1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Теорема 4.5.4. Отыскание интегралов произвольной системы дифференциальных связей, содержащих тп уравнений, равносильно решению и+ 1 — т уравнений в частных производных ду ду А~1 = сто; — +...+а„,— = О, т = т,...,п. 'ду. "' ™ду„= 4.5. Выявление голономных связей 329 Доказательство. Пусть у есть интеграл соответствующей пфаффовой системы.
Это эквивалентно тому, что полный дифференциал аг' и формы пфаффовой системы ыо ° ° ° ыт-1 одновременно обратятся в нуль. Значит, Но формы ип(Ис1) для т' = тп,..., и можно выбрать произвольно,О Следствие 4.5.2. Если у" есть интеграл системы дифференциальных связей, то у удовлетворяет уравнениям [А„,А„]~= О, о,р= т,...,п.
Доказательство. Если З есть интеграл системы связей, то имеем тождества А;у = О, т = тп,..., и. Линейный же оператор, примененный к функции, тождественно рав- ной нулю, снова дает нуль. Поэтому Аг(Аа~) = О, Ак(Ат.~) = О, р,тт = тп,...,п. В итоге [А„, Ан]1 = А„(Ак~) — Ан(А,() = О. Следствие 4.5.3. Если н системе уравнений в частных производных АеУыО, т=тп,...,п, присоединить уравнения того же вида, составленные из коммутаторов операторов, входяи1их в систему, то расширенная система имеет те же интегралы, что и исходная. Сформулируем алгоритм выявления интегралов системы дифференциальных связей. 1.
Находится какая-нибудь совокупность линейно независимых векторов сгт,..., сг„, задающих пространство Е(е1) допустимых дифференциалов системы связей. 2. По векторам сх ,...,сг„ составляются линейные операторы Глава 4. Аналитическая статика системы 330 3. Выполняется процедура расширения пространства Е(о). А именно, вычисляется коммутатор каких-либо операторов набора п. 2.
Если этот коммутатор линейно не зависит от исходного набора операторов, то он добавляется к этому набору, и над новым набором снова выполняется процедура расширения пространства Е(Ч). Если составленный коммутатор линейно зависит от операторов набора, получившегося на очередном шаге процедуры расширения, то этот коммутатор не принимается во внимание и составляется коммутатор какой-либо иной пары операторов. 4. Процедура расширения пространства Е(Ч) продолжается до тех пор, пока число линейно независимых линейных операторов не перестанет увеличиваться от присоединения их коммутаторов.
Теорема 4.5.5. Процедура расширения просгпранства Е(Ч) конечна. Если она заканчивается, когда число линейно независимых операторов равно и+ 1, то в системе дифференциальных связей голономные связи отсутствуют. Если число линейно независимых операторов, полученньех процедурой расширения, меньше чем и + 1, то соответствующая всем этим операторам пфаффова система вполне интегрируема, а ее уравнения образуют голономные связи рассматриваемой механической системы.
Доказательство. Согласно следствию 4.5.3, применение процедуры расширения пространства к.(Ч) приводит к тому, что расширенная система дифференциальных уравнений в частных производных Аь1= . =А»1=0, й<т, имеет те же интегралы, что и исходная. Число же линейно независимых операторов А; возрастает, а число уравнений соответствующей им пфаффовой системы уменьшается. Число линейно независимых векторов се; не может превосходить размерности пространства Вп+'. Значит, процедура расширения пространства ь(Ч) конечна.
Возникновение ситуации, когда число линейно независимых операторов А, не увеличивается от добавления коммутаторов, означает, что все коммутаторы линейно разлагаются по операторам системы. Согласно следствию 4.5.1, такое множество операторов определяет некоторую вполне интегрируемую пфаффову систему. При расширении пространства х;(Ч) число уравнений Пфаффа уменьшается, причем согласно следствию 4.5.3 ни одного интеграла не пропадает. Пусть расширенная система дифференциальных уравнений в частных производных имеет и+ 1 — (е линейно независимых уравнений, причем (е < т. Тогда вновь полученная пфаффова 4.5.
Выявление голономных связей 331 система состоит из й уравнений. Вполне интегрируемая система Гг уравнений Пфаффа имеет ровно и интегралов Присоединяя к гг уравнениям 4~а = .. = аде-г = О линейно независимые уравнения исходной системы, приведем ее к виду гКа =... = 4Уе-г = О, Ф "'е = ="'т-г =". Таким образом, заданная система связей оказывается эквивалентной Гг голономным связям Уа = са,, Ь-1 = се-1 и пг — к неголономным связям / / ые —— ...—— ы,=О. П р и м е р 4.5.1.
Пусть в пространстве Ве задана система двух дифференциальных связей: ыа = ЧадЧа+ Чг ЙЧ2+ ЧгЙЧг = О, ы1 = дЧа + Чз пЧ2 — О. Очевидно, что связь ыа — голономна, а связь ыг — неголономна. Получим этот результат с помощью процедуры расширения. 1. Легко проверить, что пространство допустимых дифференциалов Е(с1) рассматриваемой системы натянуто на линейно независимые векторы сег = (О О,О,1), сез = (Ч2Чз -Чг (Чг — ЧаЧз),О) 2. Векторам схг, аз соответствуют линейные дифференциальные операторы д д д д Аг = —, Аз = ЧгЧз — — Чг — + (Чг — ЧаЧз) —.
