1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Глава 3. Динамика поступательного движения 216 Случай 2: й < О. Уравнение движения принимает вид -+ г ). Для него существует первый интеграл йг ыгхг — + — — 1в = Л 2 2 где Л вЂ” постоянная для фазовых траекторий, расположенных в нижней фазовой полуплоскости (й < О). Фазовые траектории подчиняются уравнению г ,„г[ . у„г)г гг — + =1, Л"=Л + —. 2Л" 2Лн ' ад ' Они образуют семейство [по Лв) половин эллипсов, расположенных на фазовой полуплоскости й < О, и их центр смещен в точку О имеющую абсциссу ~/ыг. Полная фазовая траектория получается сопряжением половины эллипса одного семейства с половиной эллипса другого семейства в момент прохождения фазовой точки через ось абсцисс.

В такие моменты особенно наглядно видно уменьшение размаха (амплитуды) колебаний. Полуэллипсы, изображающие фазовые траектории в верхней фазовой полуплоскости осциллятора с сухим трением, переходят в полуэллипсы, изображающие фазовые траектории в нижней фазовой полуплоскости. Из-за смещения центров эллипсов происходит уменьшение амплитуды колебаний осциллятора. Рис. 3.9.3. Осциллятор с сухим трением Отрезок [О+, О ] — особый. Он называется зоной застоя осциллятора.

В этот отрезок попадают фазовые точки, движущиеся как по верхним, так и по нижним полуэллипсам. Тем самым все его точки суть положения равновесия. Фазовая точка, попав в процессе движения в некоторую точку отрезка [О+, О ], навсегда в ней останется (рис. 3.9.3). 3.9. Одномерные осцилляторы 217 Строго говоря, такой вывод противоречив. Непосредственно из уравнения движения следует, что постоянное значение координаты х может быть его решением, только если х = О.

Вместе с тем приведенные выше рассуждения показывают, что фазовая точка не может покинуть отрезок (О+, О ], так как для него сила упругости меньше по модулю силы трения скольжения. Указанное противоречие можно устранить, если ввести в модель осциллятора силу трения покоя. Эта сила трения должна быть в точности такой, чтобы для точек отрезка [О+, О ] обеспечивалось ускорение, равное нулю. Закон движения осциллятора с сухим трением имеет следующий вид: с + /'1 + ха + г '+ хо + — ) совы(1 — 1 ) + — в)вы(1 — 1 ) — — при х > О, ыг) ы ы2 хо — — ) совы(г — г ) + — 81пы(1 — 1 ) + — при х < О. *о / ыг) ы ы2 После дифференцирования по времени получим скорость осцилля- тора, необходимую для более подробного анализа движения фазовой точки: — ы (ха + — ) вш ы(1 — М ) + ха совы(М вЂ” 1 ) Г+ + ыг) — ы (ха — — ] вгпы(1 — М ) + хо совы(М вЂ” М ) /~ а 2 при х > О, прих<0.

2п/'1 ха=( — 1)" (хо+ — ) *о=О, хо< — —, п=1,2, ы2 ) ' ы2' Постоянные ха+, хо, х+о, хо, 1+, 1 вычисляются в соответствии с начальными условиями и условиями сопряжения при прохождении фазовой кривой через ось абсцисс. Пусть, например, при 1 = 0 заданы значения х(0) = хо, х(0) = О, причем ха < -//ыг. В атом случае (см. рис. 3.9.3) фвзовая точка сначала будет двигаться вдоль полузллипса, расположенного в верхней полуцлоскости (при хо+ = ха, хо+ = О, 1+ = 0), вплоть до момента т = и/ы, когда фвзовая траектория пере- сечется с осью Ох в точке х1 — — — (ха+2//ыг).

От точки (хы 0) движение будет происходить вдоль полузллипса, расположенного в нижней полуплоскости, для которого хо = хы хо — — О, 1 = к/ы. Время этого движения до нового пересечения оси Ох в точке хг = хо+ 4//ыг есть (1-1 ) = т = я/ы. От точки (хг,О) фвзовая кривая составит верхний полуэллипс с ха+ = хг, хо+ = О, и т. д.

Абсциссы точек пересечения фазовой кривой с осью Ох можно записать с помощью формулы Глава 3. Динамика поступательного движения 218 В случае ха > 1/ы~ с помощью аналогичных рассуждений получим „ / 2пу~ хь=(-1)" ~хе — — ), хе=О, хо> —, п=1,2, . г)' ,„г ' Эти формулы можно объединить: 2пу'"1 хь = ( — 1)" ~хе — з18п1хе) — г /, хе =О, ~хо! > — г, и = 1,2, Число колебаний определяется как минимальное натуральное значе- ние и, удовлетворяющее условию 2пу — — < !хе) — — <— ыг ыг —,„г или г ! ~ ~ г — — + <и< — +— 2 2У 2 21 Если заданные начальные условия отличаются от только что рассмотренных, то для решения задачи о числе колебаний осциллятора с сухим трением достаточно выполнить один дополнительный шаг, найдя точку первого пересечения фазовой траектории с осью абсцисс.

