1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 54
Текст из файла (страница 54)
2 Г 2 Г' у 2Г Учтем, что интегралы по замкнутому контуру от выражений, представляющих собой полные дифференциалы, равны нулю. Следовательно, И(г х т) = О. Если к тому же отрезок АВ не делает в плоскости Охр полных обо- ротов, то Поэтому (Яз — 51)и= ! (е'г) х т, где 1 = а + Ь есть длина отрезка. Далее (Нг) х т = (дг ап 4 — йусов Я и. Коэффициент при и в правой части последнею равенства равен перпендикулярной к отрезку АВ составляющей смещения точки С. С помощью кинематической связи значеиие этого коэффициента может быть превращено в величину угла поворота вокруг оси, направленной вдоль стержня.
С этой целью возьмем колесико с острым краем (режущее колесико) и заставим его катиться по плоскости О*у. Колесико не будет проскальзывать ии в направлении касательной к своей окружности, ни в направлении, перпендикулярном к касательной 4 3. Интегрирующие механизмы 309 Перемещение точки соприкосновения режущего колесика с опорной плоскостью происходит в направлении, перпендикулярном стержню АВ. При этом скорость колесика в точке его соприкосновения с опорной плоскостью равна нулю. В результате суммарный угол поворота колесика при обводе точкой А контура Сы а точкой В контура Сз пропорционален разности площадей, ограничиваемых контурами Сз и С1 соответственно. Рис. 4.3.2.
Режущее колесико (рис. 4.3.2). Пусть ось 010з колесика удерживается в горизонтальном положении. Положение колесика можно задать углом у поворота его вокруг оси 010з, углом ф между осью 010з и осью Ок и координатами к, у точки прикосновения, нли, что то же, центра колесика. Дифференциал смещения точки прикосновения колесика к плоскости выразится через дифференциал у следующим образом: 4к = Вз1пу 4у, Ну = — ВсовУЙр. Отсюда найдем сЬ з1 и ф — Ну соз 4> = В Н~р. Значит, если в точку С стержня АВ, изображенного на рис. 4.33, поместить колесико радиуса В так, чтобы стержень АВ проходил через центр перпендикулярно плоскости диска, то разность площадей внутри контуров С1 и,Сю описываемых концами А и В стержня, выразится формулой Вг — В1 — — ИЬ~Р, где Ьу — полный угол поворота колесика при однократном обводе точками А и В контуров С1 и Сз соответственно. Пусть теперь один конец отрезка описывает контур, охватывающий область, площадь которой желательно определить, а второй принужден оставаться все время на заданной разомкнутой кривой.
Тогда, очевидно, искомая площадь равна Приборы, в основу конструкции которых положен указанный принцип, называются планимет рами. Если разомкнутая кривая есть Глава 4. Аналитическая статика системы 310 дуга окружности, имеем полярный планиметр, а если прямая — прямолинейный планиметр.
В топориковом планиметре стержень АВ параллелен плоскости колесика. Штифтом, расположенным в точке А, обводят контур Е, ограничивающий измеряемую плошадь. Величина измеряемой плошади практически пропорциональна углу отклонения д стержня от первоначального положения.
Рис. 4.3.3. Топориковый планиметр Планиметры суть простейшие аналого-вычислительные приборы, широко и весьма эффективно используемые в практике вождения морских судов. Простая и целесообразная конструкция планиметра предложена А.Н. Крыловым. Это так называемый топориховмй планиметр (рис. 4.3.3). Он состоит из стержня АВ длины 1, на конце В которого помещено режущее колесико с осью, перпендикулярной стержню. Плоскость колесика содержит стержень АВ. Колесико катится по плоскости Оху. На конце А стержни имеется обводной штифт.
Поместим штифт в какую-нибудь внутреннюю точку 0(рис. 4.3.3) области, ограниченной контуром Е, площадь Я которой требуется измерить. Из точки 0 штифт переведем в точку Оы расположенную на контуре С,обведем контур С против хода часовой стрелки, вернемся в точку 01 и иэ нее — вновь в точку О. При таком движении штифта скорость точки соприкосновения колесика с плоскостью может быть направлена только вдоль стержня АВ.
Поэтому в процессе обвода (Иг х т) = О или е1хэ1п4 — Иусов~У = О. Пусть стержень после возвращения штифта в точку О образует угол д относительно своей первоначальной ориентации, выделенной пунктиром на рис. 4.3.3. Процесс измерения может быть закончен, только когда обе точки А и В возвращены в исходное положение. Точка А совпала с исходной точкой О, а точка  — нет. Чтобы 4.4. Критерия голономностн системы связей возвратить точку В, достаточно повернуть стержень на угол д вокруг точки О. При этом (дг х т) =! мдд. Следовательно,  — Яв =( Ьд, где Ян — площадь, описываемая точкой В. Практически эта площадь оказывается небольшой, и ею пренебрегают, полагая (хАд О 4.4.
