1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 67

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

Тогда вектор кинетического момента проектируется в фиксированную точку плоскости, натянутой на векторы е1 и ег, и годограф представляет собой прямую, перпендикулярную этой плоскости. С помощью понятия годографа теореме 5.1.5 можно придать геометрическую формулировку. Следствие 5.1.5. (Формулировка Резали). Скорость конца вектора кинетического момента равна главному (суммарному) моменту внешних сил, приложенных к системе материальных точек. Такая формулировка указывает на возможность использования методов кинематики для составления уравнения кинетического момента. П р и м е р 5.1.4. На невесомой нити подвешен контейнер массы М с песком (рис.

5.1.2). Расстояние от центра масс контейнера до точки подвеса О равно 1, и в начальный момент он неподвижен. В контейнер со скоростью с по прямой, перпендикулярной нити и отстоящей от точки О на расстояние 1, выстрелявается пуля массы т. После попадания в песок пуля застревает в контейнере.

Найти скорость контейнера вместе с пулей непосредственно после остановки пули в контейнере, считая пренебрежимо малым смещение контейнера за время движения пули внутри него. Р е ш е н и е. Отвлечемся от влияния силы тяжести, приложенной к пуле. Тогда внешние силы, действующие на систему пуля-контейнер, суть реакция нити и вес контейнера. Обе силы до попадания пули не создают момента относительно точки О. Примем, что временем от момента попадания пули в контейнер до полной относительной остановки Глава 3.

Динамика системы материальных точек 388 Пуля, попадая в контейнер баллистического маятника, движется затем вместе с контейнером как единое целое. Количество движения и кинетический мо- мент относительно точки подвеса маят- ника, которые имела пуля до попадания в контейнер, сохраняются. Им соответствуют первые интегралы уравнений движения.

Кинетическая энергия системы уменьшается за счет тепловых потерь. Рис. 5.1.2. Баллистический маятник пули можно пренебречь, так что за это время контейнер практически останется а исходном положении. Тогда справедлива теорема площадей в вертикальной плоскости (следствие 5.1.3): кинетический момент системы пуля-контейнер до попадания пули должен быть равен кинетическому моменту этой системы непосредственно после остановки пули в контейнере. Следовательно, гте = 1(М+ го)г', где г' — искомая скорость.

Решение задачи дается формулой — е.О гл М+ гп П р и м е р 5.1.5. Рассмотрим задачу двух тел массы гпг и тт соответственно, притягивающихся друг к другу по закону всемирного тяготения. В этой системе сила всемирного тяготения — внутренняя. Пусть внешние силы отсутствуют. Тогда имеет место интеграл кинетического момента К = гг х гп1ч1 + гт х гптчт = с.

Видим, что кинетический момент (рис.5.1.3) представляется диагональю параллелограмма, построенного на векторах Кг — — гг х гп1чы Кт — — гз х пгзчз. Плоскости, проходящие через начало координат О и через скорости ч1 и чт, обозначим Р, и Рт соответственно. Очевидно, что Р| 3. К1 и Рт .1 Кт. Следовательно, линия пересечения плоскостей Рг и Рт перпендикулярна плоскости параллелограмма, а значит, и вектору К. Другими словами, плоскости Рг и Рт пересекаются по прямой, принадлежащей плоскости Лапласа. О 5.1. Общее уравнение динамики системы 389 Плоскость Лапласа перпендикулярна вектору кинетического момента системы и не меняется при движении материальных точек.

Сами точки не обязаны перемещаться в плоскости Лапласа. В случае задачи двух тел зта плоскость может быть построена как геометрическое место линий пересечения плоскостей Р! и 'Рэ, образованных радиусами- векторами и векторами скорости соответственно каждого из тел. гьэ Рг чэ -. Р! Рис. 5.1.3. Построение плоскости Лапласа Теорема 5.1.6. (Об изменении кинетической энергии).

Допустим, что связи, налоэкенные на систему материальных точек, идеальны и таковы, что дифференциалы действительных перемещений принадлеэгсат мноэгсеству Т виртуальных перемещений. Тогда дифференциал кинетической энергии равен сумме работ всех активных сил на дифференциалах действительных перемещений точек системы: дТ = ~~ Г„. дг„.

и=! Доказательство. По условию теоремы, можно принять виртуальное перемещение равным бг„=Ыг„геч„й, о=1,...,5!, где ч„— действительная скорость и-й материальной точки. По прин- ципу Даламбера-Лагранжа ~(т„г„с(г„— Г„с(г„) = О. Но э~1 г„с(г„= — (г,) г„й = д ~ — ч й ' " 12 "/ Теперь осталось воспользоваться определением 5.1.1.О Заметим, что для линейных по скоростям дифференциальных связей вида !ч А;„ге+ В! = О,,! = 1,,5, г=! Глава 6. Динамика системы материальных точек 390 дифференциал действительного перемещения принадлежит множеству Т виртуальных в любой момент времени тогда и только тогда, когда Ву = О.

