1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 64
Текст из файла (страница 64)
4.11.2. Равновесие нити с закрепленными концами условия примут вид Г„= (О,О,а), Гк кк (Ь,О,С), Ь > О, где а, Ь, с — некоторые заданные постоянные. Выпишем систему урав- нений равновесия тяжелой нити: — И вЂ” =О, — Я вЂ” =О, — Л вЂ” — т=О, сУть УРавнениЯ втоРого поРЯДка относительно гы Гз, Гз и пеРвого порядка относительно В. Если к этим уравнениям добавить условие Глава 4.
Аналитическая статика системы 368 — + — + — =1 где 7 — удельный вес нити. Второму уравнению и краевым условиям удовлетворяет функция у(а) = О. Значит, нить целиком принадлежит плоскости Охг. Далее из первого уравнения заключаем, что Их  — = сы На где с1 — постоянная интегрирования. Примем х за независимую пере- менную и учтем, что справедливо операторное равенство И Ит4 аз аз пх Позтому третье уравнение равновесия приводится к аиду Четвертое уравнение равновесия представим следующим образом: 1+ Следовательно, зависимость г(х) удовлетворяет уравнению с1 — 2=+7 1+ т в котором знак выбран положительным, так как в начальной точке Нз/Их ) О, и зта величина нигде в нуль не обращается. Дифференциальное уравнение для функции г(х) можно представить в виде ,1х,Ь,г 7 Нг ~а7 "' Следовательно, /4~' 7 1+ ~ — ) = — г+ сг.
~, с~а) с1 4.11. Уравнение равновесия нити Зто равенство разрешим относительно Их/Ых: 369 1 7 / с)х ~ сг Введем переменную С =се+ — г. 7 сг Относительно нее будем иметь 7 = ж — Их. Яз — 1 сг Рассмотрим два случая. 1. Правая часть положительна. Тогда К 7 Д2 — 1 с1 Слева стоит табличное выражение производной. Значит, )и ~С+ Д2 — 1) = — (х — а). с1 Перейдем к показательным функциям Справедливо тождество =г-~7:1= ю( — ( — )~.
,,Дг —,= — — — ~-сг Следовательно, ехр — (х — о) + ехр — — (х — а) 2. Правая часть отрицательна. Тогда К = — — Нх. /~2 1 с1 м — ~зев Легко убедиться в том, что решение этого уравнения будет таким же, как и в первом случае. Глава 4. Аналитическая статика системы 370 В итоге имеем зависимость С = сЬ вЂ” (х — а) Перейдем к переменной г: — сЬ вЂ” (х — а) — сг Получили форму равновесия тяжелой нити, Такая кривая называется цепной линией. Учтем краевые условия 7 ~ 7" сЬ вЂ” — гг — сг = сг,l сг Ь~ — (Ь- )~-.,= —, (7 1 7с (сг сг из которых можно найти о и сг в зависимости от единственного пара- метра сы Например, вычитая из первого условия второе, получим сЬ вЂ” — о) — сЬ ~ — (6 — а)~ = — (а — с), сг ) ~с1 с1 или 2 зЬ вЂ” — — а вЬ вЂ” = — (а — с).
Постоянная сг определена выражением сг = сЬ вЂ” — — а сЬ вЂ” — — (а+ с). Оставшийся неопределенным параметр сг вычисляется из условия, что длина нити равна Ь Имеем 4е г(г ,г — + ~ — ) =-.+сг ох г4х с1 Следовательно, (7 — = сЬ вЂ” (х — а) ох ~сг или з = — зЬ вЂ” (х — а) + вЬ вЂ” а 4.11. Уравнение равновесия нити Когда х = 6, то должно быть в = 1, т.е. что дает возможность однозначно найти параметр с2 и тем самым закончить определение формы равновесии нити. Отметим еще формулу для расчета натяжения Я вдоль цепной линии дв (7 И = с2 — —— 72 + с2сз = с2 сй — (х — а) .О 41* 1с2 В заключение параграфа укажем на аналогию между задачей о форме равновесия нити и задачей о движении материальной точки.
Пусть силы, приложенные к нити, имеют силовую функцию Тогда уравнение равновесия принимает вид д11 Н вЂ” + — (Кт) = О. дг Нв Его можно спроектировать на касательную к нити: Имеем первый интеграл где Д не зависит от ь. Умножим теперь уравнение равновесия нити на натяжение Л: Н дУ д11 дР — (Нт) = — Я вЂ” = (11 — д) — = —, Нв дг дг дг ' где 1 Р = -(11 — Д)2. 2 Преобразуем к такому же виду уравнение движения материальной точки в силовом потенциальном поле: 24* Глава 4. Аналитическая статика системы 372 Ускорение чг точки можно вычислить по формуле (см, з 2.2) Следовательно, 1дП, е — 1эт) = — —, па пт дг Полученное равенство представляет собой дифференциальное уравнение траектории точки.
