1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 50
Текст из файла (страница 50)
3 3 Интегрируя их с соблюдением начальных условий, получим *2 =0, уг = — д! в)п2д, 1 12 4 гг = — д! сов д. 6 Ограничимся первыми тремя членами разложения закона движения по степеням малого параметра: в ы — -ыд! сов д, у щ — ы д! в)п2д, з вв Н вЂ” — д! + — ы д! сов д. 3 ! 2 4 ! 2 ! 2 4 2 3 12 2 6 я~+ у + (з — !) — !2 = О.
Скалярные уравнения движения имеют вид /42 Иу 2гпы ~ — совд+ — вшд + Лв, ~д! й ~г„ ,~г пв — 2ты — в)п д+ Лу, сМ !2 4!2 дя -2пкв — сов д — пгд + Л(з — !), й Из найденных формул следует, что, начав падение без начальной скорости относительно вращающейся Земли, материальная точка отклоняется от вертикального направления к востоку и югу. Ньютон первым предсказал это отклонение.
Оно было подтверждено экспериментально в 1795 г. 3 а д в ч а 3.14.3. Маятник Фуко — это сферический маятник, совершающий относительное движение в системе отсчета, жестко связанной с вращающейся Землей. Систему отсчета выберем такой же, как при изучении свободного падения тяжелой материальной точки (см. рис. 3.14.1).
Предположим, что радиус сферического маятника равен 1, а точка подвеса маятника находится на оси 02 на расстоянии ! от начала координат. Координаты материальной точки во все время движения стеснены уравнением связи 286 Глава 3. Динамика поступательного движения где члены, содержащие множитель Л, выражают реакцию связи. Будем изучать малые колебания, возникающие при отклонении маятника от нижнего положения равновесия, когда начальная скорость отсутствует. Термин "малые колебания" означает, что должно быть выполнено неравенство г г+ г«1г Из уравнения связи найдем 1)г 1г ! * +У или с учетом того, что г < 1, г — 1=-! 1— Так как р мало, то приближенно получим хг+уг г 21 Для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений спра- ведлив интеграл энергии -(хг+ у + г~) + дг = И.
2 Учтем, что начальная скорость равна нулю: г г 2 -(*' + у' + д ) = д(го — г) Значит, для любого момента времени справедливо неравенство го > г(1) > О. Другими словами, малое начальное отклонение маятника влечет его малые колебания в последующем движении. Из интеграла энергии заключаем также, что -(х + у ) < дго — (х + у ) « —. г д г г д1 21 Следовательно, при малых колебаниях и скорости будут малыми: х+у «д1. 3.!4. Силы инерции из-за вращения Земли 287 Величины у, й , у ям — ум — ~ ям — ум— 1 ' Т ,„~д!' ,тд1 будем считать малыми первого порядка ио сравнению с единицей. Тогда величина г г г = — и-(в +у ) 1 2 имеет второй порядок малости.
Дифференцируя приближенное вы- ражение для г, получим ° г г кг -(яд+ уу), г ге -(й + у + ей+ уу). 1 ' 1 Поэтому величина г, так же как и величина г, в силу уравнений движения имеет второй порядок малости. Сопоставим проекцию силы Кориолиса на ось Ог с ускорением силы тяжести: Козффициент при км есть отношение угловой скорости вращения Земли к циклической частоте математического маятника той же длины, что и радиус маятника Фуко. Чтобы зто отношение было близким к единице, радиус маятника должен составить 2 1Ое км, Реальная длина маятника может быть не более нескольких десятков метров. Отсюда ясно, что постоянную ы = ытД'д можно принять за малую величину, а кориолисовы силы инерции считать малыми второго порядка.
Из третьего дифференциального уравнения движения будем иметь с точностью до членов второго порядка малости тд Л = — —. 1 Удержим в первых двух дифференциальных уравнениях движения только малые первого и второго порядков: Н я 4у, тпд тп — = 2пке — з)пд — — в, т!1г 41 1 и~у Нк , тпд пг — = -2тть> — в)п д — — у.
т11г 4! Глава 3. Динамика поступательного движения 288 Представим уравнения движения в другой системе координат Охгуы вращающейся вокруг оси Ог по ходу часовой стрелки с угловой скоростью ы = ыв)пд. Имеем преобразование х = х! совы'1+ у! япы'1, у = — хг в(пы'1+ у! совы'1. По теореме Кориолиса 2.16.2 об ускорении в сложном движении получим х = х! совы 1+ у! вш ы 1+ 2ы у+ (ы')гх, у = — х! в1пы'1+ у! совы'1 — 2ы'х+ (ы')гу. С помощью этих формул уравнения движения приводятся к виду г - г х! = -ыгхы уг = -ыгум где ы~! — — (ы') + д/1.
