1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Из них следует „г 11г+ й г Проекция уравнений движения на нормаль к траектории имеет вид г Л г Рк Но так как кр = -тр, получим ЛГр = — Лгр. Это соответствует найденному выше значению реакции.О Обратимся к геометрическим методам анализа свойств движения. Обозначим й Э х = (х;) — пространство координат (криволинейных в общем случае), задающих радиус-вектор материальной точки. Размерность пространства координат Ц не превосходит трех. Скорость точки задается набором х = (х;) б Ят.
Пространство скоростей йт имеет ту же размерность, что и пространство й. Определение 3.6.2. Фазовое проспкранспкво есть прямое произведение Я х Ят координатного множества и множества скоростей. Тем самым фазовое пространство всегда четномерно. В частности, три координаты радиуса-вектора и три компоненты скорости образуют шестимерное фазовое пространство. Если положение точки в пространстве вполне определено лишь одной координатой (точка движется по заданной кривой), то ее фазовое пространство двумерно и может интерпретироваться как фазовая плоскость.
З.б. Скалярные формы уравнений движения 189 Каждому состоянию материальной точки, представляющему собой некоторый набор координат х и их скоростей х, соответствует одна и только одна точка фазового пространства (фазовая точка). Движению материальной точки в реальном пространстве соответствует движение фазовой точки в фазовом пространстве. Траектория движения фаэовой точки называется фазовой кривой. Фазовая кривая может вырождаться в единственную точку. Такая точка называется аолозюением равновесия.
Если существуют какие-либо первые интегралы уравнений движения, то эти интегралы выделяют в фазовом пространстве гиперповерхности, которым должна принадлежать фаэовая точка в любой момент времени. Рассмотрим решение уравнений движения, начальные условия которого при г = О изображаются некоторой точкой М фазового пространства. Для момента й будем иметь преобразование в силу уравнений движения, переводящее точку М в точку М(Г). Пусть уравнения движения автономны, т.
е. ускорение не зависит явно от времени, и пусть любое их решение продолжается на всю ось времени. Преобразование С', обеспечивающее переход М вЂ” М(1), взаимно однозначно и дифференцируемо по фазовым координатам (диффеоморфизм). Все такие преобразования С' образуют группу: Со 1 С-е (Се)-е Эту группу называют фазовым потоком, определенным уравнениями движения в фазовом пространстве. Фазовая кривая может быть представлена парамегрически: х = х(хо, хо г), х = х(хо, хо г) где хо,хо — начальное положение фазовой точки.
В общем случае это кривая в шестимерном пространстве. Фазовый портрет движения есть полное множество возможных типов фазовых кривых. Фазовые кривые обладают рядом специфических свойств. Проиллюстрируем эти свойства на примере фазовой плоскости. Теорема 3.6.3. Плосхая фазовая кривая, в точхах которой ускорение ие обращается в нуль, мозкет иметь хасательиую, параллельную оси скорости, только при х = О. Доказательство. Уравнение движения можно представить в виде дх , дх — = х, — = у(х,х,1).
Й ' Й Глава 3. Динамика поступательного движения 190 Отсюда при у(х, х, () ф 0 получим дх дх у(х,х,()' Параллельность касательной и оси скорости означает равенство ну- лю производной дх/дх. П Следствие 3.6.3. Фазовая кривая не может быть замкнутой ни в полуплосхости, где х > О, ни в полуплосхости, где х < О, При х > 0 фазовом точка движется в маправлемии увеличения координа- Аналогичные свойства можно установить в случае большего числа измерений. 3 3.7. Основные теоремы динамики материальной точки Определение 3.7.1.
Количеством двизкения материальной точки называется вектор (й = тт. С учетом этого определения второй закон Ньютона может быть представлен в виде Другими словами, скорость изменения количества движения матери- альной точки равна вектору силы, действующей на точку. Теорема 3.Т.1. (Интеграл количества движения). Пусть проекция силы Р на маправлемие постоянного вектора е равна нулю. Тогда равенство (1 е= с есть первый имтеграл уравнений движения, выражающий сохранение проехции количества движения на ось с направляющим вектором е.