Далее ход решения задачи можно оставить таким, какой был приведен выше. Осциллягпор с вязким трением описывается дифференциальным уравнением я+ хх+ы х = О. П р и м е р 3.9,5. Рассмотрим груз, подвешенный на пружине к некоторому основанию.

К грузу с помощью штока прикреплен поршень, перемещающийся а цилиндрическом сосуде, наполненном жидким маслом (демпфер) (рис. 3.9.4). В положении равновесия зес груза с поршнем за вычетом архимедовой силы равен силе, развиваемой пружиной: Р = с(! — !е), где с — жесткость, !е — длина нерзстянутой пружины, ! — длина пружины з положении равновесия. Если пружину укоротить на величину х, то сила, развиваемая пружиной, будет Р = с(! — х — !е). Груз под действием сипы тяжести начнет опускаться. Масло из нижней части сосуда, просачиваясь между краями поршня и стенками цилиндра е верхнюю честь, окажет поршню сопротивление силой Рт = -ах.

Уравнение движения груза примет зид гпх' = -Р+ с(! — !е — х) — ах, а > О. Легко убедиться з том, что зто есть уравнение рассматриваемого типа. О 3.9. Одномерные осциллягоры 219 В масляном демпфере движение поршня вызывает просачивание масла с одной стороны поршня на другую. Возникающая при этом сила сопротивления прямо пропорциональна скорости движения поршня и называется силой вязкого трения. За счет вязкого трения происходит рассеивание энергии и остановка поршня. Рис. 3.9.4.

Масляный демпфер Уравнение осциллятора с вязким трением есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение следует искать в виде е = ехр(Лг), где Л вЂ” скалярный коэффициент, 1 — время. Подставляя экспоненту вместо з в уравнение осциллятора, получим характеристическое уравнение Л~ + кЛ+ ыт = О, два корня которого даются формулами В зависимости от знака подкоренного выражения рассмотрим следующие варианты. ВР 1: ~ — 4 0.06 й — 4 — е/2 Р уравнения осциллятора принимает вид х = е мУ (с~ соэй1+ от э)п1ц). Постоянные с~ и ст определены начальными условиями: йа + хай/2 с~=хе, от= й где хэ, хэ — значения з и х соответственно при 1 = О.

Чтобы получить фазовый портрет, введем переменную ~ = хехр Тогда с = с~ созИ + сгсйпй1, Глава 3. Динамика поступательного движения ~ = — с~ 0 зш 01 + сг0 соз 01 . 220 На плоскости ((, () образ феновой точки описывает эллипс с уравнением р+0т~т я = 4'ехр — —, я = с — — с' ехр Пусть | = 1„= пт, где и — натуральное число. Для таких 1 коорди- наты с, с не меняются.

Но меняются я, я: я = 4'ехр — —, я = с — -с ехр С ростом и фазовая точка стремится к началу координат вдоль фиксированного луча на фазовой плоскости. Фазовые кривые — спирали, закручивающиеся вокруг точки О. Имеем особую точку типа "фокус" (рис. 3.9.5). Движение асимптотически успокаивается около При )ст — йыт ( 0 фазовая точка движется по спирали, закручивающейся около положения равновесия по ходу часовой стрелки. Осциллятор совершает колебания с уменьшающейся амплитудой. Однако положение равновесия не достигается ни за какое конечное время. Рис. 3.9.5.

Затухающие колебания положения равновесия. Это — точка О. Точка 0 из любой не совпадающей с ней точки фазовой плоскости не достигается ни за какой конечный промежуток времени. Полученный тип движения можно интерпретировать как колебания с убывающей амплитудой. Постоянная о' = ехр(1/2) называется дскреиеитом зашухаиня. Она показывает, во сколько раз амплитуда уменьшается за 1 с.

где ат = (от~ + стт)0т. Движение образа фазовой точки — периодическое с периодом т = 2т/О. Через период г значения с, с в точности повторяются. Переход от переменных С, С к переменным х, я осуществляется по формулам 3.9. Одномерные осцялляторы 221 Вариант 2: хо = 4,Р. Это — случай кратных корней характеристического уравнения: Л1 — — Ло = -х/2. Общее решение уравнения осциллятора с вязким трением имеет вид / й1~ / И~ х = (с1+ со$)ехр [ — — ), х = — -х+ стехр [ — — ), 2)' 2 2) ' где постоянные с1 и со выражаются через начальные условия следующим образом: х с1 — — хо со = хо+ — ха 2 Из зависимости х($) следует, что все фозовые кривые по касательной приближаются при 1 +со к прямой х = — — х.

2 Вычислим 4х х — (ох — йох/4 хо х х Их х 4 х Следовательно, все фазовые траектории пересекают ось х = О под одинаковым углом наклона, тангенс которого равен — х. При хо -4ыо = О колебаний не происходит. Фазовая точка стремится попасть в положение равновесия, приближаясь к прямой х = — йх/2. Эта прямая служит асимптотой для всех фазовых траекторий. Фазовые траектории приближаются к началу координат асимптотически, достигая его лишь при 1 — оо.

Характеристики

Список файлов книги