1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Воспользуемся результатом первого этапа: Этап 3. Пусть имеются однородный шар радиуса В и массы М и материальная точка массы гп, расположенная от центра шара на расстоянии г. Разобьем шар плоскостями, перпендикулярными к прямой, соединяющей центр шара и точку гп. Пусть Р— одна из таких плоскостей.

Расстояние от центра 0 шара до этой плоскости обозначим в. Будем считать в > О, когда плоскость 'Р расположена между точками 0 и гп, и в ( О в противоположном случае. В сечении шара плоскостью Р получается круг радиуса 1 = с/Йг — вг, а расстояние у от точки гв до плоскости Р дается равенством у = г — в. С точностью до малых второго порядка слой, вырезаемый из шара соседними плоскостями указанного разбиения, имеет массу зм Мг = — и1 йя. 4тйг Используя результат второго этапа, получаем выражение для искомой силовой функции ЗМгп Г г Цг) = Х вЂ” / ~ гг — 2гв+ Яг — !ю — в)) йв. 2оэ / -я В зависимости от значения г следует рассмотреть два случая: Глава 3. Динамика поступательного движения 268 а) т > В.

Тогда т — х > 0 для всего интервала интегрирования. Поэтому знак модуля можно заменить скобками, и Мто (г(г) = з —. т б) т < В. Тогда по определению модуля будем иметь ЗМ «()=У 2В, =У 1 — '1(В+ ) -(В- ))-( +В)У=У ЗМпз ( 1 з ЗМтп г т ~ 2Вз ( Зт ) 2Вз ( 3)' Учитывая, что силовая функция определена с точностью до произвольной постоянной, получаем формулу, содержащуюся в утверждении теоремы.

П Следствие 3.11.1. Когда материальное тело малых размеров находится вне материального однородного шара (например, спутник Земли), то независимо от расстояния между ними силу припзязесения тела шаром можно получить, сосредоточив всю массу шара в его центре. Следствие 3.11.2. Два мапзериальных однородных шара независимо от расстояния между ними притягиватотся друг к другу с силой притяжения точечных масс, равнзнх массам шаров и сосредопгоченных в их центрах.

Замечание 3.11.3. Этапы, выделенные в доказательстве теоремы 3.11.4, имеют самостоятельную ценность. Вспомним, что закон электростатического взаимодействия точечных зарядов имеет вид закона Ньютона, когда вместо масс используются заряды, а вместо гравитационной постоянной — диэлектрическая проницаемость. Пусть точечный положительный заряд д находится между бесконечными противоположно заряженными пластинами. Примем, что первая пластина заряжена отрицательно с плотностью заряда — о. Расстояние от точечного заряда до первой пластины обозначим уы а до второй пластины — уг.

Цилиндром с осью, перпендикулирной к пластинам и проходящей через точечный заряд, вырежем в этих пластинах два круга радиуса 1. В соответствии с этапом 2 доказательства теоремы 3.11.4 силовая функция от воздействия кругов на точечный заряд будет выражаться формулой 2хо1 о1 Гз г Гг г П'(уы уг) =Уз(уз)+(Гз(уз) =)е — ~с/у~ +1 — )~уг +1 +Ьг~ — Ьз), )г ~~ з 3.12. Сферический маятник 269 где к — диэлектрическая проницаемость среды. Чтобы найти сило- вую функцию У для бесконечных пластин, следует выполнить пре- дельный переход У(уыуг) = 1пп У'(уыуг) = 2яйадЦуг) — !уг~). Пусть расстояние между пластинами равно в'.

Примем уг = уг — с1. Тогда (И при у1 <О; У(уг) = 2кйад ~ Н вЂ” 2у1 при О < у1 < И; — Н приу1 >Н. Таким образом, силовое поле отсутствует вне пластин. Между пла- стинами силовое поле однородно, а силы направлены перпендику- лярно пластинам. 3 3.12. Сферический маятник Т = — 1В~д + В~ ~м~ д гд~), 2 У = — тдВвгп д. Существует интеграл энергии Вгдг+ В'сов'д,вг = -2дВв)п д+ ь, где й — постоянная в силу уравнений движения. В нижнем положе- нии маятника имеем д = -к/2. Сферическим маятником называется материальная точка, которая принуждена под действием наложенных на нее связей двигаться по поверхности неподвижной сферы в поле силы тяжести.

Такая связь может быть реализована, например, с помощью жесткого стержня, соединяющего подвижную точку с центром сферы. Связь будем предполагать идеальной, так что на точку действуют сила тяжести Р и реакция связи г1, направленная по радиусу к центру сферы. Пусть начало координатного репера Ое1егев совпадает с центром сферы, плоскость векторов еы ег перпендикулярна силе тяжести Р, а вектор ез параллелен Р, так что Р = — тдез, т — масса точки, д — ускорение силы тяжести. Воспользуемся сферической системой координат 1рис. 3.12.1), в которой угол д характеризует широту точки на поверхности сферы, а угол д — долготу 1см. примеры 3.6.2 и 3.6.6), Поскольку радиус сферы В не изменяется, кинетическая энергия Т и силовая функция У примут вид Глава 3.

Динамика поступательного движения 270 Расстояние В между точкой О подвеса и материальной точкой М сферического маятника не меняется во все время движения. Таким образом, движение материальной точки стеснено геометрической идеальной связью. Реакция всвязи направлена по нормали к поверхности сферы. Положение точки М в пространстве однозначно определяется заданием ее широты и долготы на сфере радиуса В с началом в точке подвеса О маятника. Рис.