Имеем четыре неизвестных г„ гт, гз, в. В силу свойства ~т~ = 1 должно быть справедливо тождество — + — + — = 1. Сравнение уравнений формы равновесия нити в потенциальном поле и уравнений траектории движения материальной точки показывает, что задача о форме равновесия нити аналогична задаче об определении траектории материальной точки. Поясним аналогию. Система дифференциальных уравнений, описывающая форму нити в равновесии, совпадает с системой дифференциальных уравнений для траектории точки, если формально отождествить 1 Р= — Пм е=й. гп Когда начальные условия для соответствующей задачи Коши совпадут, то совпадут и решения.
Другими словами, если удельная сила, действующая на элемент материальной нити, выражается как градиент функции П, то кривая, по которой располагается нить, тождественна с траекторией движения свободной материальной точки в поле силы, имеющей силовую функцию ™ ~П у)г 2 где ш — масса точки. При этом начальное положение точки должно совпадать с началом А„нити, а ее начальная скорость должна иметь величину, численно равную Ню т.е. еа =Ф вЂ” 1~', где П„есть начальное значение функции 17.
Начальная скорость должна быть направлена по касательной к нити. 373 Контрольные вопросы к главе 4 С помошью отмеченной аналогии многие свойства движения материальной точки можно перенести на свойства форм равновесия нитей. Например, пусть нить находится под действием центральных сил П = 71(,г), где г = ~г~ — расстояние от элемента нити до некоторого неподвижного центра.
Тогда задача о равновесии нити сводится к задаче о центральной орбите под действием силы с силовой функцией 17 ~ [17~ ) 3)2 2 Следовательно, априори можно утверждать, что задача о равновесии нити в центральном поле всегда решается квадратурами, форма равновесия нити есть плоская кривая, плоскость которой проходит через центр силы. Теорема 3.7.6 о постоянстве секторной скорости (интеграл площадей) аналогична утверждению, что момент натяжения нити относительно центра есть величина постоянная. Контрольные вопросы к главе 4 4.1. Что такое равновесие системы материальных точек? Пусть в некоторой конфигурации в некоторый момент времени ускорения всех точек системы обратились в нуль.
Можно ли такую конфигурацию считать положением равновесия? 4.2. Может ли стационарная линейная дифференциальная связь быть неоднородной? 4.3. Зачем в интегрируюших кинематических механизмах берут колесико с острым краем? 4.4. Какой результат получится, если при измерении площади топориковым планиметром начальную точку обвода взять не внутри, а вне обводимого контура? 4.5. Сформулируйте критерий того, что заданная дифференциальная связь нелинейна по скоростям. 4.6. Почему для пфаффовой системы нельзя построить интегральную поверхность размерности большей, чем и — т, где и — размерность пространства, гп — число уравнений? 4.7.
Для произвольной пфаффовой системы указать метод построения двумерной интегральной поверхности. Глава 4. Аналитическая статика системы 374 4.8. С помощью теоремы Фробениуса показать, что связь з агИЧг+ агйЧг+ озфз = О, а; = ~~~ аОЧ1, дог(аО) 11 О, 1=г с постоянными коэффициентами аб голономна тогда и только тогда, когда матрица (аи) симметрична. Найти соответствующую геометрическую связь. 4.9. С помощью теоремы Фробениуса проанализировать, голономна или неголономна система связей, возникающая при описании качения без проскальзывания абсолютно твердого шара по абсолютно твердой абсолютно шероховатой плоскости.
4.10. Доказать, что разложение произвольного вектора ~ Е В" по базисным векторам ои имеет вид С = ~,", гон(к)сц, где ж— соответствующие базисные формы (см. г 4.5). 4.11. С помощью процедуры расширения пространства Е(г1) найти голономную связь в системе ыг = МЧо — Чо~1Чг + Ч~гЧг4Чг = 0 мг = 4Чо+ Чз~1Чг = О. 4.12. Предположим, что геометрические связи учтены с помощью вы Ражений г„= г„(Чм...,Ч„,1), и кРоме того система стеснена неголономными связями Фу(т„,ч„,1) = О, у = 1,...,пг < и. Выразить множество виртуальных перемещений через вариации бЧм..., 6Ч„.
4.13. Две материальные точки соединены стержнем постоянной дли- ны и могут двигаться по плоскости так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Как будет направлена реакция плоскости, если связь предположить идеальной? 4.14. Привести примеры, показывающие, что формулировку теоремы 4.7.1 ослабить невозможно. 4.15. Показать, что равенство уровней жидкости в сообщающихся сосудах есть следствие принципа Торричелли. 4.10. Доказать, что способ построения нормали к кривой, получен- ный в примере 4.7.3, справедлив, когда некоторые из заданных кривых С; или все из них суть геометрические точки.
375 Контрольные вопросы к главе 4 4.17. Как будет работать способ построения нормали к кривой, полученный в примере 4.7.3, если в качестве кривых С~ и Сг взять а) прямоугольные декартовы оси координат, Ъ) произвольные аффинные оси координат. 4.18. Указать механический смысл обобщенной силы, соответствующей координате д, в случае, когда а) координата д означает поступательное перемещение всей системы в направлении единичного вектора е, Ъ) координата д означает вращение всей системы на угол д вокруг единичного вектора е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