Пусть в начальный момент времени 1 = 0 оси Оту и Охгуг совпадают и задано х=а, у=О, х=О, В системе координат Охду! при 1 = 0 будем иметь ! х! — — а, у! =О, х! —— О, у! =ыа. Решение уравнений движения, удовлетворяющее этим начальным условиям, записывается в виде хг = а совы!1, у! = а — япыг1. ы! Исключив время, найдем, что в осях Ох!у! проекция маятника на горизонтальную плоскость описывает кривую, близкую к эллипсу г уг 1+ 1 аг !г— а г ыг 1 Так как ы!/ы! < 1, большая ось эллипса лежит на оси Охм вдоль которой маятник имел первоначальное отклонение, а малая ось— на оси Оуы На экваторе, где д = О, эллипс вырождается в двойной прямолинейный отрезок между точками ( — а, 0), (а, 0). В системе 3,15.
Элементы теории удара координат Оку, жестко связанной с Землей, полученный эллипс вращается по ходу часовой стрелки с угловой скоростью ы' вокруг оси Ое. Это вращение отсутствует на экваторе и происходит с наибольшей угловой скоростью на полюсе. Первым, кто опытным путем проверил эти результаты, был французский ученый Фуко (1851 г.). Маятник Фуко имел массу 30 кг. Длина маятника составляла 67 м. Аналогичный маятник был построен в Петербурге в Исаакиевском соборе. '3 3.15. Элементы теории удара Когда к материальной точке кратковременно прикладывается значительная по величине сила, то возникает эффект, близкий к удару.
При этом должно выполняться определенное соотношение между силой и временем ее воздействия. Поясним сказанное примером. П р и м е р 3.15.1. Пусть на материальную точку массы и! в интервале времени (со,1!) действует постоянная сила Г. Движение точки будет равноускоренным. Найдем изменение количества движения Ы~ = птч; — тчо — — / Г п1 = П! — 1а)%', где ч! = ч(1!), чо — — ч(1о) — скорости точки в моменты 1! и 1о соответ- ственно. За тот же промежуток времени точка сместится на величину 2 ~ ~"~Ч г! — го = (1! — 1о)ча+ (1! — 1а) — = ~чо+ — ) !г1! — 1о). 2гл ~, 2гп ( Зафиксируем ЬС), Тогда, уменьшая (!! — 1а), можно добиться того, чтобы смещение точки за время воздействия силы было сколь угодно малым.
Модуль силы окажется большим, а приращение скорости— заданным Другими словами, можно добиться скачка скорости, практически не изменив положения точки в пространстве.О Процессы, реально происходящие при кратковременном и сильном механическом взаимодействии, могут быть достаточно сложными, а сила взаимодействия далеко не всегда будет постоянной.
Однако и в общем случае, когда нас интересует лишь закон движения материальной точки, эффект действия такой силы можно характеризовать лишь приращением количества движения, При достаточно малом времени взаимодействия смещение точки будет пренебрежимым. Определение 3.15.1. Ударным воздействием на материальную точку в некоторый момент времени называется скачок количества !а !зо! Глава 3. Динамика поступательного движения 290 движения (скорости), не сопровождаемый изменением радиуса-вектора точки.
Величина ЬЯ = Р называется ударом. Если рассматривать удар как результат действия некоторой силы Г, то эта сила должна удовлетворять равенству Р= Пгп С ГдС, —, м,,' !О где Со — момент нанесения удара, С > Со. Для любой конечной силы этот предел будет, очевидно, равен нулю. Ненулевое значение предела возможно, лишь когда функция Г(С) в точке Со имеет особенность.
Кроме того, по смыслу ударного воздействия при С ф Со должно быть Г = О. Функции Г(С), обладающие указанными свойствами, называются сингулярными. Они могут быть получены посредством предельного перехода. Рассмотрим, например, монотонно убывающую к Со бесконечную последовательность моментов времени С1>Сг». С >С+1». Со, СппС =Со.
Поставим ей в соответствие последовательность функций 0 приС <Со, 0 приС >Сь Интеграл от функции Г;(С) вычисляется по формуле 3 С вЂ” Со Р приСо<С<См — Г;(С) сСС вЂ” С| Со м Р при С > Сь Последовательность вектор-функций (Г,(С)) имеет единственную предельную "точку" — вектор-функцию Г(С), которая, очевидно, обладает требуемыми свойствами. В самом деле, Г(С) равна нулю всюду, кроме точки Со, где она принимает бесконечно большое значение. Далее вычислим интеграл от этой функции. С этой целью зафиксируем момент С > Со. По определению последовательности (С;) найдется такой номер п, что при всех С > и будем иметь Со < С; < С.
Следовательно, для всех С > и будет выполнено равенство 1; = Р. 291 3.15. Элементы теории удара Для предельной функции естественно принять 1(!) = Г(!)д! = 1пп Г;(!)д! = Р. Отсюда Таким образом, интеграл от построенной сингулярной функции Р(!) равен заданному импульсу Р и отличен от нуля, хотя х'(!) равна нулю всюду, кроме точки !о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
