1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 65
Текст из файла (страница 65)
4.19. Необходимо ли выполнение условий равновесия твердого тела в положениях равновесия сосуда, наполовину наполненного водой? 4. 20. Пусть условия равновесия твердого тела выполнены для сосуда, наполненного водой частично. Можно ли на этом основании утверждать, что такая система находится в равновесии? 4.21. Что можно сказать о равновесии системы, если для нее условия равновесия твердого тела не выполнены? 4.22. Сколько независимых скалярных уравнений равновесия можно получить в том случае, когда все силы, приложенные к твердому телу, вместе с точками их приложения принадлежат некоторой плоскости? Какие варианты составления уравнений равновесия при этом возможны? 4.23. Найти положения равновесия весомой материальной точки на шероховатом шаре; цилиндре с коэффициентом сухого трения К 4.24.
Пусть нить находится в равновесии под действием удельной силы Ф(з). В некоторой точке нити касательная к ней задается единичным вектором т. Найти соприкасающуюся плоскость к нити в этой точке. 4.25. Пусть нить закреплена в точках А и В, расположенных вместе с нитью на гладком горизонтальном столе. Стол вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через середину отрезка АВ. Найти натяжение в зависимости от координат точек нити. Найти формы равновесия нити, соответствующие постоянному натяжению.
Как эти формы соотносятся с длиной отрезка АВ. Глава 5 Динамика системы материальных точек Сначала, следуя Даламберу, дадим эвристические соображения, приводящие к основному уравнению динамики системы материальных точек (материальной системы). Пусть, например, задана материальная система, на которую наложены стационарные связи, и пусть А — одна из ее точек. На эту точку будут действовать как активные силы, так и реакции связей.
Обозначим Г равнодействующую всех активных сил, приложенных к точке А. Пусть ж есть ускорение точки. Если сравнить вектор силы тж = Р и вектор Г, то, вообще говоря, эти векторы не совпадут. Разложим активную силу на составляющие Г' и Г": Г Г/+Го Ясно, что лишь составляющая Г' силы Г влияет на движение точки А, вызывая ускорение эе. Составляющая Г" никакого влияния на движение не оказывает и как бы теряется при движении точки А.
Даламбер назвал силу Г' движущей силой, а силу Го — потерянной силой. Из сказанного следует, что Го = à — Г' = à — тэи. Величину (-тэи) назовем даламберооой силой инерции. Для всякой точки материальной системы потерянная сила есть векторная сумма активной силы и силы инерции. Так как сила Г" не оказывает влияния на движение, то она должна уравновешиваться какой-то другой силой (реакцией связей), приложенной к той же точке. Поэтому должно быть К+Го = О или К+ Г+ (-тж) = О. Принцип Даламбера состоит в следующем. Если к каждой точке материальной системы в некотором ее положении приложить имевшие место активные силы, реакции связей и силу инерции, то это положение системы будет положением равновесия.
Приведенное выше обоснование принципа Даламбера нельзя признать вполне строгим. Оно правдоподобно с точки зрения физической 377 интуиции. Доказательство этого принципа будет дано в следующем параграфе, где он будет представлен в форме принципа Даламбера- Лагранжа, справедливого не только для систем со стационарными, но и с произвольными дифференциальными связями. П р и м е р 5.0.1. Невесомый стержень ОАВ (рис.
5.0.1) может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг гладкого неподвижного шарнира О. В точках А и В помещены массы гп и гл' соответственно, которые колеблются вместе с ним под действием силы тяжести. Требуется составить уравнение движения. Две материальные точки А и В, подвешенные на невесомом стержне, вращающемся вокруг неподвижной точки О, совершают синхронное движение по дугам окружностей разного радиуса. Каждую позицию стержня можно рассматривать как положение равновесия под действием силы тяжести и даламберовых сил инерции. Результирующее движение такой системы представляется как движение математического маятника со специально подобранной длиной 1:а<!<6.
Рис. 5.0.1. Применение принципа Даламбера Р е ш е н и е. Колебание отдельной материальной точки под действием силы тяжести (математический маятник) было изучено выше (см. определение 3.9.1). В рассматриваемом примере имеются две материальные точки, описывающие дуги различных радиусов за одно и то же время. Следовательно, каждая точка должна влиять на движение другой. Применив принцип Даламбера, зту динамическую задачу можно свести к обычной задаче статики, которая, будучи решенной, дает дифференциальные уравнения движения. Пусть ОА = а, ОВ = 6 и угол, образованный стержнем с вертикалью Оэ, равен д. Точка А описывает дугу окружности. Компоненты ее ускорения имеют вид ш„=ад . Аналогично для точки В получим ш„= Ьд, ш„= Ьдт.
Согласно принципу Даламбера, необходимым и в данном случае достаточным условием равновесия сил инерции и активных сил служит равен- Глава б. Динамика системы материальных точек 378 ство нулю моментов этих сил относительно точки О. Подсчет моментов дает (та + т Ь )д+ (тпа + т'Ь)д ат д = О.
