1611690511-f3d3a168b7ec28ce5001ecec523eb6f6 (826917), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому ы +ы 2 4 (122 2Ч1) (Г2 — Г1)2 Глава 2, Кинематика 150 Подставив найденные выражения в формулу для вычисления радиуса-вектора мгновенного центра ускорений и выполнив очевидные преобразования, получим 1 ги = 2 (Г1[('ЮГ2 — тч1) ' тч2] Г2[(эг2 эт1) ж1)+ (чтг — эт1) +(Г2 Г1) Х (1И2 Х ЧГ1)). Контрольные вопросы к главе 2 2.1. Радиус-вектор г(1) движущейся точки можно представить координатами в различных реперах, в том числе подвижных и необязательно сохраняющих ортонормированность. Как следует выразить скорость точки, если базисные векторы е; суть произвольные заданные функции времени? 2.2.
В примере 2.1.1, вычислив скалярное произведение, убедиться, что вектор скорости точки перпендикулярен ее радиусу-вектору с началом (а,6, с). Какую поверхность заметает радиус-вектор движущейся точки, исходящий из начала координат? 2.3. Показать, что если точка движется по плоскости с постоянной по величине ненулевой скоростью и постоянным по величине ненулевым нормальным ускорением, то ее траектория есть окружность.
2.4. В каком случае закон движения абсолютно твердого тела можно однозначно определить, если заданы законы движения двух несовпэдающих точек этого тела? 2.5. Доказать следствие 2.4.1. 2.6. Выписать зависимость компонент матрицы оператора А Е ЯО(3) от углов Эйлера. 2.7. Выписать зависимость компонент матрицы оператора А Е 50(3) от кардановых углов. 2.8. Каким вращениям твердого тела соответствует значение параметра Эйлера дс — О? 2.9.
Каким вращениям твердого тела соответствуют значения параметров Эйлера 91 — — 42 — — дз = О? 2.10. Доказать, что преобразование подобия Р = ЯРЯ 1, де1 Я ф О, сохраняет все собственные значения матрицы Р,. Контрольные вопросы к главе 2 2.11. Доказать формулу Р(, (Ъд = Рэ(а с) — Р,(а Ъ) (см. теорему 2.7.3). 2.12. Построить унитарную матрицу Я по углам Крылова.
2.13. Найти кватернион 6 Е Я~ по кардановым углам. 2.14. Пусть йе, д~, йт, дз — параметры Эйлера для А~ Е 50(3), а де' д",, д~~', йз — параметры Эйлера для Ат Е 50(3). С использованием свойств унитарных матриц найти параметры Эйлера для композиции А = А, о Ат. 2.15. Пусть йе, йы йт, дз — параметры Эйлера для композиции А = А~ о Ат операторов А~ Е ЯО(3) и Ат Е ЯО(3), а дце, д',, д1, йз — параметры Эйлера для оператора Аь С использованием свойств унитарных матриц найти параметры Эйлера для оператора Аг. 2.16.
С использованием понятия дифференциала вращения выразить множество всех дифференциалов смещений точек твердого тела, имеющего одну закрепленную точку. 2.17. Дать определение угловой скорости при произвольном движении твердого тела. 2.18. С помощью формулы Эйлера (см.
теорему 2.12.1) выразить ско- рость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, если радиус-вектор г точки тела имеет начало в точке О, а ось вращения через точку 0 не проходит. 2.19. Доказать, что при движении твердого тела вокруг неподвижной точки справедлива формула з ьэ = — т е, х е;, 2~ оы где ы — вектор угловой скорости, е',, е', ез, — базисные векторы репера, жестко связанного с телом и имеющего начало в неподвижной точке, а е'„ею ез — производные по времени от этих векторов.
2.20. Пусть 11 = 2 ьл — суммарный вектор системы угловых скоро- отей, а т' = ~', хп — суммарный вектор поступательных полей скоростей. Показать, что если а) й эг = О, й ф О, то поле скоростей приводится к вращательному, Глава 2. Кинематика 152 Ь) й ~г ф О, то поле скоростей приводится к винтовому, с) й = О, Ч ~ О, то поле скоростей приводится к поступательному, 6) й = О, ~ = О, то скорости всех точек тела равны нулю. 2.21.
Показать, что если й = ~ ай -с О в плоскопараллельном дви- женин, то поле скоростей приводится к вращательному. Найти уравнения результирующей оси угловой скорости в случае такого движения. 2.22. Пусть в осях, связанных с твердым телом, вектор угловой ско- рости тела, движущегося вокруг неподвижной точки, выражается формулой ы = ре~ + доз + ге~э. Выписать в скалярном виде систему уравнений Пуассона для координат векторов неподвижного репера. Непосредственным дифференцированием проверить сохранение скалярных произведений базисных векторов. 2.23. Выразить в скалярном виде компоненты угловой скорости твер- дого тела, движущегося вокруг неподвижной точки, в осях, жестко связанных с телом, и в неподвижных осях через производные от параметров Эйлера.
2.24. Пусть абсолютное ускорение точки тождественно равно нулю, ускорение полюса и угловое ускорение движущейся системы координат отсутствуют. Написать уравнение, которому подчиняется относительное ускорение точки. Каким общим методом можно исследовать решения этого дифференциального уравнения? 2.26.
