1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 61
Текст из файла (страница 61)
4. 7. Принцип виртуальных перемещений Когда заданы голономные связи, то лагранжевы координаты могут быть найдены с помощью описанной выше процедуры. Однако это не единственно возможный способ. В частности, чтобы задать голономную систему, бывает достаточно, не выписывая уравнений связей, выбрать лагранжевы координаты оы..., во и указать соответствие г;=г(ды...,д„), 1=1,...,Ф.
П р и м е р 4.7.4. Пусть система представляет собой жесткий материальный стержень, могущий вращаться в плоскости вокруг одного из своих концов. Очевидно, что задание угла поворота полностью определяет положение такой системы, и этот угол может служить ее лагранжевой координатой.О Определение 4.7.2. Число лагранжевых координат называется числом сгиеиеней свободы системы материальных точек, на которую наложены голономные связи. В частности, в примере 4.7.4 имеем систему с одной степенью свободы.
Пусть значения лагранжевых координат дм..., до определяют некоторую конфигурацию голономной системы. Другую конфигурацию этой системы зададим с помощью координат йг + бам..., д„+ бд„. Пространство виртуальных перемещений Т совпадает с касательным пространством поверхности, выделяемой связями. Поэтому виртуальные перемещения материальных точек можно выразить как линейные комбинации касательных векторов: дг„ бг„= у —" бй;, д71 Необходимое и достаточное условие равновесия под действием актив- ных сил Р„принимает вид Определение 4.7.3. Величины М дг„ д дд; носят название обоби1енных сил. Глава 4.
Аналитическая статика системы 352 Теорема 4.Т.4. Для равновес я системы материальных точек с голономнылеи связями необходимо и достаточно, чтобы Я~ =О,...,Я„ееО, т.е, в положении равновесия должны быть равны нулю все обоб- щенные силы системы. Доказательство.
В рассматриваемом случае принцип виртуальных перемещений представляется в виде и бабце = О. При этом бо; могут быть выбраны произвольно,П 3 4.8. Уравнения равновесия абсолютно твердого тела. 1'еометрическая статика Структура множества виртуальных перемещений точек абсолютно твердого тела определена теоремой 2.10.1 о дифференциале вращения и теоремой 2.3.1. Из них следует, что все виртуальные перемещения точек тела даются формулой бг'„= бг,+Ф хг„, где бг, — произвольный вектор смещения полюса О, совпадающего с некоторой точкой тела, г„— радиусы-векторы точек тела, имеющие начало в полюсе О, г'„— радиусы-векторы точек тела в неподвижном пространстве, Ф вЂ” произвольный вектор дифференциала вращения. Теорема 4.8.1.
Абсолютно твердое тело под действием активных сил х'„, о = 1,, 1з', будет находиться в равновесии тогда и только тогда, когда равны нулю главный (сулемарный) вектор и главный (суммарный) момент этих сил относительно какого- нибудь полюса О: М Ф к', =О, ~~ г„х г„=О. Доказательство. Воспользуемся принципом виртуальных перемещений, согласно которому для равновесия твердого тела необходимо и достаточно выполнение равенства К й'„бг'„= 0 ею1 333 4.8.
Уравнения равновесия абсолютно твердого тела для любого виртуального перемещения точек тела. Подставив выра- жение для бг'„, получим й'„бг,+~ Р„(Фхг„)=О, и=! или, воспользовавшись свойствами смешанного умножения, ьч ьг бг, ~~3 Р„+ Ф ~~ь г„х Р„= О. »=1 и=1 Так как это равенство должно быть справедливым при любых векторах бг, и Ф, приходим к выводу, что множители при них равны нулю.
П Следствие 4.8.1. В качестве ььолюса при составлении условий равновесия можно принять произвольную точку твердого тела, Доказательство. Сделаем переход от полюса 0 к произвольной точке А: г„ = гл + г„, и = 1,...,133, где все г„начинаются в точке А. Составим условие равновесия, как того требует теорема 4.8.1; !ч ьг ге ьч !ч Г» = О, ) Ги ХГ» ил ~~ 1ГА+Ги)Хи» = ГА Х ~~ Ги+~~ к»Хи» = О. и=! »=1 »=1 »=1 Учитывая равенство нулю главного вектора сил, видим, что при рав- новесии имеет место тождество г„х г'„= ~~ г, х Г, = О.П »=1 и=1 Следствие 4.8.2. В задачах о равновесии твердого тела допустимо заменять исходную систему активных сил другой системой, имеющей тот лсе главный вектор и тот лсе главный момент относительно выбраииого полюса, что и исходная. В этом смысле сила, приложенная к абсолютно твердому телу, может интерпретировапьься как скользящий вектор, а стаепика твердого тела вполне исчерпывается теорией скользящих векторов ьсм.
З !.х). Методы решения задач о равновесии с применением теории скользяших векторов составляют раздел механики, называемый геометрической статикой. 23 — 3503 Глава 4. Аналитическая статика системы 354 Исходным пунктом геометрической статики служат условия равновесия свободного твердого тела: главный вектор Е и главный момент Ь, сил этой системы должны обращаться в нуль для любого полюса О. На основе этого условия можно ввести понятие об эквивалентных системах сил.
