1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Его амплитуда обратно пропорциональна разности ыт — ит. Амплитуда неограниченно возрастает, когда и Пусть и мало отличается от ш: и = ы+ е. Общее решение рассматриваемого уравнения можно представить в виде х(1) = йе(Аехр(ы1)+Вохр[Цы+е)1Ц = ЯеЦА+Вехр(Ы)]ехр(кя1)), где А = аехр(Ьо), В = Ьехр((В)/(ыт — ит), постоянные а и а зависят от начальных условий (см. стр. 214). Так как е мало, то закон в(1) можно интерпретировать как колебания с частотой м и медленно меняющейся амплитудой 0 = [А+ Вехр(Ы1)[. Представив комплексные числа А и Вехр(Ы) векторами на ком- плексной плоскости и используя теорему косинусов, найдем и = а + т т +2 т в сов(ег+и — а).
Ь аЬ (ыг пт)т,„г нв 3.10. Резонансные явления 235 С течением времени амплитуда И периодически изменяется, остава- ясь ограниченной: -~ — о+ г т Это явление носит название биений. Случай 2. Частота возмущающей силы в точности совпадает с собственной частотой осциллятора. Для функций уы ут имеем выражения Ь ! у1 —— — — / [е1п(2~А + )у) — а)п ф] Й + рм 2ы,/ СО Ь Г уз — — (соз(2ьч + ф) + соз ф) сИ + ря 2ы,/ Отсюда 6 (соа(2И + ~У) У1 = — ~ +6яп(у 2ы ~ 2ш Ь Гз(п(2~А + ~У) Ут = — + Ссоар Следовательно, 6 (соз(~Л + Ф) х + 1яп(ыС + 3) 2ы ~ 2ы Первое слагаемое в квадратных скобках удовлетворяет однородному уравнению гармонического осциллятора.
Поэтому за частное решение можно принять ЬМ х„= — яп(сА + ~У). 2ы Имеем колебание с частотой ы и линейно возрастающей по времени амплитудой. Это явление называется частотным резонансом. Оно проявляется в неограниченной раскачке вынужденных колебаний при сколь угодно малой амплитуде 6 внешней силы и может привести к разрушению механической конструкции. В реальности всегда существуют силы сопротивления. Их роль в развитии резонанса проанализируем на примере осциллятора с вязким трением: х + Ьх + ы х = 6 соз( и$ + Д), Глава 3. Динамика поступательного движения 236 где коэффициенты 6, и, Су — характеристики возмущающей силы.
Частное решение будем искать в виде х„(С) = Асов(иС + В) + В выл(РС+ СУ). Постоянные А и В подлежат определению. Очевидно, что х„= — Аи выл(РС + д) + Ви сов(иС+ д), х„= — Аиг сов(РС+ Су) — Виг вьп(РС+ ьз), Подставляя эти выражения в уравнение осциллятора, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим относительно коэффициентов А и В систему алгебраических уравнений ( ' — иг)А+йиВ=Ь, — йиА+ (иьг — иг)В = О. Эта система имеет решение 6(иь~ — и ) Ь)си ( 2 — Р2)2 + йгиг' ( ь2 — Р2)2 + Ссгиг Амплитуда ьС частного решения представляется в виде ,С /Аг + Вг й[(,2 2)2 + йгиг)-ь/2 Следствие 3.10.1. При действии сил вязкого трения совпадение частоты и возмущающей силы с частотой оь собственных колебаний осциллятора не ььриводит к неограниченному увеличению амплитуды, и не существует значения частоты и возмущающей силы, при котором такой эффект мог бм возникнуть.
Вместе с тем, когда частота иь собственных колебаний осциллятора приближается к частоте возмущающей силы, амплитуда частного решения становится максимальной. На этом свойстве основано действие различных акустических резонаторов, маятниковых систем, настроечных колебательных контуров в радиотехнике.
Общее решение х(С) уравнения движения осциллятора с вязким трением представляется в виде суммы решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения осциллятора. В 2 3.9 установлено, что, когда й ) О, любое решение однородного уравнения асимптотически стремится к нулю. Следовательно, х(С) — х„(С), С вЂ” оо 3.!О. Резонансные явления 237 независимо от значений начальных условий. Другими словами, частное решение я„(!) осциллятора с вязким трением асимптотически устойчиво, и поведение системы вполне им определяется, когда время развития процесса достаточно велико. Рассмотрим теперь резонансное явление другого типа. Параметры реальной системы, описываемой уравнением осциллятора, не всегда могут оставаться постоянными.
Тогда собственная частота ы будет изменяться во времени. П р н м е р 3.10.1. Пусть груз весом Р подвешен на нити, длина которой 1 может изменяться; 1 = 1(!). Считая груз материальной точкой, уравнение его движения получим с помощью теоремы 3.7.2 о кинетическом моменте относительно неподвижной точки подэеса: И вЂ” (гп1 у) = — Р1з1п р е!! где ~р — угол отклонения нити от вертикали, гп — масса. Считая, что! > О, перейдем к новой независимой переменной о с помощью соотношения д! = Р с!о. Полученное уравнение приведется к виду ,1г„ ~ро+ы'э(п р =О, ы' =у(з(о) дог Оно по виду совпадает с уравнением гармонического осцнллятора, однако коэффициент при угловой координате у не постоянен. Задавая закон 1(о), можно а определенной мере влиять на движение груза.О Возможность управления движением осциллятора с помощью периодического воздействия на его параметры изучим на примере линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами у+ а(!) к+ Ь(!) г = О, где а(!), Ь(!) — периодические функции времени с одинаковым периодом г 7Ь 0: а(! + г) = а(!), Ь(! + г) = Ь(!).