Доказательство. Умножим обе части равенства Я = х' скалярно на е. С учетом условия теоремы получим е Я = О. Вектор е не меняется. Поэтому д — (е ° (е) = О. Й Следовательно, в силу уравнений движения, скалярное произведение е (Е будет постоянным,П 3.7. Основные теоремы динамики материальной точки 191 П р и м е р 3.7.1. Пусть материальная точка движется в поле параллельных сил Р = Е1с, где à — величина силы (не обязательно постоянная), а )с — постоянный единичный вектор.
Выберем вектор е Л. 1с. Все такие векторы е образуют плоскость Р, перпендикулярную вектору )с. По теореме 3.7.1 должно быть Я е = с, так как Р е = О. Учитывая, что масса точки постоянна, получим следствие; и.е = о, = сопв1. Следовательно, проекция вектора скорости точки на плоскость Р обязана сохраняться во все время движения.О Определение 3.7.2. Кинетический момент материальной точки (момент количества движения) относительно точки (полюса) О есть вектор К = г х ь), где г — радиус-вектор точки, имеющий начало в О. Теорема 3.7.2. (Об изменении кинетического момента).
77роизводная по времени от кинетического момента, взятого относительно неподвижного полюса О, равна моменту суммы всех сил, приложенных х материальной точке: ИК вЂ” = г х у'. Й Доказательство. дК д Иг Л~ — = — (гх Ц)= — х Я+гх — = гхоз, д1 сЫ дт Й так как т = Иг/д1 параллельно Я.С1 Следуя Резалю, доказанной теореме можно дать геометрическую формулировку: скорость конца вектора кинетического момента, взятого относительно неподвижного полюса, равна моменту суммы всех сил, действующих на материальную точку.
Теорема 3.7.3. Если на точку действует центральная сила, то существует векторный первый интеграл К = с и движение точки происходит в неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору с и проходящей через центр силы. Доказательство. Выберем полюс О, совпадающий с центром силы. По теореме 3.7.2 получим дК вЂ” =О, Й так как Р = Е(г) г и г х Р = О. Поэтому К = с, где с — постоянный вектор, определяемый начальными условиями движения. Кинетический момент перпендикулярен плоскости, натянутой на векторы г и 192 Глава 3. Динамика поступательного движения ч.
Значит, эта плоскость не меняет своей ориентации в пространстве. Кроме того, эта плоскость проходит через центр неподвижной силы. П Пусть вектор г„(е) начинается в неподвижной точке О и принадлежит при любом 1 некоторой плоскости 'Р. Обозначим ч„= Ыгн/Й, и — нормаль к плоскости Р, Я(е) — площадь сектора, ограниченного начальным вектором г„($а), вектором гн(е), соответствующим некоторому значению времени 1 ) $а, и траекторией конца вектора га(г), получающейся при изменении 1 от начального значения 1а.
Будем считать приращение 5(г) положительным, когда оно происходит вследствие вращения га(1) против хода часовой стрелки, если смотреть из конца вектора и. Теорема 3.7.4. Пусть гн б Р. Тогда справедливо равенство е(5 г„х ч„= 2и —. «й ' Доказательство. За элемент площади сектора можно взять плошадь треугольника с вершиной в полюсе О.
Одна сторона треугольника образована вектором га(1), а другая сторона начинается из конца вектора га(1) и образована вектором тдв, где т — единичный вектор касательной к траектории, вычерчиваемой концом вектора га(е), а Ыв — элемент дуги траектории. Предположим сначала, что если смотреть с конца вектора и на плоскость 'Р, то переход в кратчайшем направлении от вектора г„к вектору т осуществляется против хода часовой стрелки (г„вращается против хода часовой стрелки).
Тогда г„х тЫв = и~ге х т~е(в = иене(ввт(г„,т) = 2идЯ. Если переход от вектора г„к вектору т осуществляется по ходу ча- совой стрелки, то г„х тЫв = — и ~г„х т~ е(в = — игадв в(п(г„, т) = 2иИЯ, что соответствует принятому определению знака приращения площади. Учитывая, что ав/еее' = эа, получаем утверждение теоремы.С1 Определение З.Т.З. Величина аЯ/ей называется секторной скороешью вектора г„(е). П р и м е р 3.7.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
