1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 45

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

Динамика поступательного движения 3 3.11. Движение под действием сил всемирного тяготения Уравнение движения материальной точки в поле центральных сил допускает интеграл площадей относительно центра О поля (см. теорему 3,7.3); г х ти = <т, где о — постоянный для конкретного закона движения вектор, вычисленный по начальным условиям. Движение происходит в неподвижной плоскости Р, перпендикулярной вектору о и проходящей через точку О. В плоскости Р введем полярные координаты г и д с полюсом в центре О. Угол д будем отсчитывать от какого-нибудь фиксированного в плоскости Р направления.

Теорема 3.11.1. (Бине). Предположим, что постояннип площадей с = (н/т) ф О. Тогда модуль скорости о и величина (со знаком) Е центральной силы, под действием которой происходит движение, выражаются формулами о с — — + —, à — — — — — +— носящими название первой и второй формул Бине соответственно. Доказательство.

Теорема 3.7.8 об изменении кинетической энергии Т в случае действия центральной силы й' = Р г/~г~ дает где правая часть представляет собой произведение скалярных величин силы и дифференциала модуля радиуса-вектора точки (см, пример 3.4.2). При этом если Нг ) О, то для притягивающей силы приращение кинетической энергии будет отрицательным, а для отталкивающей силы — положительным. Кинетическая энергия дается формулой (см. замечание 3.6.1) Т= — о = — — +г Интеграл плошадей (см. пример 3.7.2) можно представить в виде Нд г — =сфО, Й 3.11.

Движение под действием снл всемирного тяготения 255 откуда д1 = гзад/с. Подставив это выражение в правую часть формулы для кинетической энергии, получим первую формулу Бине. Разделив уравнение для приращения кинетической энергии на дд, найдем Примем во внимание, что Подставив это выражение вместо коэффициента при Р, убедимся в справедливости второй формулы Вине, П Формулы Бине дают возможность рассчитывать скорость и действующую силу в зависимости от положения точки на заданной в плоскости Р траектории.

Их можно использовать, в частности, для вывода закона всемирного тяготения Ньютона из законов, сформулированных И. Кеплером по наблюдениям за движением небесных тел солнечной системы. Приведем законы Кеплера. Закон 1. Орбиты всех планет и комет солнечной системы представляют собой конические сечения, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Закон 2.

Площади, заметаемые радиусами-векторами планет, илееющими начало в Солнце, прямо пропорциональны интервалам времени двилсения планет. Закон 3. Планеты движутся по эллипсам, и квадраты времен г их обращения вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей а эллипсов: г /а = солА. Коэффициент пропорциональности один и тот же для всех планет солнечной системы. По этим законам однозначно решается обратная задача механики.

Другими словами, по ним можно восстановить силу взаимодействия планет с Солнцем. Этот результат был впервые опубликован Ньютоном в 1687 г. Теорема 3.11.2. (Ньютон). Законы Кеплера справедливы тогда и только тогда, когда сила взаимодействия планеты с Солнцем выражается формулой Мгп Р= — 1 — г, „з где г — радиус-вектор планеты, имеющий начало в Солнце, т— масса планеты, М вЂ” масса Солнца, 1 — универсальная постоянная тяготенип 1гравитационная постоянная). Глава 3. Динамика поступательного движения 256 Доказательство. Необходимость. Первый и второй законы Кеплера позволяют сделать вывод, что орбита каждой планеты есть плоская кривая, и для нее имеет место интеграл площадей относительно Солнца. Из теоремы 3.7.7 следует, что тогда сила взаимодействия планеты с Солнцем — центральная с центром в Солнце.

Постоянная плошадей для планет не равна нулю, и мы можем воспользоваться формулами Бине. Выберем полярные координаты с центром в Солнце и полярную ось направим в точку орбиты, ближайшую к Солнцу (перицентр орбиты). Полярный угол, полученный таким способом, обозначим о. Он называется истинной аномалией. Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид 1 1+есози и р где е — эксцентриситет эллипса: 1 е = -~/а~ — 6г, а а и 6 — большая и малая полуоси эллипса, р = 6г/а — фокальный параметр. Подставив зависимость радиуса от истинной аномалии во вторую формулу Бине, получим пгс / — е соэ и + 1 + е соэ и'1 гпс Г= — — 1 гг 1 р ) ргг' Таким образом, сила, действующая на планету, центральная, притягивающая, а ее величина обратно пропорциональна квадрату радиуса.

Покажем, что постоянная сг сга Р= 6г одинакова для всех планеш Действительно, за период т обращения вокруг Солнца радиус-вектор заметает всю площадь эллипса. Значит, с 2 — т = яа6. Поэтому 4игаз тг Но отношение аз/тг для всех планет совпадает. Отсюда и следует постоянство величины д. Если принять д = г"М, где М вЂ” масса Солнца, то сила, действующая на планету, представляется в виде, указанном в утверждении теоремы. 3.11. Движение под действием сил всемирного тяготения 237 Достаточность. Пусть сила выражается указанной в утверждении теоремы формулой.

Выберем произвольно полярную ось. Воспользуемся второй формулой Бине Выполнив очевидные преобразования и обозначив и = г ', получим уравнение траектории Ии — + и = —. ддг С2 ' Это уравнение аналогично уравнению осциллятора с постоянной воз- мущающей силой. Решение уравнения имеет вид и = Асов(д — до)+ г, тт г или р А .2,2 Г 5Я е= —, р= —. 1+ естж(д — до) д р Полученная формула описывает все конические сечения и только их. Существование интеграла площадей обеспечивает выполнение третьего закона Кеплера.П Закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном, гласит, что если размерами материальных тел можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними, то любые два таких тела притягиваютпся друг к другу с силой, по модулю равной ,тттг г Р где 1" — гравитационная постоянная, тпт, тг — массы тел, р — расстояние между ними.

