нормаль элемента сечения.

Если сечение, через которое поступает вещество, плоское, то р = Бери тг„. П р и м е р 5.3.1. Пусть через поперечное сечение о изображенных на рис. 5.3.2 труб протекает вода в направлении, указанном стрелками. Скорость потока равна э. Найти силу, действующую со стороны жидкости на эти трубы. Рис. 5.3.2. Воздействие вещества на оболочку Р е ш е н и е. С л у ч а й а. Пусть У-образная труба ориентирована в вертикальном направлении по единичному вектору 1с (рис. 5.3.2,а). Имеем тг„= — 1сэ, т„= 1сэ, приход массы р = Ярэ. Следовательно, В,„ь = Р + Рэ = -1с(Мд + 2Ярэ~), где Р— вес трубы и воды, находящейся в трубе в фиксированный момент времени.

Другими словами, если такую трубу поставить на весы и пропускать через нее воду, то их показания будут на величину добавочной силы больше, чем вес трубы с водой. С л у ч а й б. Пусть одно звено Ь-образной трубы ориентировано в вертикальном направлении 1с(рис. 5.3.2,6), Единичный вектор горизонтального направления обозначим т.

Тогда ч„ = -1сэ,тг — †, приход массы р = Яре. Поэтому 1э Р+Е 1сгм + орэг) 5 г 5.3. Движение систем переменного состава 409 На такую трубу действует горизонтальная составляющая силы, противоположная направлению вытекающей струи. Вертикальная составляющая оказывается больше веса, С л у ч а й в. Труба ориентирована в горизонтальном направлении т (рис.

5.3.2,в). Очевидно, что ие = ти, и = ти, р = Яри, и дополнительная сила отсутствует.О Обратимся вновь к общему случаю движения системы переменного состава и рассмотрим разность Ь(~„— Ьб~у — — таи„— туч „ где гп„— масса, и„— скорость центра масс прибывающих в систему материальных точек, гпу — масса, иу — скорость центра масс точек, удаляемых из системы. Определение 5.3.2. Пусть Ьт = т„— ту ф О. Тогда средней скоростью переменной части системы назовем вектор и, удовлетворяющий уравнению п~5т — гппип гпуиу ° Следствие 5.3.1.

Если существует нт, Ьгп — — !пп — ~ О, д) д1 о Ы то дополнительная сила кд еыралсается формулой дт Рд — — а —, д) где и — средняя скорость переменной части системы. Теорема 5.3.3. (Уравнение Мещбрсного). Пусть скорость изменения массы дт/д) ~ О. Тогда изменение скорости и центра масс системы переменного состава описывается уравнением Ф т — = у (Р~') + К~')) +(и — и) —, д1, " " 111 ' где а„, ʄ— внешние активные силы и реакции связей, т — мас1г) )г) са системы, и — абсолютная средняя скорость переменной части системы.

Доказательство. Воспользуемся теоремой 5.3.1: (р!е) + В!г)) + р (К~ ю =1 410 Глава 5. Динамика системы материальных точек Количество движения Я представим в виде ь4 = тч, где ч — ско- рость центра масс. Тогда Иь4 дт дч — = — ч+ т —. Й Й Й Осталось теперь учесть следствие 5.3.1.О Определение 5.3.3. Вектор Ит Рл = (и — ч)— Й называется реактивной силой. Разность и — ч называется относи- тельной средней скоросгпью переменной части системы. Следствие 5.3.2.

(Уравнение Леви-Чивита). Если абсолютная средняя скорость переменной части системы равна нулю, то изменение скорости ч центра масс описывается уравнением ч ( ) ~~, ~(Р!е! + В!е!) к ко Следствие 5.3.3. (Формула Циолковского). Если огпносительная средняя скорость переменной части системы и — ч = цв постоянна по величине и направлена в сторону, противоположную скорости движения центра масс системы, а внешние силы отсутствуют, то гпв е = ив!и — +ив, т где гпв — начальное значение массы, ев — начальное значение моду- ля скорости. Доказательство.

