1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Из второго уравнения заключаем, что Тг — — Тг. Следовательно, Т1 = Т1 -- Тг = тг' — т. Из уравнения моментов получим сов В Р 4 згп( — р) Из треугольника РСМ найдем ! — Ипд !+ — созВ 357 4.9. Статически неопределимые системы Отсюда получаем искомое отношение Г х,/1.~ 9 Ц~~ В Р 8 3 4.9. Статически неопределимые системы В предыдущем параграфе было установлено, что абсолютно твердое тело будет иаходиться в равновесии тогда и только тогда, когда главные вектор и момент сил, приложенных к телу, равны нулю. Эти условия в проекциях, например, иа декартовы оси координат эквивалеитяы шести скалярным уравнениям, из которых можно определить ие более шести неизвестных величин.

Вместе с тем, так как никаких ограничений иа систему сил в общем случае ие накладывается, число сил, подлежащих определеиию, может оказаться значительно больше. Когда возникает такая ситуация, модель абсолютно твердого тела недостаточна для решения задачи. Эту модель следует считать вспомогательной в смысле теоремы 4.8.3. Определение 4.9.1.

Совокупность сил (включая реакции связей), приложенных к механической системе, называется статпически неопределимой, если число неизвестных составляющих сил превышает предельное число уравнений, определяющих равновесие системы. Теорема 4.9.1. Система с идеальн ми удерлсивающими связями будет статически неопределимой, если после удаления какой- либо связи мнолсеетво виртуальных перемещений содержит тполько нулевой вектор. Доказательство. Если при удалении какой-либо связи множество виртуальных перемещений содержит только нулевой вектор, то оио и подавно будет содержать только нулевой вектор, когда эта связь восстановлена.

Принцип виртуальных перемещений тождественно удовлетворяется из-за того, что бг; = 0 есть единственное решение уравнений для виртуальных перемещений. Но тогда система уравнений для ускорений дФ; — тв, =О, 1=1,...,т уки дну тоже имеет единственное решение тв = О. Значит, т > ЗФ. Для определения неизвестных множителей Лагранжа, задающих реакции связей Я 4,6) В1 =~Л; — *, ~=1 Глава 4. Аналитическая статика системы 358 имеем систему уравнений Ньютона при иг; = 0; дФ; ~;й,— *=-Р,, у=1,...,Л~, в которой число неизвестных больше числа уравнений.П Следствие 4.9.1.

Случай статически неопределимой системы сил будет иметь место, когда число независимых идеальных удерзгсиваюи1их связей превышает число координат точек системы. Однако, как будет видно из дальнейших примеров, статическая иеопределимость может возникнуть и тогда, когда число связей меньше числа координат точек системы, ио неизвестна часть активных сил. П р и м е р 4.9.1. Пусть стол, опираясь четырьмя ножками, стоит под действием силы тяжести Р на гладком плоском горизонтальном полу (рис. 4.9.Ц. Будем считать стол абсолютно твердым телом и проанализируем условия его равновесия.

Любое виртуальное перемещение параллельно поверхности пола и потому горизонтально. Сила тяжести— единственная активная сила — направлена по вертикали. Следовательно, принцип виртуальных перемещений тождественно выполнен, и стол находится в состоянии равновесия. Поставим задачу определения реакций опоры. Тогда реакции следует считать активными силами, а связь в виде горизонтальной поверхности исключить. Пусть м — единичный вектор вертикали. Так как связь идеальна, то искомые реакции Нг выражаются формулами Стол остается в равновесии на гладком горизонтальном полу под действием силы тяжести и четырех неизвестных вертикальных реакций опоры. Для определения зтих реакций имеется лишь три условия равновесия твердого тела, что делает задачу нахождения реакций статически неопределимой.

Рис. 4.9.1. Стол иа гладком горизонтальном полу Н„=В;м, ю'=1,2,3,4. Выберем полюс О на опорной поверхности, а точки опоры зададим радиусами-векторами гь начинающимися в точке О: г; 1. ы Уравнения 4.9. Статически неопределимые системы 359 равновесия примут вид Ю1 + Вг+ Вз+ % = Р, г; хиЛ; =г, х иР, Е где г, — радиус-вектор проекции центра масс стола на опорную плоскость. Второе уравнение можно переписать в виде т' 4 мх ~~~ гВи — Рг, =О. 1=1 Так как сомножители в векторном произведении не коллинеарны, то должно быть выполнено уравнение 4 Е г;В; = Рг,.

~вц Это уравнение вместе с первым условием равновесия образует систему из трех скалярных уравнений с четырьмя неизвестными. Рассматриваемая механическая система оказалась статически неопределимой. Заметим, что стол с тремя ножками, стоящий на горизонтальном гладком полу, представляет собой статически определимую систему.О П р и м е р 4.9.2. Задана проволочная конструкция АВСт2, образованная горизонтальной перекладиной ВС, жестко соединенной под прямым углом с двумя параллельными стержнями АВ и С.0 (рис.

