1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В правую часть этого выражения масса т„ входит по одному разу в произведении с каждой из масс ты...,т„ ь В каждое из аналогичных выражений для работ, совершаемых при перемещениях точек гп„+ы т„+ш..., масса т„входит в произведение только с одной массой. Следовательно, в выражение полной работы А = А1+Аз+...+А„+...+Аэг масса т„будет входить по одному разу в произведении со всеми другими массами, кроме нее самой. С другой стороны, потенциал в точке пространства, где находится масса т;, выражается формулой /тп1 тз т; 1 тьь1 ь;=у~ — + — +...+ + +.„ ~ м гю тих-1 гд +1 393 5.1. Общее уравнение дииамиии системы Рассмотрим сумму т пт~.
ают Масса пт„входит здесь в каждое слагаемое, для которого т ф и, по одному разу в комбинации с другой массой. В член птттК, она входит в комбинации с каждой массой, кроме нее самой. В целом тп„входит в рассматриваемую сумму по два раза в комбинации с каждой массой, кроме нее самой. Поэтому работа сил всемирного тяготения при образовании системы из Бесконечно удаленных точек равна Ю А = — ~тптЦ. ' т=т В частности, для системы из двух точек пгт и тпг зто правило дает 2 т т где т — расстояние между точками.
Для системы из трех точек тпт, тпг, птз найдем А = -т' тпт — + — + тпг — + — + тпз — +— тат ттт2 тттттттз ™2тттз =1~ — + + тгг ттз тгз В случае сплошного тела, имеющего плотность р, расчет ресурса А производится по интегральной формуле 1 А = - / Ътрт1П, 2 .т' где П вЂ” обьем, занимаемый телом, $' — потенциал точки тела. Найдем, например, энергетический ресурс однородного шара массы М и радиуса Я. С этой целью воспользуемся теоремой 3.11А. При движении элемента массы йп из бесконечности до поверхности шара силы тяготения совершают работу /М т1А т — — — таити. В При движении элемента йп внутри шара работа есть уМтг 1М т1А2 = — — Йп+ — Йп.
2Яз 2Я Глава 5. Динамика системы материальных точек 394 Суммарная работа сил тяготения при перемещении элемента Нт равна 3УМг УМ Г А, + Аг = — — — — ~ гтрк. 2 Я 2Яз/ Интеграл в правой части последнего равенства есть момент инерции ша- ра относительно его центра. Для шара (см. пример 1.14,10) ЗМВг г рг1Й = —.
5 Следовательно, энергетический ресурс шара выражается формулой 1 3 Мг А = -(А!+Аг) = -1 — О 2 5 Я ' Возьмем скалярную функцию л! Ф =,)гаити ги и=1 Ее полная производная по времени имеет вид Й вЂ” = ~глитги г„+ ) глитги зги = 2Т+ ~ (Еи+ В.„) г„. и=! и=1 и=! Определение 5.1.3. Пусть задана некоторая функция 1р(1). Ее средним значением на интервале (1е,1е + г) называется величина 1о+ г Процедура вычисления среднего называется усреднением. Усредним равенство, выражающее дФ/дг, т.е. проинтегрируем его правую и левую части по времени 1 в пределах от 1е до 1е + г и разделим на г.
Получим 1 Х -[Ф(го+ г) — Ф(1е)] = 2Т+ ~(Р„+ В.„) г„. ию! Левая часть этого равенства на конечном интервале времени может обратиться в нуль, когда Ф(ге+ ) = Ф(ге). 395 5.1. Общее уравнение динамики системы В частности, таким свойством будет обладать периодическое движение с периодом т. Определение 5.1.4. Движение называется финитным, если 1 !пп — (Ф(1о + т) — Ф(1о)] = О. т Финитным, например, будет движение, при котором г„(1), и„(1), и = 1,..., Ф, ограничены.
Для финитного движения будем предполагать существование средних 1 + ее+ т и т=9 — )тл,~(г„+в„>..„=б -' 1 ~(г„.~вЛ,„в 1 Г т ' — т г=1 ввц ео Опрщгеленне 5.1.5. Выражение Е(й +В ) г называется вириалом Клаузиуса. П р и м е р 5.1.8. Пусть сосуд объема П наполнен газом, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом. Стенки сосуда непроницаемы для молекул.
Найдем вириал етой системы. Удар молекулы о стенку будем считать абсолютно упругим. Ударная реакция стенки будет направлена по нормали к поверхности сосуда, и она будет единственной силой, действующей на молекулы. Среднее по времени от ударных реакций, отнесенное к злементу площади поверхности, есть давление р газа на стенки, Пусть и — внешняя нормаль к поверхности, Йт — ей соответствующий злемент площади, Тогда средняя сила р воздействия стенок на газ в точке поверхности, имеющей радиус-вектор г, имеет вид р = — р м Ио.
Следовательно, т'г = р г. мг(а = р г))иге(О = Зрй. Здесь о' — поверхность сосуда, а переход от поверхностного интеграла к объемному осуществлен по формуле Остроградского.О Теорема 5.1.9. (О внриале). Для фииитного двиэгсения материальной системы справедлива форлеула Т = -Ъ'т. 1 2 Глава б. Динамика системы материальных точек 898 Доказательство получается переходом к пределу прн г -~ со в правой н левой частях равенства 1 — [Ф(Ме + г) — Ф(!а)) = 2Т вЂ” Ъ'г.С1 г П р и м е р 5.1.9. Найти связь между средней кинетической энергией и давлением для газа, находящегося в условиях примера 5.1.8.
