1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Равновесие систем с трением Перейдем к проблеме равновесия динамической системы с трением. В такой системе помимо неизвестных значений абсолютных величин сил трения возникает дополнительная неопределенность изза того, что во многих случаях направление сил трения неизвестно и должно быть найдено. Здесь следует принять во внимание, что направление трения скольжения вполне определено скоростями точек системы. Следовательно, для решения статических задач полезной будет информация о том, каким движением система дошла до положения равновесия. Чтобы исключить неопределенность, можно также искать силы трения, при которых система не переходит из покоя в определенное движение. П р и м е р 4.10.2.
Найти условие равновесия материальной точки, расположенной на конце невесомого абсолютно твердого горизонтального стержня длины !. Другим концом стержень прикреплен к вертикальной оси так, что может вращаться, оставаясь параллельным шероховатой горизонтальной плоскости (рис. 4.10.2). При этом материальная точка прижимается к плоскости силой Р.
В соединении стержня с вертикальной осью возникают силы трения. В системе с трением может возникнуть статическая неопределимость сил трения, и тогда важной становится информация о том, каким движением система пришла в положение равновесия. В частности, если известно, что стержень остановился после вращения, то этой информации иногда может оказаться достаточно для однозначного определения сил трения.
Рис. 4.10.2. Система с трением Пусть на точку перпендикулярно стержню действует горизонтальная активная сила в'. Тогда имеем единственное скалярное уравнение равновесия Р„+ Р+ М11 = 0, где М вЂ” момент сил трения в точке присоединения стержня к вертикальной оси, Р— сила трения материальной точки об опорную поверхность.
Получили статически неопределимую систему, так как в обусловленных законами трения пределах М < М < М 1гР < Г р < ИР Глава 4. Аналитическая статика системы 364 величины М и Рта могут принять любое значение, лишь бы в сумме они уравновешивали силу Г. Пусть теперь сила Р зависит от угла поворота стержня: г' = Г(~р), и известно, что материальная точка пришла в положение равновесия, двигаясь по окружности против хода часовой стрелки. Тогда угол у, соответствующий положению равновесия, должен удовлетворять уравнению М+ Ьр = Г(~), если, конечно, его решение существует.
Если же оно отсутствует из-за того, например, что М+ йр > )Г(1а)) при любом аа, то положением равновесия будет любое положение материальной точки на описываемой ею окружности, причем для однозначного определения величин М и Е,р потребуются дополнительные данные.О 3 4.11. Уравнение равновесия нити Определение 4.11.1. В теоретической механике нитью называется кривая, вдоль которой по некоторому закону распределена масса. Нить не оказывает сопротивления изгибу. Любой элемент нити имеет постоянные длину и массу.
По смыслу понятие нити наиболее близко к такому физическому объекту, как цепочка, общая длина которой значительно больше длины ее отдельного звена. Возьмем какой-либо отрезок нити А1Аз (рис. 4.11.1). Длина отрезка А1Аз равна Ьз. Пусть к отрезку А1Аз приложены силы, равнодействующая которых проходит через некоторую точку А, расположенную внутри или на границе отрезка, и равна е. Предположим, что при уменьшении Ьа так, что точки А1 и Аз стягиваются к точке А, величина Щ убывает, но существует предел я' Ф = 1пп —. д аЬа Вектор Ф называется удельноМ силаМ, приложенной к точке А. Сила, приложенная к элементу дз, включающему А, будет иметь значение Ф Ыз.
Чтобы найти условия равновесия гибкой нерастяжимой нити, рассмотрим отрезок Ьз и примем его за абсолютно твердое тело (см. теорему 4.8.3). К отрезку Ьз приложены активная сила Р и две силы К1 и В.з, обусловленные воздействием на элемент Ьа соседних участков нити. Пусть в точке А1 (рис. 4.11.1) нить имеет единичный Збб 4.11.
Уравнение равновесия нити По физическому смыслу нить подобна длинной цепочке. Она не оказывает сопротивления изгибу и сжатию. Поэтому при равновесии нити силы, к ней приложенные, должны иметь равнодействующую, равную нулю. Рис. 4.11.1. Равновесие элемента нити вектор касательной те, а в точке Аг — единичный вектор касательной тг. Из-за отсутствия сопротивления изгибу система сил Р, В.ы Вэ должна приводиться к равнодействующей, а силы В,~ и Ва могут быть направлены только по касательной к нити.
