1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Разложения радиуса-вектора г материальной точки и силы Е по базисным векторам запишем в виде Г = ггег + г2е2 + гзез, а = Ргег + ргег + Рзез. Из равенства векторов следует равенство нх компонент. В результате получаем три скалярных уравнения движения дгг й г2 аггз гп — '=Й, т — =Ег, гп — =Рз, д22 ' д22 ' ,Цг которые называются уравнениями движения в проекциях на декартовы оси координат. П р и м е р 3.5.1.
Относительно инерциальной системы отсчета материальная точка движется в пол» параллельных сил тяжести. Помимо силы тяжести на точку действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости точки и направленная противоположно скорости. Найти закон движения точки. Р е ш е н и е.
Выберем правоориентированный инерциальный декартов репер Ое1егез тзк, чтобы вектор ез был направлен в сторону, противоположную силе тяжести. Тогда векторное уравнение движения точки примет вид г = — дев — 12, где г = 21 е1 + гг ег + гз ез — радиус-вектор точки, д — ускорение силы тяжести, а — постоянный коэффициент силы сопротивления. В проекциях на декартовы оси координат уравнения движения примут вид г| — — -йгы гг = -йгг, гз = -д — Ьз. 3.5.
Основные задачи динамики 171 Здесь каждое уравнение интегрируется независимо от других. Найдем проекции скорости точки кзк функции времени 1: г; = то ехр[-'к(1 — 1о)], 1= 1,2; тз = (гоз+ а/ехр[-)г(2 — го)] — —, У) У где то;, (1 = 1,2,3) — значения проекций скорости в начальный момент времени 1о. Видим, что скорости г1, гг с течением времени стремятся к нулю, тогда как скорость гз стремится к величине, равной -у/к, при кс» торой правая часть дифференциального уравнения для гз обращается в нуль. В пространстве скоростей точка (О, О, — у/к) служит аттрактором. Годографы скорости — прямолинейные лучи различных направлений, сходящие:я в этой точке.
Движение по годографам происходит в направлении аттрактора. При этом время достижения аттрактора бесконечно. Вектор (О, О, — д/)с) называется скоростью парашютирования. Найдем закон движения: т1 = го1 + — (1 — ехр[ — Й(1 — 1о)]), ГО1 и Г02 )'г = 1'ог + — (1 — ехр[-й(Ф вЂ” Мо)]) 1Г 1г, у~ У тз = гоз + — 1гоз+ -/ (1 — ехР[-(г(1 — го)]) — — (1 — 1о), й1 й/ к где гог — начальные значения координат. Закон движения имеет асим- птоту при 1 — оо, определенную уравнениями го1 гог 1 у. У1 У 11 = га1+ —, гг = гог+ —, гз = гоз+ — ( гоз+ -/ — — (1 — 1О). К~ й/ Это вертикальная прямая, по которой предельная точка движется равномерно со скоростью парашютирования. О Если действующая на точку сила задана в виде Е = Е(1) 11, гг, гз, Г1 ) гг, гз), то уравнения движения представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций Г1(1)) гг(1), гз(1).
Общее решение этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных: Г1 = Г1(1, С1,...,Се), тз = гз(1, с1,..., се). Г2 = Г2(1, С1,..., СО), Постоянные с; можно найти, зная начальные условия, т.е. значения координат го1 тою гоз и их производных го1, гог) гоз (скоростей) в начальный момент времени 1О. Тогда Г01 — Г1()О, с1,..., со)) Г02 = тг()О) с1)... ) со), 1оз = гз(10) с1)..., со). Глава 3. Динамика поступательного движения 172 гщ —— Г1($0,с1,...,се), г02 = г2(20,с1,...,Се), геэ = гзПО,с1,, ..,се).
разрешая эти уравнения относительно с;, найдем щ = Л ПО ~ ген г02~ гез~ ген г02 гез), 1 = 1, °, 6. Уравнения движения материальной точки удовлетворяют принципу детерминированности Ньютона, что эквивалентно выполнению условий существования и единственности решений задачи Кошй для соответствующей системы дифференциальных уравнений.
Поэтому каждой совокупности начальных условий отвечает одно движение. Константы с; можно найти также с помощью краевых условий, которые задают положение материальной точки для двух различных моментов времени 1 = 1е, 1 = П.' при 2 = го: г2 — — гам гз = гог, гз —— гоз, при $=П. 'г1=г11, г2=г12, гз=ггз. глг2 = О, тг2 = О. Представим вектор г следующим образом: г = ге, + р; р = гге1+ гзе2, так что р х е,. Интегрируя уравнения движения, получим ог2 2 = — — + гог+ го 2 Е Р = Рег+ Ре, о = —, П2 гДе г = 2 — 1е — вРемЯ, пРошеДшее от начала ДвижениЯ, ге — пРоекЦил начальной скорости на направление е„ ге — начальное значение координаты 2, Ре — проекция начальной скорости на плоскость Ое2ез, ре Краевая задача состоит в определении значений произвольных постоянных по заданным краевым условиям.
Следует отметить, что решение краевой задачи иногда требует предварительного анализа структуры траекторий. Могут существовать положения, через которые материальная точка не пройдет в момент 2 = 12 ни при каких начальных скоростях. П р и м е р 3.5.2. Рассмотрим движение материальной точки массы т в поле параллельных сил е' = Ре, где Š— положительная постоянная, е — постоянный единичный вектор, задающий направление силы.
