1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Через период т $+т ргагсехр — а«)й = сехр — а«)й ехр — а«)й !о !о С использованием леммы 3.10.1 будем иметь, !+т ргрг = деФА = ехр — аЯй = Р. 2, р! = дг = 13 (случай кратного корня). Возьмем собственную функцию у!«) ге О, соответствующую корню д, за базисное решение. Пусть уг — другое базисное решение, независимое от у!. Тогда преобразование функций через период примет вид уг«+ т) = !3УФ«), уг«+ т) = акту!Я+ аггуг«).
!6- !503 Глава 3. Динамика поступательного движения 242 Матрица монодромии оказывается треугольной: А Р 12 и ей соответствует характеристическое уравнение (Р— р)(агг — р) = О. Поскольку д — кратный корень, заключаем, что агг = д. Обозначив а = а12, получим формулу для случая 2 утверждения теоремы.
На основании леммы 3.10.3 имеем угуг — угуг = сехр — а(1) <й, с уе О. 10 Через период г получим ! 1+т Дгсехр — а(1) д1 = сехр — а(1) ае ехр — а(1) с(1 ы м Поэтому,дг = е)еС А = О С] Следствие 3.10.2. Характеристическое уравнение матрица монодромии имеет вид дг — Вр+  — 0 еде В = а11+ агг — след матрицы монодромии, сохраняюецийся при переходе от одних базисных функций к другим, т В = ехр — а(1) Й о Коэффициенты В и В целиком определяются свойствами функций а(1), о(1). Изучим структуру базисных решений У1, уг, существование которых утверждает теорема 3.10.1. Пусть сначала р1 ф рг.
Тогда У1(1 + г) = дгу1(1), Уг(1+ г) = ргуг(1). Из этих равенств следует, что функции П1(1) = —... П2(1) = —,, У1(1) Уг(1) Р1 1/е ' 1/е Рг 3.1Р. Резонансные явления 243 будут периодическими с периодом т. В самом деле, Пг(1+ т) = уг(1+ т)г, ~~+™ = дгуг(1)д гд 1 = Пг(1), Пг(1+ т) = уг(1+ т)рг = дгугЯугг рг = Пг(1). Следовательно, уг и уг представляются в виде Уг = дг Пг(1), Уг = Иг Пг(1), где Пы Пг — периодические с периодом т функции и 1гг1гг = П. Таким образом, когда выполнено либо (1гг) > 1, либо )дг( > 1, либо справедливы одновременно оба этих неравенства, то хотя бы одна из базисных функций неограниченно возрастает.
Это значит, что состояние покоя будет неустойчивым. Достаточно сколь угодно малого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смещение стало возрастать со временем. Такое явление называется параметрическим резонансом. Оно реально возникает, например, когда стоящий на качелях человек раскачивает их, приседая в такт качаниям. Предположим теперь, что корни характеристического уравнения монодромии кратные: дг — — дг = д.
Согласно теореме Флоке будем иметь Уг(1+ г ) = 1гуг(1) Уг(1+ т) = оуг(1) + дуг(1) И = О. Функции уы уг представим в виде Рассмотрим, как эти функции изменятся через период т; (1+ ) 1!+туее (1+ ) 11те (1+ ) уг(1+ т) = — уг(1+ т) + др~ Утя1 + т) = 1г (1+ т)а 3 т о1 — + а ~ Уг(1) + 1гд'1'Уг(1+ т) т С другой стороны, по теореме Флоке функции уг(1 + т), уг(1+ т) выражаются формулами Уг(1+ т) = ИИ 1г(1) Уг(1+ г) = оу!+ — Уг + Ид уг(1).
Приравнивая соответствующие правые части, получим Л(1+ т) = Л(1) Уг(1+ т) = И1) Н' Глава 3. Динамика поступательного движения 244 хг(0) = 1, хг(0) = О, хг(0) = О, хг(0) = 1. Тогда аы = хг(г), агг = хг(т), агг = хг(т), агг —— хг(т). Таким образом В = хг(т)+*'г(т). Теорема 3.10.2. (Критерий параметрического резонанса). Пусть движение системы описываетсл однородным линейным диф- ференциальным уравнением второго порядка с периодическими ко- эффициентами, имеющими одинаковый период. Параметрический резонанс в ней возникает тогда и только тогда, когда реализуется какой-либо из следующих случаев: 1.0>1, 3. В = 1: )В) > 2, либо (В! = 2 и агег + аггм ф О, 3.
В < 1; ~В) > О+ 1, где а,. суть компоненты матрицы монодромии. Доказательство. Пусть сначала В > 1. Имеем пгпг — — В. Следовательно, модуль хотя бы одного из мультипликаторов превосходит единицу, и соответствующее решение неограниченно возрастает. Предположим теперь, что В = 1. Мультипликаторы выражаются формулами  — ~/Вг — 4 гег = 2 В+ ~/Вг — 4 рг 2 Если Вг < 4, то корни будут комплексно сопряженными и различными, но )рг! = )рг) = 1, и резонанса не возникает. Если Вг = 4, то корни будут кратными и д = 1. Как следует из сказанного выше, если при этом агг — — агг — — О, то резонанс отсутствует, а если матрица монодромии треугольная, то резонанс будет иметь место.
