1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 69

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 69)

Пусть велосипедное колесо массы гл с невесомыми спицами и радиусом г может вращаться вокруг своего центра О, закрепленного на одном конце невесомого стержня длины 1. Другим своим концом стержень опирается в точке А о горизонтальную плоскость. Стержень не может скользить относительно плоскости (рис. 5.2.1). Доказать, что за счет действия внутренних сил можно добиться равновесия стержня АО. Велосипедное колесо при опоре на наклонный стержень остается в равновесии, если специально придать колесу постоянное угловое ускорение относительно точки О за счет действия внутреннего момента сил между колесом и опорным стержнем.

Положение равновесия, однако, не будет устойчивым, и для его поддержания потребуется соответствующее управление указанным угловым ускорением. Рис. 6.2.1. Динамическое равновесие Р е ш е н и е. Обозначим 1з угол между стержнем и горизонтальной плоскостью. Очевидно, что К' = гагры, где ы — угловая скорость вращения колеса вокруг точки О. По теореме 5.2.

1 кинетический момент Глава б. Динамика системы материальных точек 400 колеса относительно точки А выразится формулой „г +1г Внешние силы, приложенные к системе, — это вес колеса и реакция опоры в точке А. По теореме 5.1.4 получим дК вЂ” = — гпд! сов р М или гпг ы + 1 гпф = — тд1 сов ~о. Следовательно, если в данном положении стержня обеспечить ф = 0 и принять гпд(сов~р г тг то это положение окажется положением равновесия. Заметим, что когда стержень принадлежит верхней полуплоскости, это равновесие будет неустойчивым.О Теорема 5.2.3.

(Об изменении кинетического момента в осях Кенига). Если связи, наложенные на систему материальных точек, идеальны, допускают дифференциал вращения вокруг неподвижной оси Е и, кроме того, допускают поступательное смещение системы по любому направлению в плоскости, перпендикулярной Ь, то в осях Кенига производная по времени от кинетического момента относительно оси 1, параллельной Ь и проходящей через центр масс системы, равна сумме моментов внешних ахгпивных сил относительно оси 1, т.е.

рг — (К' е) = е ~ г'„х У!'1, и=1 где е — направляющий вехгпор осей Ь и 1. Доказательство. Представим силы, действующие на систему, и скорость ее центра масс в виде Г® = (Г~'! е)е+ х„р, эр = (ур е)е+ ч„р, ч„р! е, разложив зти векторы на сумму составляющих, одна из которых параллельна е, а другая лежит в плоскости, перпендикулярной е. Из условия теоремы следует, что Ф вЂ” (К е)=е ~ г„хР~'~, д! 5.2. Теоремы Кенига 401 .ч — (Ми«г) = ~ Р~'„1. «=1 Применяя теорему 5.2.1, найдем — ( кз+ ~. ~ "*~) = (., ~«<„'>) -:- з '„««>. «=1 «=1 Но д(Му,) д(Му«) д(Му,р) Отсюда и — (е К*) = е ~ г'„х Г~'1.П «=1 Следствие 5.2.1. Если связи, налозесеннме на систему материальных точек, допускают дифу«еренциал вращения вокруг произвольной оси и, кроме того, поступательное виртуальное перемещение всей системы вдоль любого направления, то дК" — г'„х Г<'~. «=1 Другими словами, скорость конца вектора кинетического момента в осях Кенига равна сумме моментов всех активных сил относительно центра масс системы.

Замечание 5.2.1. Пусть связи, наложенные на систему материальных точек, допускают дифференциал вращения вокруг оси с постоянным направляющим единичным вектором е, проходящей через центр масс системы. Тогда и — (К' е) = е ~ г'„х У~'1. «=1 Доказательство. В данном случае виртуальные перемещения будут бг„= бюе х г'„. м — 1503 Глава 5. Динамика системы материальных точек 402 Из принципа Даламбера-Лагранжа, следуя доказательству теоремы 5.1,4, найдем басе ~Ц~ т„г'„х г„— ~ г'„х в„= О, Ч«к1 «=1 Но б~р произвольно и г'„х г'„= г'„х (г, + г'„) = г'„х г, + — (г'„х г'„). д1 Осталось учесть, что и т„г'„= О, и применить определение 5.1.2.П Следствие 5.2.2.

Если связи, наложенные на систему, допускают дифференциал вращемия вокруг произвольной оси, проходящей через центр масс, то дК' — г'„х у(«). ««л Рассмотрим теперь теорему об изменении кинетической энергии Т'. Следствие 5.2.3. (Изменение кинетической энергии в осях Кенига).

Пусть связи, наложенные на систему, идеальны и таковы, что дифференциалы действительных перемещений принадлежат множеству виртуальных и среди виртуальных содержатся поступательные смещения системы вдоль любого направления. Тогда дифференциал кинетической энергии в осях Кенига равен работе всех активных сил ма дифференциале действительного относительного перемещения системы: д Т ~ Г д г Доказательство. В связи с тем что выполнено условие теоремы 5,1.6, будем иметь Ф ЙТ= ~ Р„.дг„.

5.2. Теоремы Кенига 403 Кроме того, можно применить теорему 5.1.3 о движении центра масс: Мг, = ~~~ я',. По теореме 5.2,2 получим Т = М62+ Те, 1 2 Кроме того, учтем, что Иг„= иге+ Их'„. Следовательно, формулу для дифференциала кинетической энергии можно представить в виде ЙТ'+ Мч, г,ас = ~~~ г„аг, +~ У„дг'„. ех1 Поскольку Иг, = ч,дс, то после учета теоремы о движении центра масс найдем )е ИТ' = ~ Г„дг'„.