Критерии голономности системы связеИ Теорема 4.4.1. Для того, чтобы систему дифференциальных связей моззсно было представить в конечном виде, необходимо, чтобы она была эквивалентна системе линейных связей. Доказательство. Предположим, что заданная система дифференциальных связей эквивалентна системе геометрических связей Л(г,..., г„, 1) = О, у = 1,..., т. Эквивалентность означает, что множество скоростей точек системы, определенное системой геометрических связей, совпадает с множеством скоростей, определенным исходной системой дифференциальных связей. По все множество скоростей, допускаемых системой геометрических связей, задается как множество решений системы линейных дифференциальных связей вида — ч„+ — ' = О, у ее 1,..., т.О дуй д,() ,дг, " д1 Таким образом, чтобы получить достаточные условия интегрируемости системы связей, следует рассматривать дифференциальные связи, линейные по скоростям: Аы ч„+В; =О, 1=1,...,т.
У Предположим, что все радиусы-векторы г„материальных точек системы можно задать с помощью независимых скалярных координат ч1 у», так что = ги(йе,..,, В»,1), Глава 4. Аналитическая статика системы 312 В частности, в качестве ды ., ., д„можно взять коэффициенты разложений г„по базисным векторам пространства. Очевидно, что тогда и = ЗМ. Если материальные точки стеснены удерживающими геометрическими связями Д = Д (т, г1,..., гн) = О, г' = 1,..., т', причем т' < 31т', то уравнения этих связей образуют незамкнутую систему алгебраических уравнений. По теореме о неявно заданных функциях решение ее неоднозначно. Множество решений можно описать с помощью набора свободных параметров дь...,д„, п < ЗФ, произвольное задание которых обеспечивает принадлежность материальных точек геометрическим связям.
П р и м е р 4.4.1. В твердом теле расстояния между любыми двумя точками сохраняются. Положение твердого тела, вращающегося в пространстве вокруг неподвижной точки, однозначно определяется (см. стр. 91) тремя углами Эйлера. Их можно принять за независимые координаты д. = д.О Итак, пусть координаты ды..., д„тем или иным способом назначены. Очевидно, что г1гм т~ дтпл ° дгн Подставив зти выражения в уравнения линейных дифференциальных связей, найдем ггдду+ага=О 1=1 т Е 1=1 где коэффициенты выражаются формулами Ф дг„ аО = а; (ды...,д,,1) = ~~~ Ага и за д дг„ а о = а о(дг,,дь,1) = В + у А и д1 Для симметрии записи обозначим 1 = до и представим уравнения связей в виде равенств нулю дифференциальных линейных форм ач(Й1) = ~~~ ад Иду = О, 1 = 1,..., т < и, о=о 4.4. Критерии голономносгн системы связей 313 где от1(411) — сокращенное обозначение левой части соответствующего уравнения связи.
Получили так называемую сиетиему уравнений 17фаффа относительно дифференциалов координат. В дальнейшем будем предполагать, что уравнения этой системы линейно независимы. В каждой точке 11 пространства 41"+1 координат во, от,..., о„система Пфаффа выделяет гиперплоскость Е(11) допустимых (удовлетворяющих системе) дифференциалов (жуо, т(дт, ...,ид„).
эта гиперплоскость имеет размерность и + 1 — ти. В пространстве ть"+1 рассмотрим р-мерную поверхность оР, т.е. множество точек м(до, от,..., в„), выделяемое уравнениями ЧΠ— УО(и1 ир) ° ° Чл — Чв(и1 ° ° » ир) где ит,...,ир — независимые паРаметРы. МатРицУ частных пРоизводных для этих уравнений будем считать имеющей максимально возможный ранг р. Дифференциалы смешений по поверхности из данной ее точки определяются выражениями Ну1 = ~ ~— Ии„, 1'=0,1,...,и. дУ1 ди, тем самым векторы дифференциалов (ыоо, дат,..., 1(о„) суть линей- ные комбинации р линейно независилтых векторов с коэффициентами аи„.
Другими словами, векторы дифференциалов смещений по р-мерной поверхности принадлежат р-мерному линейному пространству С' с базисными векторами йт,...,йр. Пространство .Р назовем касательным к поверхности ор. Определение 4.4.1. Поверхность оР называется интегральной для пфаффовой системы, если ее касательное пространство ьр в каждой точке принадлежит гиперплоскости Е(11) допустимых дифференциалов.
Одномерная интегральная поверхность называется интегральной кривой. Ясно, что число измерений касательного пространства для интегральной поверхности не превосходит и + 1 — т (числа измерений гиперплоскости Е(т1)). Определение 4.4.2. Пфаффова система Глава 4. Аналитическая статика системы 314 называется вполне инпеегрируемой, если через каждую точку пространства Гьп+ проходит (п + 1 — т)-мерная интегральная поверхность. Теорема 4.4.2. Система евязев голономна тогда и только тогда, когда соответствующая система уравнений Пфаффа вполне интегрируема. Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