Предположим теперь, что Вг = 4, но аггагг ф О. Тогда собственную функцию монодромии можно взять в виде уг(г) = хг(г) хг(е) аш то есть функции 31(г), Уг(г) — периодические с периодом т, Следовательно, параметрический резонанс может возникнуть и в случае кратных корней характеристического уравнения. Для вычисления мультипликаторов рг, рг требуется найти след матрицы монодромии В = агг + агг. Пусть базисные функции хг(1), хг(1) удовлетворяют начальным условиям 245 3.10. Резонансные явления Через период получим аы — й уг(1+ т) = аггяг + аггяг — (аггяг + аггяг) = дуг(1). агг Заметим, что ам + агг = 2р, и учтем, что характеристическое уравнение можно представить в виде (аы — р)(агг — Р) = аггагы Поэтому при ашагг ф 0 будет также выполнено (аы — р) ф 0 и, следовательно, функции уг и яг линейно независимы.
Примем уг — — яг. Через период т получим аы — р уг(1+т) = яг(1+т) = аш уг(1) + яг(1) +аггтг = аггуг+дуг. агг Таким образом, для функций ум уг матрица монодромии принимает треугольный вид, что влечет наличие резонанса. Пусть, наконец, )В~ > 2. Тогда корни характеристического уравнения действительны, взаимно обратны и отличны от единицы. Поэтому в системе имеет место параметрический резонанс. Предположим теперь, что Р < 1. Мультипликаторы имеют вид  —  — 4Л В+ ' — 4Л Иг = 2 ' 2 рг = Если Вг < 4Р, то они будут различными и комплексно сопряженными, пРичем )Рг! = )Рг! = У'Р < 1.
В этом слУчае Резонанс бУдет отсутствовать. Если Вг = 4Р, то корни характеристического уравнения монодромии будут действительными и кратными. Собственные решения имеют структуру у! д г1(1) уг — у1(1) + д гг(1) Р т причем ~р~ = Л < 1. Следовательно, при 1 — оо будем иметь о1 уг - О, уг - О, так как — уг - О, т и резонанса не возникает. Пусть, наконец, Вг > 4Р. Тогда мульти- пликаторы действительны и различны. Резонанс будет иметь место, когда абсолютная величина хотя бы одного мультипликатора превос- ходит единицу.
Другими словами, П р и и е р 3.10.2. Уравнение Хйллв й + е г(1) я = О, Глава 3. Динамил а поступательного движении 246 где ь1(1) периодическая функция времени: ь1(1+ т) = ы(1), принадлежит к числу рассмотренных выще линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. При этом а(1) ив я 0 и следовательно Р = 1. Чтобы проиллюстрировать применение теории Флокс, рассмотрим кусочно-постоянные периодические функции ь1(1), имеющие в пределах одного периода следующий вид: ( ь11, при О < г < 11, ы(1) = [ ыг, при 11 < 1 < т, где постоянные ы1 > О, ыг > О, 11 < т. Обозначим 12 = т — 11.
Построим матрицу монодромии. Пусть ращения уравнения Хилла а1(1) и яг(1) таковы, что *1(0) = 1, а1(0) = О, аг(0) = О, иг(0) = 1. Тогда Щ а1(т) = аи = соя(ы111) соя(ыг12) — — я1п(ы121) ягп(ыггг), ыг а1(т) = ощ = — ыг соя(ы111) ягп(ыггг)— 1 хг(т) = 012 = Я!п(ы121) соз(ь/212) + М1 Ыг аг(т) = агг = — — ягп(ы111) я)п(ыг12) + Ы1 Воспользуемся теоремой 3.10.2 и изучим )а11 + агг~ > 2. Обозначим т1 = ы111, тг условие резонанса принимает вид ы1 я1п(ы121) соя(ыггг), 1 — соя(ы111) я(п(ы212), ыг соя(ы121) соя(ь1212).
сначала условие резонанса = ы212. Рассматриваемое Ы1 Ы2 2соятгсоятг — ~ — + — ) ягпт1 ягптг > 2 Ы2 Ы1 или, преобразовав произведение тригонометрических функций в сумму, ~ж1 сов(т1 + тг) — юг соз(т, — тг) ~ > 2, где — + — +1, юг — — — + — — 1, 2 мг 2 яег соя(т1+тг)> — + — соя(т1 — тг) либо соя(т1+тг)< — — + — соя(т1 — тг). Ж1 Ж1 Ж1 %1 Очевидно, что ае1 > 2, жг > 0 при любых положительных значениях ы1, ыг.
Равенства ю1 = 2, яег = 0 достигаются тогда и только тогда, когда ы1 = ыг. Условие параметрического резонанса можно представить в виде следующей совокупности неравенств 247 3. ! О. Резонансные явления Пусть 7! = Соэ(Т7 + тг), с = соз(Т7 — тг). На плоскости введем декартовы координаты и вдоль вертикальной оси будем откладывать значения переменной 71, а вдоль горизонтальной — значения С.
Очевидно, имеем ((! < 1, ф < 1, что геометрически соответствует квадрату, стороны которого параллельны осям координат и проходят через точки (1,0),(0, 1), ( — 1,0), (О, — 1). Чтобы получить область резонанса, из этого квадрата следует вырезать полосу, заключенную между прямыми 2 юг 2 гег 71= — + — 4, 0= — — + =(. %7 ЭС7 Ж7 Ж7 Отметим, что юг/ю7 < 1, так что угол наклона указанных прямых не превышает к/4.
На рис. 3.10.1 области, соответствующие параметрическому резонансу, выделены штриховкой. Они существуют при любых не равных друг Области параметрического резонанса для уравнения Хилла центрально симметричны относительно начала координат плоскости (с, 7!). Они получаются после исключения из единичного квадрата полосы, заключенной между наклонными прямыми. Левый верхний и правый нижний углы квадрата принадлежат резонансной области при любых отличных друг от друга положи- тельных значениях ы7, ыг, Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