В приложениях при расчете кинетического момента не всегда бывает удобно принимать центр масс системы за полюс. Тогда может оказаться полезной теорема о кинетическом моменте относительно подвижного полюса. Пусть некоторая точка А в инерциальной системе отсчета имеет радиус-вектор гд и скорость чд. Обозначим )е / Кд — — ~г„х т„ч„, ееы где г'„= г„— гд, а ч„— абсолютная скорость точки системы.

Величина Кд есть кинетический момент системы относительно подвижной точки А. Теорема 5.2.4. Захон изменения Кд дается уравнением — +чд х ъ1 = У г'„х (г'„' +В.„'е). иКд ех1 где ъе — количество двизесения системы, Р~ — внешние актив(е) ные силы, τ— реакции тек связей, удаление которых обеспечи(е) вает идеальность связей, существование дифференциала вращения вокруг любой оси, проходящей через точку А, и произвольного поступательного виртуального перемещения системы. 2м Глава 5.

Динамика системы материальных точеь 404 Доказательство. Учтем, что ги = ги+гА. Тогда по определению 5.1.1 будем иметь 1Ч и — Х ™~ ии — ~Х~ (ти + ГА) Х ™иэи — КА + ГА Х э». и=1 и=1 Воспользуемся теоремой 5.1.5: Ф 1Ч вЂ” = КА+чА х(4+тА х(3 = гА х~ ~!йи'1+Рьи'1)+ ~ г'„х(% и„'1+В.1о). и=1 и=1 Но в принятых предположениях справедлива теорема 5.1.3: Закон изменения вектора КА, в частности, показывает, что существует множество подвижных точек, относительно которых кинетический момент изменяется так же, как и относительно неподвижной точки.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы было ЧА ХЧ,=О. Например, это условие выполняется, если точка А совпадает с цен- тром масс. 3 5.3. Движение систем переменного состава Рассмотрим в инерциальном репере систему М материальных точек, которые в некоторый момент времени 1 = гв заполняют объем йи! (рис. 5.3.1). Пусть система ограничена проницаемой оболочкой, сквозь которую материальные точки могут проходить как внутрь, так и наружу объема 1и1. В момент !! = !а + Ы материальные точки, занимавшие в момент $а объем и1, займут некоторый другой объем йт и образуют систему Л'.

Система ЛГ есть система постоянного состава. Движению подобных систем посвящены ~ 5.1, 5.2. Объем системы Ли может изменяться. К моменту 11 объем системы М будет частично заполнен теми материальными точками, которые были в нем ранее, а частично— новыми точками, проникшими сквозь ограничивающую этот объем оболочку за время Ь1. Тем самым система М будет системой переменного состава. К изучению законов движения таких систем мы сейчас и переходим. 5.3. Движение систем переменного состава 405 Объем 1гт содержит те же материальные точки, что и объем Ъ~. Через время Ы часть из этих точек осталась в объеме 1"ы а другая часть покинула его. Кроме того, в объем Ь'1 могли проникнуть и иные частицы, ранее в объеме 1у1 не содержавшиеся.

Таким образом, состав материальных точек объема 1'1 оказывается переменным. Рис. 5.3.1. Система переменного состава В каждый момент времени можно вычислить количества движения С1 и Я для систем М и Л соответственно. Пусть при 1 = 1о система Л совпадает с системой М. Тогда = ©1о В момент времени 11 — — 1о + Ы величины Ц и (~ уже могут различаться.

Количество движения системы М можно выразить так: 1~),, = б~~ + ~б~„— ~Яу, где лч„— количество движения материальных точек, поступивших в систему М за время Ы, схч — количество движения точек, удалившихся из нее за то же время. Вычислим производную о о),-е, — 1пп — ! пп д1 ы-о Ы ы-о Ы Отсюда находим и'Я дь,1 — = — + Ä— У, Й Й где Ро, Уу обозначают пределы 1пп —, Гу = 1пп —. ~Яо а~- Д1 ' " Ь1 Тем самым векторы Уо, е'у имеют размерность силы. Назовем лд — ло лу дополнительной силой. 406 Глава 5.

Динамика системы материальных точек Теорема 5.3.1. Количество двизесения системы переменного состава излееняется в соответствии с уравнением з~,~(р(е) В(ь)) + Р ея1 где Ä— активные внешние силы, а В,„— реакции связей, уда(е) (е) ление которых позволяет включить в мнозюество Т виртуальных перемещений поступательное смещение системы в любом направлении. Доказательство.

К системе постоянного состава Л применим теорему 5.1.3 об изменении количества движения. Системы Л4 и Л' в момент (о совпадают. Следовательно, для них совпадут множества виртуальных перемещений: Т = Т. Одинаковыми будут и связи, которые следует удалить, чтобы поступательные смещения системы по любому направлению вошли в множество Т. Теперь для окончания доказательства теоремы достаточно в формуле, выражающей д(4/Й, учесть зависимость Щ/Й от сил и реакций.О Таким образом, скорость конца вектора количества движения равна сумме дополнительной силы и внешних сил, включая реакции связей. Определение 5.3.1.

Поток материальных точек через объем 1' называется стационарным, если количество движения точек, заключенных в любом элементарном объеме внутри к', зависит только от положения этого объема внутри Ъ' и не меняется со временем. Заметим, что условие стационарности потока относится не только к внутренним точкам объема,но и к его оболочке. Другими словами, одинаковые материальные точки, выходя из объема или входя в него, приобретают в одних и тех же местах неподвижной оболочки одинаковые скорости. Рассмотрим составляющие главного вектора внешних сил. Выделим главный вектор объемных сил Ун, т.е, сил, действующих на материальные точки, находящиеся внутри объема Ъ', и обусловленных воздействием объектов, расположенных вне объема (гравитационные, электрические, магнитные силы, силы инерции и т.п.).

Характеристики

Список файлов книги