4.9.2). Стержни в свою очередь опираются о горизонтальную шероховатую плоскость в точках А и В соответственно. Эту конструкцию будем считать абсолютно твердой и предположим, что единственной активной силой служит сила тяжести Р. Шероховатая плоскость представляет собой неидеальную связь.

Чтобы найти неизвестные силы реакции В1 и Яз, их следует добавить в число активных сил. Уравнения равновесия примут вид В.1 + В.з + Р = О, г1 х В.1 + гз х В.з + г, х Р = О, где г, — радиус-вектор центра масс конструкции. После скалярного умножения второго уравнения на разность гз — г1 будем иметь Вч ° [(гз — г1) х г1]+ Кз ° [(гз — г~) х гз]+ Р [(гт — г1) х г ] = О.

Радиус-вектор г, представим суммой г, = г+ гн Тогда получим равенство (К) + Й.г+ Р) (гз х г1) + Р [(гз — г1) х г] = О. Глава 4. Аналитическая статика системы 360 Реакции пола, возникающие в опорах проволочной конструкции, не создают момента относительно прямой А11, соединяющей точки опоры. Это означает, что шесть уравнений равновесия такой конструкции будут линейно зависимыми. Тем самым задача расчета всех шести компонент опорных реакций оказывается статически неопределимой. Рис. 4.9.2. Проволочная конструкция на шероховатом полу Учитывая первое уравнение условий равновесия, отсюда найдем Р .

[(гт — г1) х г] = О. Так как векторы (гт — г1) и г принадлежат плоскости конструкции АВСВ и не коллинеарны, то их векторное произведение перпендикулярно указанной плоскости. Значит, в положении равновесия плоскость конструкции должна быть вертикальной. Отсюда ясно, что число уравнений, из которых можно найти неизвестные компоненты реакций связей, оказывается равным пяти, т.е. на единицу меньше числа неизвестных Система оказалась, как и в предыдущем примере, статически неопределимой.О 3 4.10.

Равновесие систем с трением Сначала рассмотрим задачу о равновесии материальной точки на шероховатой поверхности. В этом случае (рис. 4.10.1) нормальная реакция Ви поверхности уравновешивает нормальную составляющую Р', и от равнодействующей активных сил, а сила трения Р р уравновешивает составляющую (г', т) активных сил в касательной плоскости. Здесь по-прежнему и — нормаль к поверхности, т — единичный вектор, направленный вдоль проекции активной силы на касательную плоскость.

При этом сила трения по модулю не может быть больше, чем ЦЯ), где /с — коэффициент трения (пример 3.4.3). Таким образом, в случае равновесия мы имеем 4.10. Равновесие систем с трением Для равновесия точки на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы активная сила, действующая на точку, принадлежала конусу трения. При этом реакция поверхности выражается в виде суммы нормальной составляющей и силы трения, направленной по касательной к поверхности в плоскости, образованной активной силой и нормалью м. Рис. 4.10.1. Точка на шероховатой поверхности Если взять угол у между активной силой и ее нормальной составляющей, то получим вй у ( Фй д, или Другими словами, при равновесии материальной точки на поверхности с трением угол между активной силой и ее нормальной составляющей не должен превышать угла трения.

Построим конус трения, приняв материальную точку за его вершину. Угол раствора конуса равен р, а ось конуса направлена по нормали к поверхности. Для равновесия материальной точки необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая Е активных сил принадлежала конусу трения. Если поверхность удерживаюшая, то безразлично, внутри какой полости конуса расположена сила Р. Если же поверхность неудерживающая, то от конуса трения надо взять лишь ту полость, которая направлена в сторону, запрещенную для схода точки. Пусть уравнение шероховатой поверхности есть Тогда !Г!— 1дг С другой стороны, 1 совр = ~/1+ кз Глава 4.

Аналитическая статика системы 362 Условие равновесия можно представить в виде Ясно, что положений равновесия материальной точки, находящейся под действием силы на шероховатой поверхности, может оказаться бесконечно много. Они могут заполнять некоторую область. Если в полученном условии сохранить только знак равенства, то зто условие вместе с уравнением поверхности выделит кривую, служащую границей положений равновесия. П р и м е р 4.10.1. Найти положения равновесия весомой материальной точки на шероховатом эллипсоиде, заданном каноническим уравнением в декартовой системе координат Охую г 11г) = — + — + — — 1= р, аг эг сг где ось Ог направлена вертикально вверх.

Вес Р = — пгуе„причем е,— единичный вектор оси Ог. Обозначим ее, ез соответственно единичные векторы осей Ох и Ор. Тогда д1 у* у — =2~ — е + — ее+ — е,) дг ~а' 62 " сг и условие равновесия принимает вид г гг г гп д 1 или 2,2 2 — хг > — + —. се — ае ь4 ' Таким образом, все положения равновесия на эллипсоиде расположены внутри цилиндра, поверхность которого задается уравнением а ось параллельна оси Ог, Если шероховатый эллипсоид — поверхность удерживающая, то положения равновесия заполняют две области, образованные пересечением эллипсоидз с цилиндром. Если поверхность эллипсоида неудерживающая, то только одну: либо верхнюю, либо нижнюю.О 363 4.10.

Характеристики

Список файлов книги