3.12.1. Сферический маятник Так как реакция связи г1 направлена по радиусу, будет справедлив интеграл площадей относительно вертикальной оси, проходящей через центр сферы (теорема 3.7.6): 4В соэ д=с. С учетом этого выражения интеграл энергии примет вид с» В»д» + 2дВ э1п д + В» соэ» д Сделаем замену переменной» = Вэ(п д. По смыслу» — вертикаль- ная координата материальной точки. Тогда ;г  — ) = (Ь вЂ” 2д»)( — » ) — с, » /И» 2 2 2 '1, дг) Разделяя переменные, будем иметь я/ = ~(1 — 1о). Многочлен, стоящий под знаком радикала, имеет третью степень.

Поэтому левая часть содержит эллиптический интеграл. Полученное равенство определяет закон изменения»(1), и мы можем теперь узнать зависимость д(1), а из интеграла площадей и 4(1). Обратимся к задаче качественного исследования движения сферического маятника. Рассмотрим следующие случаи. 271 3.12. Сферический маятник Случай 1. Пусть вектор начальной скорости принадлежит вертикальной плоскости, содержащей центр сферы и материальную точку. Это значит, что в начальный момент времени у) = О и поэтому с = О. Следовательно, д) = О, и траектория движения будет принадлежать начальной вертикальной плоскости.

Имеем изученный выше математический маятник (определение 3.9. 1). Случай 2. Пусть с ф О. Тогда знак д' будет постоянным, и й будет монотонной функцией времени. Рассмотрим многочлен 1( ) = (Ь вЂ” 2дэ)( — ) — с . Имеем У(+В) = -" < О, У(+ о) > О, У(- .) < О. Таким образом, на интервале (В, +ос) имеется по крайней мере один корень у уравнения у(г) = О, Действительное движение соответствует неотрицательным значениям 1(х), причем таким, для которых — В < г < В. Поскольку начальное значение дт/Й вещественно и отлично от нуля, то в начальный момент времени будет 1'(г) > О, а так как в этот же момент справедливо — В < г < В, то в интервале ( — В, В) имеются действительные корни о и 11 уравнения ((т) = О.

Представим многочлен 1(г) в виде / й ЬВэ — сэ '1 у(т) = 2д ~т — — г — В г + ) = 2д(т — а)(г — Я(т — 7). 2д 2д ) Сравним коэффициенты при первой степени ас а11+ Ду+ уо = — В . Отсюда В2+ У о+ф Корни а и р по модулю меньше В. Следовательно, должно быть о+р < О. Поэтому один из корней о или ф отрицателен. Пусть о < О. Корень р > а может быть как положительным, так и отрицательным. Примем для определенности, что в начальный момент времени движения при т = ээ задано д = дс < О. Тогда в выражении  — =~Л( ) пт й Глава 3.

Динамика поступательного движения 272 надлежит взять знак "-", и г будет уменьшаться до тех пор, пока, оно не достигнет значения а. Производная г может изменить знак, лишь когда у1г) = О. Продифференцировав по времени равенство г Л~) яг найдем 1 ф 2г1г Нг Если корни а и 13 простые, то — „-ЕО, — фО. Значит, в точках а и 11 знак скорости г должен изменяться на противоположный. Геометрическая иллюстрация движения сферического маятника в случае простых корней а и 11 приведена на рис. 3.12.2. Поверхность Траектория сферического маятника изображена толстой линией и заключена в полосе на сфере, расположенной между двумя параллельными горизонтальными плоскостями, имеющими высоту а и 11 относительно точки подвеса соответственно.

В сечении сферы указанными плоскостями получаются окружности, и траектория касается этих окружностей, так что обшая касательная горизонтальна. Рис. 3.12.2. Движение сферического маятника: а ф 11 сферы пересечена двумя горизонтальными плоскостями, проходяшими через точки вертикальной оси со значениями г = а и г = В.

В сечении сферы получаются две параллели. Траектория материальной точки на сфере расположена между этими параллелями и гладко их касается. В случае кратного корня гв = а = О две параллели сливаются, и точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к вектору ез. Имеем конический маятник. Условие кратности корней 3.12. Сферический маятник 273 состоит в том, что совместно должны быть выполнены равенства Дтв) = (Ь вЂ” 2дга)(В' — го) — с' = О, ф' — = — 2д(Вг — гог) 2гв(Ь вЂ” 2дго) = О. Нх, Из интеграла энергии и интеграла плошадей следует, что если де — — О, то должно быть выполнено соотношение 6 — 2дга = (Вг — 4)4 т.

Из второго условия кратности корней найдем Ф = — '. 2 га Отсюда ясно, что случай кратного корня можно реализовать только при отрицательных значениях координаты ге. Выполним расчет силы реакции Я, возникающей при произвольном движении сферического маятника. Пусть г — радиус-вектор, Р— вес материальной точки, 1У вЂ” модуль реакпии. Уравнение движения маятника имеет вид М тг = — — г — Рез В Продифференцировав дважды уравнение г = В~, найдем г.г = -е~. Если теперь учесть уравнение движения и интеграл энергии, то Ю = — (вй — ЗРг). 1 В Тем самым модуль реакции зависит только от вертикальной координаты маятника.

Характеристики

Список файлов книги