Р е ш е н и е. Применяя теорему о вириале, получим т= -рП. 3 2 Напомним, что отношение кинетической энергии к числу молекул пропорционально абсолютной температуре. Если кинетическая энергия постоянна, то полученная формула устанавливает связь между температурой, давлением и объемом газа.О П р и м е р 5.1.10. Пусть реакции связей отсутствуют, но силы потенциальны, причем потенциальная энергия П[т!,...,гьг) есть однородная функция степени сс П[Лт!,..., Лты) = Л'П[т!,..., ти).
Для такой системы вириал принимает вид 'гг = — ~ е,.г„= 5 ~†.г, = аП. — дП дти и=! и=1 Следовательно, если для нее выполнены условия теоремы о вириале, то 2Т-еП = О. Вместе с тем справедлив интеграл энергии Т+П=Ь, который после усреднения примет вид Т+П = Ь. Отсюда П = — Ь. 2 з+2 Тем самым установлено, как начальная энергия системы делится между средними значениями кинетической и потенциальной энергий на бесконечно большом интервале времени. При е = — 2 полученные формулы 5.2. Теоремы Кенига 397 не работают. Если в = — 2 и 6 ~ О, имеем противоречие, из которого следует, что в этом случае движение не может быть финитным.
В остальных случаях найденные формулы дают возможность сделать приближенные оценки состояния системы. Например, пусть гаэопылевое протопланетное облако в начальный момент обладало энергией й. Отвлечемся от всех сил взаимодействия частиц, кроме гравитации. Потенциальная энергия такой системы будет однородной функцией степени в = — 1.
Будем считать протопланетное облако сплошным однородным шаром массы М. Воспользовавшись решением задачи 5.1.1, получим 3 уМг Й= — —— 10 л где й — средний радиус по времени эволюции системы, а в качестве Н принята работа, необходимая для переноса всех частиц системы из данной точки облака в бесконечность, где они не взаимодействуют. Формула имеет смысл, когда 6 отрицательно, т.е. когда движение финитно.О 3 5.2.
Теоремы Кенига .ч гв — М ~~~ таге в=1 М = ~~~ гп„. а во Для расчета абсолютной скорости по теореме сложения скоростей получаем выражение ч =ч, +ч„, где ч, — абсолютная скорость движения центра масс, а ч„— ско- рость движения относительно осей Кенига. Теорема 5.2.1. Кинетический момент абсолютного движения системы дается выражением К =г,х Мч,+К', Расчет кинетической энергии и кинетического момента системы материальных точек не всегда легко выполняется. Чтобы его облегчить, удобно использовать специальную систему координат, носящую название осей Кенига.
Определение 5.2.1. Осями Кснига называется система координат, движушаяся поступательно. Начало ее совпадает с центром масс изучаемой системы материальных точек. Если С вЂ” начало осей Кенига, то его абсолютный радиус-вектор г, дается формулой Глава 5. Динамика системы материальных точек 398 где К" — кинетический момент движения в осях Кенига, когда эа иолюс взят центр масс Се !г К =~ гехтич„и, Р Ги — Ги !с. и=1 М 1Ч и К = ~~~ Ги Х ПсиЧи ес ~~(Г„+Г,) Х ти(Чс+Ч„„) = Гс Х Ч,~~~ Пси+ ии1 и=1 и=1 и ьс Ф Ф % % с + ~ гпиГи х чс+ Гс х ~ тичси + ~Ге х п!ичии.
1ии! «=1 и=1 Так как ги = г — г„то 1Ч !ч сч П1ити = ~~' тиХи Гс )' ти сх О, и=1 и=1 и=1 !ч 1ч М М Е т,ч и ск ~ тиги = ~ тити — чс~ ти = О,П с=1 Теорема 5.2.2. Кинетическая энергия абсолютного движения системы материальных точек дается выражением Т= -Ми~+Т', 1 с где Т' — кинетическая энергия движения относительно осей Кенига: !ч Т' = — ~гнив„и. ии1 Доказательство. Из определения кинетической энергии следует Т =~~ п!и — и = ) ти сс — '+ч, ~т„ч„„+-~ тио„и.
и=1 ии1 ии1 и=1 Но и тиЧ,и хс О.П Доказательство. Из определения кинетического момента следу- ет 399 5.2. Теоремы Кенига П р и м е р 5.2.1. Вычислить кинетическую энергию однородного обруча массы М, катящегося без проскальзывания в вертикальной плоскости по горизонтальной прямой. Скорость центра обруча равна в. Р е ш е н и е. Воспользуемся теоремой 5.2.2 Кенига. Точка касания обруча с опорной прямой есть его мгновенный центр вращения Я 2.14).
Пусть радиус обруча равен Л. Центр обруча имеет скорость е. Эта скорость, будучи горизонтально направленной, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому относительно своего центра обруч вращается с угловой скоростью ы = и/Я, а в таком движении все его точки описывают окружность и имеют линейную скорость в. Относительно осей Кенига получим кинетическую энергию Т' = Ме /2. г Значит, кинетическая энергия обруча равна Мез Т = — +Т* = Мез. 2 Видим, что значение кинетической энергии от радиуса не зависит и, каким бы малым ни был радиус, катящийся обруч не может считаться материальной точкой.О П р и м е р 5.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