Найти уравнения Земной параллели в координатах О~хгтзхз примера 2.16.2. Исследовать в этих координатах влияние кориолисова ускорения в случае, когда точка движется вдоль параллели. 2.26. Пользуясь теоремой 2.17.1, определить положение мгновенного центра ускорений для случая, когда ж, 1. ы и ж, .Ь ф.
2.27. Пользуясь теоремой 2.17.2, определить положение оси мгновен- ных центров ускорений движения в случае ф = О. Объяснить механический смысл полученного решения. 2.28. По формуле, выражающей радиус-вектор мгновенного центра ускорений по заданным ускорениям двух точек в плоскопараллельном движении твердого тела, найти положение мгновенно- Контрольные вопросы к главе 2 153 го центра ускорений для случая ит~ 'й' зкт, где зг~ — ускоре- ние точки с радиусом-вектором г~ и згз — ускорение точки с радиусом-вектором гз. Показать, что мгновенный центр уско- рений принадлежит прямой, соединяющей зти точки.
Глава 3 Динамика поступательного движения 2 3.1. Пространственно-временная структура Из всех событий реального мира теоретическая механика выделяет главным образом события, связанные с геометрическим аспектом процесса движения. Такие события состоят в том, что рассматриваемая геометрическая точка в заданный момент времени занимает конкретное положение в физическом пространстве. В этом смысле представление о мире можно предельно упростить, изображая его события точками в четырехмерном пространстве, полученном из трехмерного физического пространства добавлением измерения, отражающего ход времени. Время — особое измерение.
Его отношение к геометрическим объектам зададим с помощью галилеевой ироетранственновременибй структуры, включающей следующие аксиомы: 1. Мир — четырехмерное аффинное пространство Ав. Точки этого пространства называются мировыми точками или событиями. Пространству Ав соответствует линейное пространство В4. 2. Интервал времени — линейная функция 1: йч П, отображающая линейное пространство векторов на вещественную "ось" времени.
Промежутком времени от события В б Ав до события С б А4 называется число»(ВС). Если»(ВС) = О, то события В и С называются одновременными. Множество всех одновременных событий трехмерно и образует аффинное пространство Аг. Ему соответствует линейное пространство Л . 3. Расстояние между одновременными событиями задается скалярным произведением в пространстве Я~: р(В,С)=~ВС), ВбА~, СбА. Пространство Аз, в котором введена указанная пространственно- временная структура, называется галилеевыл» врое»пранетвом. Галилеево нреобразование — это аффинное преобразование А4 А4, сохраняющее структуру галилеева пространства, т.е.
сохраняющее интервалы времени и расстояния между одновременными событиями. 1бб 3.1. Пространственно-временная структура Теорема 3.1.1. Каждое галилеево преобразование представляет собой движение трехмерного пространства одновременных событий, сопровождаемое сдвигом начала отсчета времени. Доказательство. Пусть задано событие В. Выберем опорное событие О.
Тогда в соответствии с галилеевой структурой будем иметь В = (С,е(ОВ)), где С принадлежит пространству Аз всех одновременных с В событий. В пространстве Аз выберем опорную точку О'. Событие В можно охарактеризовать временем 1 и радиусом-вектором х Е Вз с началом в точке О' и концом в точке С. В общем случае аффинное преобразование А4 — А4 записывается следующим образом: х' = Ах+ Ы+с, Р = а,.х+61+ где А — линейный оператор; Ъ, аы с Е Яз; 6ы с~ — скалярные коэффициенты. Прн галилеевых преобразованиях любые два одновременных события переходят в одновременные. Пусть В и Р два таких события: В = (х,1), Р = (у,1). После галилеевого преобразования должно быть а~ (у — х) = О. Векторы х и у могут быть произвольными. Позтому а~ — — О.
Таким образом, Р = 6~1+ со Иозффициент 6, задает изменение масштаба времени. Интервал времени сохраняется лишь при 6~ — — 1. Далее, в соответствии с теоремой 1.1.1 расстояния между одновременными событиями сохраняются тогда и только тогда, когда матрица А линейного оператора ортогональна. Следовательно, произвольное галилеево преобразование можно представить в виде х' = Ах+ Ы+ с, ААт = Е, Р =1+с,.а Все галилеевы преобразования образуют группу.
Примерами таких преобразований могут служить: 1. Равномерное движение со скоростью Ъ: 0~(х,1): х - х+ Ы. 2. Изменение опорной точки (сдвиг); 0з(х,1): (х,1) — (х+ с,1+ с~). 3. Вращение пространства Аз: 0з(х,1); (х,1) (Ах,1), А б 50(3). Следствие 3.1.1. Каждое галилеево преобразование однозначно представляется с помощью нол~позииии вращения, сдвига и равнол~ерного движения: 0 = 0ь о 0з о 0з, Глава 3. Динамика поступательного движения Для любой пары галилеевых пространств существует взаимно однозначное соответствие одного пространства другому, сохраняющее галилееву структуру. В этом смысле все галилеевы пространства изоморфны друг другу и изоморфны координатному пространству оз х Н Взаимно однозначное соответствие А" Вз х Я называется галилеевой системой координат (системой отсчета).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