В результате единственным уравнением равновесия будет В., + В.а+ Г = О или — Яа те + Ягтг + Ф Ьв = О. Определим вектор-функцию Ят, где Я вЂ” на ялсение нити, а т— единичный вектор касательной в точке А. Обозначим А„— начальную точку, Ак — конечную точку нити. Вектор т направим от точки А„ к точке Ак. Величина Я т представляет собой силу, которую надо приложить вдоль касательной в любой точке А нити, если нить в этой точке разрезать и потребовать, чтобы часть А„А находилась в равновесии. Устремляя Ьв к нулю, получим дифференееиальное уравнение равновесия нити д Ф+ — (,Ят) = О. дв Рассмотрим возможные варианты задания краевых )граничных) условий. 1. Пусть к концам нити приложены силы Р„, Рк.
Тогда, очевидно, должно быть Рк = -Я„т„, к к — Як тк, Я„, т„; Як, тк — соответственно натяжение нити и векторы касательной к ней в начальной и конечной точках. 2. Предположим, что один из концов нити, например А„, должен принадлежать заданной гладкой поверхности. Тогда реакция Хк поверхности направлена по единичной нормали ег„ к ней: Х„ = 1кки„.
Соответствующее краевое условие примет вид Р„+ Я„т„+ Я„и„= О. Глава 4. Аналитическая статика системы 366 г = г(а), где а — длина дуги этой кривой. Тогда сумма проекций активной силы и силы натяжения нити на касательную к кривой в точке А„ будет равна нулю: ń— +(Л„т„). — =О, Если Е„= О, то тогда либо В„= О, либо начальная касательная нити т„ перпендикулярна касательной к заданной кривой. 4.
Если точка А„неподвижно закреплена, то граничное условие в этой точке отсутствует. Подобно только что рассмотренным вариантам можно проанали- зировать граничные условия, заданные в точке А„или сразу в обеих точках. Уравнение равновесия нити представим в виде сИ г1 Ф+ — т+ — м= О, 4в р где и — единичный вектор главной нормали кривой, по которой рас- положена нить, а р — ее радиус кривизны (см. у 2.2).
Спроектируем это равенство на касательную, главную нормаль и бинормаль к кри- вой, обозначив соответственно Ф„, Ф„, Фв проекции Ф на указанные направления. Мы получим Ф,+ — =О, 4Я пв Ф„+ — =О, Ф, =О Я Р Последнее из этих уравнений означает, что соприкасающаяся плоскость, найденная для любой точки кривой равновесия нити, содержит активную удельную силу.
Обратимся к вопросу об интегрировании уравнений равновесия нити. Пусть вектор г точки нити в некотором ортогональном репере имеет координаты г = (гм гж гв). Имеем четыре неизвестные функ- ции г1 гв гз Л. По определению т = 4г/Ив. Тот факт, что в есть длина дуги, выражается условием тт = — + — + — = 1. В частности, если к концу нити не приложена активная сила: в'„= О, то либо И„= У„= О, либо вектор т„коллинеарен вектору и„, и Я„= ~1У„. 3.
Пусть конец нити, например А„, обязан принадлежать данной гладкой кривой 4А1. Уравнение равновесия нити 367 Примем, что удельная сила 1р зависит от радиуса-вектора точки нити: Ф = Ф(г). Тогда скалярные уравнения равновесия нити И / НГ;'т Ф;+ — ~ — ) = О, 1= 1,2,3 пб пб — + — „+ — =1, то в общем случае число постоянных интегрирования, которое не- обходимо задать, чтобы однозначно определить форму нити, равно семи.
В частности, решение задачи о форме равновесия нити будет однозначным, если задать длину нити и положения двух ее концов н н н к к кк Гн — (Г1 ГЗ ~ ГЗ) Гк — (ГШ ГЗ) ГЗ)' П р и м е р 4.11.1. Определим форму равновесия нити длины 1, закрепленной концами неподвижно в двух точках А„и Ак и находящейся под действием силы тяжести. Выберем оси координат. Ось Оз проведем через точку А„и направим вертикально вверх (рис.
4.11.2). Перпендикулярную ей ось Оа выберем так, чтобы правая полуплоскость Осб содержала точку Ак. Ось Оу перпендикулярна плоскости Оаб. Краевые Нить с закрепленными концами принимает под действием силы тяжести форму цепной линии. Эта линия расположена в вертикальной плоскости, содержащей концы нити. Глубина прогиба увеличивается при увеличении длины нити по сравнению с расстоянием между точками ее закрепления. А„ Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