Определение 4.8.1. В данной совокупности сил Я заменим все силы равными им по модулю и противоположными по направлению. Полученную совокупность обозначим Я. Две совокупности сил 5~ и Яз называются эквивалентными, если составная совокупность Я~ и Яз или 5~ Ц Яз, будучи приложенной к твердому телу, оставляет его в равновесии. Тем самым эквивалентные совокупности сил представляют собой эквивалентные системы скользящих векторов. Любая теорема в теории скользящих векторов находит свое отражение в статике твердого тела. В частности, справедлива следующая теорема. Теорема 4.8.2.
При инвариантах (см. з 1.б), отличных от нуля, система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной результирующей силе (главному вектору) и одной результирующей паре (главиому моменту). При специальном вьеборе полюса (если он взят на оси винта) результирующая сила и плоскость результирующей пары перпендикулярны друг другу. Лемма 4.8.1. Наложение новой связи не нарушает равновесия системы материальных точек. Доказательство. Наложение новой связи лишь стесняет простор для выбора виртуальных перемещений.
Множество виртуальных перемещений 'Те для системы с добавочной связью принадлежит множеству Т для системы без добавочной связи. Если принцип виртуальных перемещений будет выполнен для любого 1бг„, ы = 1,..., У) б Т, то он будет выполнен и для любого 16г„, и = 1,..., У1 б Т,,О Теорема 4.8.3. Любая система материальных точек (деформирующаяся или нет) обязана в своем положении равновесия подчиняться всем условиям, найденным для твердого тела. Доказательство.
В соответствии с леммой 4.8.1 равновесие рассматриваемой системы материальных точек не нарушается, если к ней добавить столько и таких связей, чтобы она превратилась в абсолютно твердое тело, П Следствие 4.8.3. Применяя условия равновесия абсолютно твердого тела сначала ко всей системе в целом, а затем к специально 4.8. Уравнения равновесия абсолютно твердого тела 358 выбранн м ее часпгям, моэюно получить соотношения, полностью определяющие равновесие системы. Пронллюстрнруем сказанное примером.
П р и м е р 4,8.1. Два одинаковых весомых стержня АВ и АС соединены идеальным одностепенным шарниром в точке А (рис. 4.8.1) и помещены в вертикальной плоскости. Концами В и С стержни упираются в гладкую горизонтальную подставку. Чтобы удержать стержни от падения, концы В и С привязаны одинаковыми однородными нерастяжимыми нитями к серединам О и Е противоположных стержней, Найти отношение натяжения нити к весу одного стержня. При выписывании уравнений равновесия сначала вся система рассматривается как твердое тело, и соответствующие уравнения позволяют найти внешние силы, обеспечивающие равновесие.
Изучение равновесия отдельных фрагментов системы позволяет определить внутренние силы в положении равновесия. Если силы задав ны, то те же уравнения позволяют С найти другие неизвестные. 0 В М Рис. 4.8.1. Равновесие стержней Р е ш е н и е. Рассматриваемая система плоская. К ней приложены силы веса Р1 = Р2 — — Р стержней, 'Г1, Т2, Т~1, Т~2 — Реакции нитей, 1ь1, Н2 — реакции подставки, п1, п2 — реакции шарнира на правый и левый стержни, Термины, использованные в условии задачи, математически означают следующее.
1. Нити однородные и нерастяжимые; натяжение нити постоянно вдоль нити Т1 = -Т1, Т2 = -Т2. 2. Подставка гладкая: реакции 81 и 82 направлены вертикально. 3. Шарнир идеальный одностепенной: он допускает относительное движение стержней только в плоскости чертежа. При этом шарнир не оказывает сопротивления изменению угла между стержнями (отсутствует момент сил трения). По третьему закону Ньютона силы п1 и п2 противоположны. По симметрии примем их горизонтальными. Для равновесия механической системы совокупность скользящих векторов сил должна быть эквивалентна нулю. При этом не важно, деформируема система или нет. Сначала примем, что вся система стержней Глава 4. Аналитическая статика системы есть твердое тело, и запишем, что главный вектор и главный момент всех сил равен нулю: /! 1 В1+Вг — 2Р = О, 2Вг)совд — Р ~ — + — +! совд = О, '1,2 2 где ! — длина одного стержня.
Первое соотношение означает равенство нулю суммы проекций всех сил на вертикальную ось Оу. Второе соотношение означает равенство нулю главного момента всех сил относительно точки В. Исключены взаимно уничтожающиеся силы Т1, Т1, Тг, Т~г, п1, пг. Соотношение, выражающее равенство нулю проекции главного вектора сил на горизонтальную ось, не содержит неизвестных и потому здесь не выписано. Иэ уравнений равновесия всей системы как абсолютно твердого тела следует В1 = Вг = Р. Рассмотрим теперь часть системы, а именно стержень АС.
На него действуют силы пг, Р, зьг, Тг, Тг. Система этих сил должна быть эквивалентна нулю. За полюс выберем точку А: пг — Тг соз 1р — Тг соз 1р = О, Вг — Тг Ип 1Р— Р+ Тг зги Уг = О, Вг!сов  — Р- сов — Тг$вт( — 1р) — Тг$зт( — 1р) = О. 2 Первые два равенства выражают проекции главного вектора сил на оси Ои и Оу соответственно. Третье равенство задает главный момент всех сил относительно точки А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