Сила притялсения направлена вдоль прямой, соединяютцей эти тпела. В соответствии с теоремой 3.11.2 движение планет солнечной системы происходит так, как будто они взаимодействуют только с Солнцем и не взаимодействуют друг с другом. По закону всемирного тяготения на каждую планету действует не только Солнце, но и другие планеты. Однако сила притяжения Солнца существенно превосходит влияние других планет. Точность измерений, доступных Кеплеру, не позволяла уловить это влияние.

Рассмотрим две изолированные материальные точки с массами тт и тг. Пусть гт и гг — радиусы-векторы этих точек. Размерами тел, соответствующих материальным точкам, пренебрежем. Тогда 17 — 1501 Глава 3. Динамика поступательного движения 258 сила Е12 притяжения второго тела первым и сила 021 притяжения первого тела вторым выражаются формулами пгттлг тп1 "а2 Р12 — т Г %21 — т г „з где г = гг — гт. Уравнения движения точек принимают вид И гг тп1 — = — у' — г.

д12 гз дгг1 пгг — 1 =у — г, дсг гз Вычитая из второго уравнения первое, найдем тн1 + тн2 — з гз тнтгт + тнггг 'тс— тп1 + 1112 тптгт + птггг 1'с = тп1 + тнг — соответственно радиус-вектор и скорость центра масс материаль- ных точек. Умножив уравнение движения первой точки на пг1, урав- нение движения второй точки на тпг и сложив их, получим Н вЂ” (тптгт+ тнггг) = О. сЫ Следовательно, гт, — постоянный вектор, и г = (1 — 1а)т.

+ г (то) где г,(та) — начальное значение радиуса-вектора центра масс. зна- чит, центр масс точек движется в инерциальном пространстве рав- номерно. Если нам удалось найти г(1), то радиусы-векторы точек можно вычислить по формулам Пгг та 2 Г1 — — Г,— г(1), гг — — г, + г(1). тн1 + тпг п11 + тпг В небесной механике задача о движении двух материальных точек под действием сил всемирного тяготения называется задачей двух отел. Полученный результат можно сформулировать следующим образом. В задаче двух тел относительное движение точек описывается уравнением движения, справедливым для одной материальной точки в поле центральной ньютонианской силы (теорема 3.11.2), когда в неподвижном центре помещена притягивающая масса, равная сумме масс взаимодействующих тел.

Таким образом, при изучении движения планеты относительно Солнца следует принять массу М равной сумме масс Солнца и планеты. Однако масса планеты в данном случае пренебрежимо мала. Пусть в задаче двух тел 3Л1. Движение под действием сил всемирного тяготения 259 С учетом сказанного обратимся к задаче о движении материальной точки в поле ньютонианской силы притяжения к неподвижному центру О (пример 3.4.2). Соответствующее уравнение движения имеет вид Ив .. р тз где д — постоянная, г — радиус-вектор,в — скорость точки относи- тельно центра О.

Оно допускает интеграл энергии д — — — =и 2 т и интеграл плоШадей г х в = с. Постоянный вектор с перпендикулярен плоскости траектории материальной точки. Траектория точки в небесной механике называется орбитой. Вектор с определяется начальными значениями радиуса- вектора га и скорости во при Ф = Мо: с = г(ео) х в(ео) = го х во, с = !с! = говоз1п(го,во). Выполним преобразование Н дв р р ( ет Иг'1 — (вхс)= — хс=- — (гхс)=- — 1гх (гх — ) ле ль тз тз ~ ( ,у ) — — — 3 г г' — т — — — 3 г т — — — т Следовательно, вектор вхс — — г=Е Р остается постоянным для конкретного движения точки. Постоянный вектор В называется вектором Лапласа, а полученный первый интеграл — интегралом Лапласа.

Теорема 3.11.3. (Лаплас). Вектор Лапласа направлен вдоль большой полуоси в сторону перииентра орбиты. тн Глава 3. Динамика поступательного движения Доказательства. Напомним, что перицентр есть ближайшая к притягивающему центру точка орбиты. Следовательно, в перицентре производная от модуля радиуса-вектора по времени должна быть равна нулю: г = О. Справедливо тождество 3г г г=г — =г.г. сЫ Пусть г, — радиус-вектор перицентра,ㄠ— скорость точки в пери- центре.

Тогда, очевидно, г, и, = О, т.е. радиус-вектор и скорость в перицентре взаимно ортогональны. Умножим интеграл Лапласа скалярно на кс — — (г г)=Е и. р Отсюда ясно, что в перицентре ь и, = О, а значит, С ~( г„. Из интеграла энергии заключаем, что значение скорости в перицентре должно быть максимальным. Имеем и 1. с. Из интеграла Лапласа следует ес = (Е+ — г!. Правая часть этого выражения максимальна тогда и только тогда, когда г совпадает по направлению с,С.0 Вектор кинетического момента и вектор Лапласа позволяют построить репер, в котором орбита материальной точки, движущейся в поле центральной ньютонианской силы, представляется каноническим уравнением в полярных координатах.

Характеристики

Список файлов книги