Лемма 3.10.1. Пусть а(!) — интегрируемая периодическая функция с периодом г ф О. Тогда справедливо равенство е+т г а(1) д! = а(!) 31, е о каково бы ни было ! иг области определения функции а(!). Глава 3. Динамика поступательного движения 238 Доказательство. При произвольных пределах интегрирования с и д будет выполнено г в+т а(ь') Й = а(х — г) дх. Положив теперь с = О, Ы = г и учитывая свойство периодичности функции а(е), получим е е+т ! а(с) Й = а(е) Й. Далее е+ т о е+т т а(г) Й = а(1) Й + а(1) Й + аЯ Й = а(ь) Й.П е о т о Лемма 3.10.2.
Если х(1) — произвольное решение рассматриваемого уравнен я с периодическими коэффициентами, то функция у = х(г + г), где г — период функций а(1), 6(1), есть решение того лсе уравнения. Доказательство. Если х(г) — решение, то для него х(1 + г) + а(е + г) х(е + г) + 6(е + г) х(е + г) = О.
Но а(с+ г) = а(г) и 6(е + г) = 6(е). Следовательно, у+ а(е) у+ 6(М) у = О. 0 Пусть хг(1), хг(е) — два линейно независимых решения изучаемого уравнения с периодическими коэффициентами. Любое решение того же уравнения выражается как их линейная комбинация.
В частности, хг(г+ г) = амхг(1) + аггхг(~), хг(г+ г) = аггхгЯ+ аггхгЯ, где постоянные коэффициенты аО образуют матрицу монодромии аы агг задающую преобразование решений через период г. 3.10. Резонансные явления 239 Пусть «(г) — произвольное решение уравнения с периодическими коэффициентами: «(г) = сгхг(г) + сгхг(г). Функцию «(г + г) представим аналогично: «(г+ г) = с',хг(г) + сгхг(г).
Найдем с', и с~г. «(г + г) = сгхг(г + г) + сгхг(г + т) = (апс1 + аггсг) х1(г)+ +(ам сг + аггсг) хг(г). Следовательно, коэффициенты с', и сг можно вычислить по формуле (,')=А( '). Тем самым матрица монодромии задает линейный онератор монодромии в пространстве решений уравнения с периодическими коэффициентами. Для конкретной матрицы А роль базисных векторов играют функции хг(1), хг(г). Рассмотрим задачу об отыскании собственных векторов и собственных значений оператора монодромии. Эта задача сводится к решению системы двух линейных алгебраических уравнений апс1 + а1гсг = реп аггсг + аггсг = рог. Собственные значения р для этой системы называются мультиалакангорами. Они суть решения характеристического уравнения монодромии деь(А — рЕ) = О, или И вЂ” (оп + агг)р + Ое«А = О, Это уравнение инвариантно относительно выбора базисных функций хг(г), хг(г) Для удобства дальнейшего изложения будем считать решения уравнения с периодическими коэффициентами комплексными функциями времени, выделяя действительную часть этих решений в случае необходимости перехода к реальным приложениям.
Заметим, что де$ А ф О, так как матрица А осуществляет переход от одних линейно независимых функций к другим. Поэтому р ф О. Глава 3. Динамика поступательного движения 240 Лемма 3.10.3. Пусть 22(Ф) и 22(Ф) суть два решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Тогда соответствующий определитель Врбнского Иг(о) выражается следующим равенством Ит(М) = .. = 2222(о) — 22(М) 22(2) = сехр — аЯЙ 22 22 то где с — постоянная, го — начальный момент времени. Доказательство. Так как и гы и гг обращают рассматриваемое уравнение в тождество, то гд(С) + а(М) гг(с) + Ь(Г) 22(С) = О, 22(Г) + аЯ 22(Х) + ЬЯ 22(М) = О. Умножая первое тождество на 22, второе — на 22 н вычитая иэ вто- рого первое, получим гъ Я гг(2) — 22(Г) гг(Г) + а(С)[22 22(Г) — 22(М) гг(2)] = О Но д 21(Г) 22(оо) — 22(оо) 22(о) = — [22(о)22(о) — 22(о) 22(о)].
Й Поэтому справедливо уравнение дИ' — +а(г)Ит = О. Й Решением этого уравнения служит И'(2) = Ит(ое) ехр — а(Г) Й .П оо Теорема 3.10.1. (Флоке). Пусть рг и рг — корни характеристического уравнения монодромии и т Р = ехр — а(2) Й о Тогда вгнг = Р и существуют линейно независимые решения уы уг такие, что: 1. Если рг ф рг, тпо У1(1 + т) Р1У1(о) Уг(о + Г) Р2У2(е). 3.10. Резонансные явления 241 8. Если р! — — дг = !3 — кратный корень: дг = Р, то у!«+т) = 1!УФ«) уг«+ т) = ауФЯ+1ууг«), еде о — постоянный коэффициент.
Доказательство. Рассмотрим каждый из упомянутых в формулировке случаев. 1. УФ ф рг. Возьмем для 1е! и рг соответствующие им собственные функции УФ«) и уг«). По определению у! ф О, уг ф 0 и УФ«+ т) = И!УФ«) Уг«+ т) = ргуг«). Предположим, что у! «) и уг«) линейно зависимы. Тогда существуют не равные нулю одновременно константы Л! и Лг, для которых Л,уг«)+Л,у,«) =О, Лги!УФ«) + Лгдгрг«) = О. Пусть ЛФ ф О. Умножая первое уравнение на рг и вычитая из него второе, найдем ЛФ(пг - Р,) УФ«) гн О, что противоречит неравенству р! ф рг. Далее, применив к функциям у!«), Уг«) лемму 3.10.3, получим ! УФ«) уг«) — уг«) уг«) = сехр — а«) й !ь где с ф О, так как у! и уг линейно независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