дЧз дЧа дЧ2 дЧг ' 3. Составим коммутатор д д [Аг, Аз] = Чг — — Ча —. дЧа дЧ2 Глава 4. Аналятическая статика системы 332 Он линейно не зависит от операторов Аг, Аз. Рассмотрим расширенный набор линейных операторов: Аг = [Аг, Аз], Аг, Аз. Образуем из них всевозможные коммутаторы: д д [АыАг] = О, [Аг Аз] = дг — + да —, [Аг Аз] = Аь дда ддг Видим, что существует линейная комбинация даАз + [дг — дада)Аг + да[Ам Аз] = О. Поэтому все коммутаторы операторов Аь Аг, Аз линейно выражаются через сами эти операторы. Процесс расширения допустимого пространства закончен.
Расширенное пространство натянуто на векторы сег = [дг,О,-да,О), сгг = [0,0,0,1), сгз = (дгдз, -дг, дг — дадз, 0) Подстановкой можно уБедиться, что все эти векторы удовлетворяют вполне интегрируемому пфаффову уравнению ыа = О, которое тем самым оказалось выявленным с помощью процедуры расширения. Исходная система эквивалентна одной голономной связи до+д +дг =с и одной дифференциальной неголономной связи Ыда+ дзНдг = О, где с — произвольная постоянная, определяемая начальными значени- ями координат системы.О 3 4.6. Идеальные связи.
Виртуальные перемещения Предположим, что механическая система состоит из гт' материальных точек в пространстве Ез, движения которых стеснены как геометрическими, так и дифференциальными двусторонними связями. Всякая геометрическая связь Дты...,гаг,т) = О, 4.6. Идеальные связи. Виртуальные перемещения 333 где г|,,..,гл — радиусы-векторы точек, 1 — время, приводится к дифференциальной связи вида — ч„+ — = О, ду' ду , дг„" дг где обозначено г„= ч„. В дальнейшем изложении будем предполагать, что эта операция выполнена над всеми геометрическими связями, так что полная совокупность связей учитывается следующей системой независимых уравнений: Ф (гы...,г,ч, чы..., ч ч,1) = О, у = 1,..., т. Связи оказывают на материальные точки системы пассивное воздействие (реакции связей — пассивные силы).
Они влияют на характер движения, заставляя его параметры в каждый момент времени удовлетворять уравнениям связей. Структура связей влияет и на положение равновесия, запрещая точкам смещаться в одних направлениях и не препятствуя смещению в других. Воздействие со стороны связей на и-ю материальную точку системы будем выражать реакцией связей В.„ (определение 3.8.1). Необходимым и достаточным условием того, что уравнения связей выполняются в каждый момент времени в силу уравнений движения отдельных материальных точек, служит существование реакций, удовлетворяющих следующей системе линейных уравнений (см. 3 3.8): дФ В.„ — — =Ьу, у=1,...,т, т<ЗР, , дч„т„ и=1 где дФ; Г„~ дФ, дФЗ у=1,...,т.
При т < ЗИ решение этой системы неоднозначно. В пространстве Ез выберем декартов ортонормированный репер Оезезез. Чтобы в Е задать положения всех материальных точек сиз стемы (задать ее конфигурацию), достаточно назначить 31Ч скалярных величин — координат радиусов-векторов г„точек. Каждая из этих координат может быть отложена на отдельной оси ЗИ-мерного координатного пространства. Такое пространство назовем конфигуранионным пространством системы. Отдельная конфигурация системы изображается одной точкой конфигурационного пространства. Глава 4. Анальетическал статика системы 334 Чтобы выявить структуру множества решений системы уравнений относительно реакций, в пространстве конфигураций определим следующие векторы х = (х! . хзл!), б = (б!,...,бзл!), а = (а !,...,а зл!) с компонентами 1 дФ.
ад= — — ! еы ,/т„дч„ И,„еь х; =, б! =,~т„бг„еы ! = й+ 3(и — 1), и = 1,2,3, и = 1,...,!"!', у = 1,...,т, и евклидово скалярное произведение зл (а.,х) = ~~! а;х;. Исследуемая система уравнений будет содержать неизвестный вектор х и перепишется следующим образом: (а,х)=б, 1=1,...,т. В силу независимости исходной совокупности связей матрица этой системы имеет ранг, равный т. Решение х можно искать в виде х = ~ Луаб + х„ дФ,. — бг,=О, 1=1,...,т. дъ„ он! где вектор хе ортогонален всем векторам а . Постоянные Л.
определяются однозначно, так как матрица системы уравнений для Л, есть матрица Грама совокупности линейно независимых векторов а!,...,а , Вектор х, из уравнений системы связей определить невозможно. Это означает, что система связей будет удовлетворена прн любом векторе х,. Определение 4.6.1. Нормальным пространством системы дифференциальных связей назовем множество Й, состоящее из наборов (Й.„, и = 1,..., Х) векторов реакций таких, что соответствующий каждому набору ЗН мерный вектор х принадлежит линейной оболочке 1!п(а!,...,а„,) векторов а!,...,а,„. Определение 4.6.2. Пространством Т внр!нуальнмх перемещений назовем множество наборов (бг„, и = 1,..., Н) векторов перемещений, удовлетворяющих системе уравнений 335 4.6.
Идеальные связи. Виртуальные перемещения Векторы набора 1бг„, и = 1,..., У), удовлетворяющего этой системе однородных линейных уравнений, называются впртпуальпымп перемеп1епплмп системы материальных точек. Пространство Т имеет размерность ЗАт — т. Другими словами, ЗАт — тп дифференциалов координат точек могут быть выбраны произвольно, а остапьные тп будут их линейными комбинациями. Вектор б, соответствующий набору (бг„, и = 1,..., Х) виртуальных перемещений, ортогонален всем векторам ат,..., а дФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