При этом неголономные связи могут оказаться нестационарными (векторы А „могут зависеть явно от времени). Если связи голономны: ))Н,гы ,гн) = О, то требование, чтобы дифференциалы действительных перемещений принадлежали множеству Т, эквивалентно требованию дД/й = О. Другими словами, если голономные связи допускают в качестве виртуального дифференциал действительного перемещения, то такие связи не зависят явно от времени (склерономны). Заметим также, что в правую часть утверждения теоремы 6.1,6 входит работа всех активных сил, как внутренних, так и внешних.

П р и м е р 5.1.6. Рассмотрим движение человека, поднимающегося по лестнице. Внешними силами, действующими на него, будут сила тяжести и сила реакции опоры. Пусть человек начинает движение по лестнице вверх в момент времени 1е из состояния покоя; Те — — О, а поднявшись наверх, останавливается: Т„= О в момент времени 1„.

По теореме 5.1.6 работа всех сил на действительных траекториях точек их приложения будет тогда равна нулю: Но работа сил реакций отсутствует, так как точка опоры каждой ноги о лестницу остается неподвижной. Точка опоры лишь скачком меняется при смене опорных ног. Следовательно, работа силы тяжести компенсируется работой внутренних сил. Вместе с тем, как зто следует из теоремы 5.1.2, подъем центра масс человека происходит именно благодаря действию внешней силы реакции лестницы.О П р и м е р 5.1."г. В задаче примера 5.1.4 подсчитаем изменение кинетической энергии системы до и после попадания пули в песок: 1 У гптет ') Мгп,э Таким образом, вследствие удара кинетическая энергия уменьшилась, и это произошло в результате работы именно внутренних сил.

По разнице значений кинетической энергии можно рассчитать выделившееся при этом количество тепла.О Теореме 6.1.6 можно придать несколько иную формулировку. 5.1. Общее уравнение динамики системы 391 Теорема 5,1.7. В условиях теоремы 5.1.6 производная по времени от кинетической энергии системы равна суммарной мощности всех активных сил (см. определение 5.7.5)1 дТ 61 — йи 'ии ° и=1 Доказательство получается, если дифференциал энергии и правую часть, выражающую его значение, разделить на дифференциал времени дь.сь Заметим, что область применения теорем 5.1.6 и 5.1.7 может быть существенно расширена также и на тот случай, когда из-за некоторых связей действительное перемещение не попадает в множество виртуальных. Чтобы применить указанные теоремы, достаточно такие связи исключить, заменив их реакциями.

По изменению кинетической энергии тогда можно судить о работе реакциИ связей на действительном перемещении. Теорема 5.1.8. (Интеграл энергии). Пусть активные силы потенциальны с силовой функцией У(гь,...,гтч), связи идеальны, и дифференциал действительного перемещения принадлезтсит мнозтсеству виртуальных в .а!сбой момента времени. Тогда имеет место первый интеграл (интеграл энергии): где Ь вЂ” тьостоянная интегрирования.

Доказательство. Наличие силовой функции У(гь,...,ты) означает, что активные силы выражаются формулами Г'и = —, и те 1,...,1Ьт. дП дг„ Поскольку условия теоремы 5.1.6 выполнены, то гт гт д ЙТ = Ц~ь х'„дг„= Ц~ — . дг„= ~П1. и=1 и=1 Следовательно, при действительном движении д(Т вЂ” П) =6.а Введя понятие потенциальной энергии Глава 5. Динамика системы материальных точек 392 выражение Т вЂ” [У = Ь можно представить в виде Т+ П = й гс то + По, где То и По — начальные значения кинетической и потенциальной энергий соответственно.

Имеем закон сохранения механической энергии. Далее т — т =п — п. Другими словами, приращение кинетической энергии равно разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках движения. Следовательно, разность между начальным и минимальным значениями потенциальной энергии показывает предельно реализуемое положительное приращение кинетической энергии. В этом смысле указанная разность характеризует собственный энергетический ресурс системы. 3 а д а ч а 5.1.1. Подсчитать собственный энергетический ресурс тела, состоящего из материальных точек, притягивающихся друг к другу по закону всемирного тяготения.

Р е ш е н и е. Пусть точки тела попадают из бесконечности, где, очевидно, достигается максимум потенциальной энергии всемирного тяготения (см. пример ЗА.2), на свои места последовательно одна за другой. Обозначим ты...,тэг массы всех точек, а гьь газ,... — расстояния соответственно между точками тп1 и тз, тг и тз и т.д. в их заданном положении. Предположим, что точки ты...,т„1 уже помещены на свои места. Работа, совершаемая при перемещении массы т„из бесконечности на свое место под действием точек ты...,т„ ь равна где у' — гравитационная постоянная.

Характеристики

Список файлов книги