Следовательно, стержень с двумя массами будет двигаться так же, как стержень с одной массой, смещенной от точки О на расстояние тпаг + т~йг та+ тп'Ь Как видим, принцип Даламбера эффективен. Однако в его формулировке участвуют неизвестные реакции связей. Объединим принцип Даламбера с принципом виртуальных перемещений. 8 5.1. Общее уравнение динамики системы материальных точек. Основные теоремы Будем рассматривать систему материальных точек с массами т„, и = 1,...,Ф, стесненную двусторонними линейными дифференциальными связями.
Связи могут быть как неголономными, так и голономнымн. Теорема 5.1.1. (Принцип Даламбера-Лагранжа). Длл того чтобы ускорения г„материальных точек (т„,г„), и = 1,..., М, удовлетворяли второму закону Ньютона в инерциальной еистпеме отсчета под действием активных сил Г„и идеальных двусторонних связей (ем. г д.д), необходимо и достаточно выполнение общего уравнения динамики (т„г„— Р„) бг„= О длл любого набора дифференциалов (Ьг„, и = 1,..., Н), принадлежа- щих множеству виртуальных перемещений Т. Доказательство.
Необходимость. Действие связей на точки системы эквивалентно действию сил реакций связей В.„. Уравнение движения отдельной материальной точки можно записать в виде т„г'„= г„+Н„, и= 1,...,М. Условие идеальности связей состоит в том, что сумма работ реакций на любом виртуальном перемещении равна нулю: В.„бг„= О.
иэд 5.1. Общее уравнение динамики системы 379 Умножив уравнение движения каждой точки на соответствующий дифференциал бг„и сложив результаты, найдем (сп,г„— Г„) бг„= О. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть на систему точек наложено )с независимых связей Ф.(гы...,гэс,ч;,...,чэс,1) = О, у = 1,...,1с. Им соответствует следующая система уравнений для виртуальных перемещений: дФ, — бг„= О, у = 1,..., /с.
дч„ и=с Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Умножим каждое уравнение системы для виртуальных перемещений на скалярный множитель Л, и все результаты вычтем из общего уравнения динамики, которое предполагаем выполненным для любого виртуального перемещения. Получим л э ш„г„— и'„— ~~~ Л вЂ” с . бг„= О. дчи и=1 бкн Подберем Л, так, чтобы коэффициенты при зависимых дифференциалах обратились в нуль. Тогда в нуль должны обратиться и коэффициенты при независимых дифференциалах. В результате находим систему уравнений движения дф, Взятые отсюда выражения для г„подставим в уравнения дФ1 .. дФ дФ; которые возникают после дифференцирования по времени уравнений связей. Получим систему из к уравнений относительно й неизвестных множителей Л;.
Эта система имеет единственное решение, так как связи независимы. Поэтому ускорения материальных точек, определенные принципом Даламбера-Лагранжа, единственны, что и доказывает достаточность.П Глава 5. Динамика системы материальных точек 380 Следствие 5.1.1. Движение системы материальных точек определяется системой дифференциальных уравнений дФ1 д»и зх1 которые называются уравнениями Лагранжа первого рода. Их надо решать, учитывая связи, наложенные иа систему. Выражения Н.„=~~ 1 — ', и=1,...,Н, дФ ., 1д»„' задают реакции связей, действующие иа точки системы. Неизвестные миолсители 1 однозначно определяются с помощью теоремы 5.1.1. Определение 5.1.1.
Основные тики. Вектор и » динамические характерис- дги Х вЂ” ти»и Ю ив хе,~ тити — ~' Пзи и=1 и=1 называется количеством движения системы материальных точек. Вектор и и и Ыги ч К = ~т„г„х ги хе ~ тити х — = ~ тиг, х»и Й их1 их1 их1 называется кинетическим моментом (момеитом количеств движения) системы материальных точек относительно начала отсчета.
Скаляр их1 их1 их1 М их') и=1 называется кинетической энергией (живой силой) системы материальных точек. Понятие количества движения допускает кинематическое толкование. Пацомним (см. определение 1.7.1), что центр масс задается радиусом-вектором 5.1. Общее уравнение динамики системы Поэтому Другими словами, количество движения есть произведение массы всей системы и скорости ее центра масс. Определение 5.1.2. Внутренними силами Г,') называются активные силы взаимодействия между точками системы.
Внешними (е) силами Г„называются активные силы, вызванные действием на точки системы объектов, не входящих в рассматриваемую систему. Внутренние силы подчиняются закону Ньютона о действии и противодействии (см. стр. 151). Следовательно, и М Г1') = О, э ге х Г<') = О. ен Перейдем к теоремам об изменении основных динамических характеристик. Теорема 5.1.2. (Об измененииколнчествадвнження).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