Выберем инерциальный ортонормированный репер Ое2езе, так, что е, = — е, а единичные векторы е1 и ез образуют плоскость, перпендикулярную силе В' (в том случае, когда е' — сила тяжести, векторы е1 и е2 задают горизонтальную плоскость). Пусть г = г2е1+ гзе2+ ге,— радиус-вектор точки. Система дифференциальных уравнений движения принимает вид 3.о. Основные задачи динамики — начальное значение радиуса-вектора проекции точки на ту же плоскость. Примем, что в начальный момент времени го модуль скорости равен и, а вектор скорости образует с плоскостью угол д.
Тогда ро —— о сов д е,, го где ее — постоянный единичный вектор направления проекции начальной скорости на плоскость Оегег. Представим координату г и вектор р в виде г = У+ го, Р = ае + Ро. Закон движения точки определяется зависимостями атг у = — — + тов!пд, а = тисозд. 2 Таким образом, точка движется е плоскости, параллельной векторам е, и е и проходящей через начальное положение (го, ро). В этой плоскости точка имеет декартовы координаты (а,у).
Исключив т, получим уравнение траектории движения: Очевидно, это парабола, проходящая через начальную точку а = О, у=О. При ог / 2гьд т ог а = ! = — ~ ) = — яп2д а т,1+!дгд) а получим также у = О. Величина ! положительна при !к д > О, Так будет, например, если О < д < к/2. Тогда ! представляет собой дальность бросания до точки, не совпадающей с начальной и соответствующей значению у = О. Дальность! зависит от угла д. Если О < д < и/2, то максимальная дальность „г Л = гаах!(д) =— о а соответствует значению д = и/4. Найдем теперь область достижимости в координатном пространстве при фиксированном значении скорости и (все точки координатного пространства, через которые можно провести траекторию из заданной начальной точки с заданной начальной скоростью). С этой целью воспользуемся уравнением траектории, зафиксируем значение и и найдем максимум функции у(гб д).
Он имеет место при Глава 3. Динамика поступательного движения 174 и равен г 1, У = гнат[у(1кд)) = — — + —. в 2Ь 2' Парабола, соответствующая зависимости У(х), называется параболой безопасносгли. Она имеет вершину при х = О и ограничивает область достижимости на плоскости (у,х). При вращении параболы вокруг оси с направляющим вектором е, проходящей через конец вектора ро, получим аараболоид безопасности. Достижимыми при заданной скорости будут асе точки пространства, расположенные относительно параболоида безопасности со стороны, противоположной выпуклости параболоида.
О Возвращаясь к структуре решения системы дифференциальных уравнений движения в общем случае, отметим, что для произвольного момента времени справедливы равенства Л(1, гм гг, гз,г., гг, гз) = с;, г = 1,..., б, где ~; — те же функции, которые определяют константы с; по начальным условиям. Определение 3.5.1. Первы.и ияпгегразом системы дифференциальных уравнений движения называется функция времени, координат и скоростей, сохраняющая постоянное значение для любого конкретного решения системы. Очевидно, что при переходе от одного решения системы к другому постоянные первых интегралов могут изменяться. Видим, что функции уг суть первые интегралы соответствующих им уравнений движения материальной точки.
Из сказанного ясно, что определение закона движения точки по заданной силе можно свести к задаче поиска достаточного набора независимых первых интегралов. Определение 3.5.2. Пусть задана произвольная функция Ф(1, г„гг, гз, гы гг, гз). Тогда выражение дФ дФ. 1 дФ Ф= — +~ — ';+ — '> —,Г;, где частные производные по какой-либо переменной берутся в предположении, что все остальные переменные зафиксированы, называется производной функции Ф в сазу уравнений движения. 3.5, Основные задачи динамики 175 Замечание. Приведем более общее определение.
Пусть заданы произвольная система дифференциальных уравнений х = Х(х,г), х Е ГГ", Х Е В", 1 Е ГГ, где 1 — независимая переменная, и функция Ф(х,г). Производной функции Ф а силу указанной системы уравнений называется выражение Ф = — + ~ — Х;(х,т), дФ дФ дт дхе где хь Х;, т = 1,..., и суть координаты векторов х, Х соответственно. При этом, конечно, предполагается, что функция Ф существует. Теорема 3.5.1. Функция Ф(1, гь гг,гз, гь гг,гз) есть перамй интпеграл уравнений движения тогда и только тогда, когда ее производная в силу зтпих ураенений тпождеетпеенно равна нулю. Доказательство.
Необходимость. Пусть Ф есть первый интеграл, а г(1) — любой закон движения материальной точки, удовлетворяющий уравнению ~(гг тп — = х'. Й Для этого закона будем иметь Ф(1, гт (1), гг(1), гз(1), гт (1), гг(1) ~ гз(1)) = с. где с не зависит от времени. Продифференцируем левую часть этого выражения по времени как сложную функцию; дФ дФ. дФ.. — + ~~ — г; + ~~ —,ге = О.
дг .,дг; ',дг; * После подстановки в левую часть этого выражения значений г;, взя- тых иэ уравнений движения, получим равенство дФ дФ, 1 дФ вЂ” +~ — ге+ — Ц, ' —,Р;=О, дг .,дг; ' тп,дг; которое должно быть выполнено для любого набора координат и скоростей, принадлежащего области определения интеграла Ф. Достаточность. Пусть для функции Ф имеем тождество дФ ~ дФ, 1 ~ дФ + Е г + Е р О Глава 3. Динамика поступательного движения 176 Возьмем закон движения г(1), соответствующий силе У. Подставив его в выражение для функции Ф, получим Ф(1, г1(1), гт(1), гзЯ, г1(1), гз(1), гзЯ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