В условиях следствия уравнение Мещерского принимает вид Не Нт т — = — иа —. Й Й' После интегрирования получим требуемую формулу.П Формула Циолковского показывает, что при сделанных предположениях конечная скорость системы (ракеты) не зависит от режима расхода массы. П р и м е р 5.3.2. Определить движение тяжелой гладкой цепочки (рис. 5.3.3), свободный конец которой свешивается с горизонтального стола, тогда как не вступившая еще в движение часть цепочки сложена в комок у самого края стола. 5.3. Движение систем переменного состава 411 При движении системы к части цепочки, свешивающейся со стола, добавляются новые фрагменты, имеющие в момент присоединения по условию задачи нулевую скорость. Имеем систему переменного состава, к которой применимы уравнения Леви-Чивита.

Рис. 5.3.3. Гладкая цепочка — система переменного состава Р е ш е н и е. Свешивающуюся часть цепочки рассмотрим кзк систему переменного состава. Пусть х — ее длина. Присоединяющаяся масса есть г1гп = рпх, где р — плотность. До вступления в движение зта масса покоилась на столе. Следовательно, абсолютная средняя скорость переменной части системы равна нулю, и мы можем воспользоваться уравнением Леви-Чивита. Из внешних сил на изучаемую систему действует только сила тяжести, направленная вдоль оси х.

Уравнение движения принимает вид Умножим зто уравнение на 1х Нх/П1) и проинтегрируем. Тогда 2 х — = — дх +с. Пусть в начальный момент времени 1о нить покоится, и длина ее свешивающейся части равна хз. Тогда 2 з дхз 3 Рассмотрим предельное решение при хз — О. Для него примем с = О. Тогда (дх 12 — = 11 - д ~/х, 11 'У' 3 или 1 х = — д(1 — 1с)з, б т.е. длина нити Будет увеличиваться с ускорением, равным д/3, втрое меньшим ускорения свободного падения.О Подчеркнем, что уравнение Мещерского имеет смысл, когда го ф О, т.е.

суммарная масса системы изменяется. Если суммарная масса Глава 5. Динамика системы материальных точек 412 системы постоянна, но существует предел р= 1пп — = 1пп — ~0, т„ю, гпх а~-а Ь1 а1-о Ы то дополнительную силу следует выражать формулой Га=р( „— ), где ч„— предел при Ь1 — О абсолютной скорости центра масс точек, поступающих в систему, а ч„— аналогичный предел для точек, удаляемых из системы. Уравнение движения примет вид .ч гп — =,т (Г~'1+ Й~'1) + р(ч„— чх), и=1 При желании разность ч„— ч„можно вычислять как разность скоростей, взятых относительно репера, связанного с системой переменного состава. П р и м е р 5.3.3. Пусть 1-образная трубка массы пт, объема Г и сечения Я расположена так, что одно ее звено может поступательно скользить вдоль гладкой горизонтальной направляющей (как на рис.

5.3.2,5). В другое звено подается воздух с постоянной скоростью и относительно трубки перпендикулярно ее сечению. Считая, что внешние активные силы отсутствуют, найти закон движения центра масс трубки. Р е ш е н и е. Имеем систему переменного состава, масса которой остается постоянной. Направляющий вектор вдоль звена к отверстию трубки, куда подается воздух, обозначим )г.

Вдоль другого звена направим вектор т. Пусть р — плотность воздуха. Очевидно, р = Зри, чп = — и)г+ ит, чг — — ит+ ет, где и — скорость движения трубки. Следовательно, й',, = -Яри (1г+ т). По условию задачи движение в направлении )г отсутствует. Значит, составляющая силы Га в этом направлении уравновешивается реакцией опоры. Проекция уравнения движения на направление т имеет вид ою 1гп+ 1'р) — = -Яри . Й Член Кр учитывает массу воздуха, заключенного в объеме трубки. Движение трубки оказывается равноускоренным.О Перейдем к закону изменения кинетического момента системы переменного состава. Кинетический момент будем вычислять относительно неподвижного полюса О.

5.3. Движение систем переменного состава 413 Теорема 5.3.4. Кинетический момент К системы переменного состава изменяется в соответствии с уравнением 1ч Ф ги1 ьи1 где дополнительный момент Мд — — ̄— Мю а дКп дКу м„= — ", м д1 ' д1 суть скорости изменения суммарных кинетических моментов гпочек, прибывающих в систему и соответственно удаляемых из нее. Доказательство. Повторим дословно рассуждения, которые служили для доказательства теоремы об изменении количества движения, ио для систем М и Л' будем брать не векторы количества движения, а векторы кинетического момента, подсчитанного относительно неподвижного полюса О.

Характеристики

Список файлов книги